Modelo de Hubbard

Modelo aproximado utilizado para describir la transición entre sistemas conductores y aislantes

Modelo de Hubbard bidimensional.

El modelo de Hubbard es un modelo aproximado que se utiliza para describir la transición entre sistemas conductores y aislantes . ^[1] Es particularmente útil en física del estado sólido . El modelo recibe su nombre de John Hubbard .

El modelo de Hubbard establece que cada electrón experimenta fuerzas en competencia: una lo empuja a hacer un túnel hacia los átomos vecinos, mientras que la otra lo aleja de sus vecinos. ^[2] Por lo tanto, su hamiltoniano tiene dos términos: un término cinético que permite el efecto túnel ("salto") de partículas entre sitios de la red y un término potencial que refleja la interacción en el sitio. Las partículas pueden ser fermiones , como en el trabajo original de Hubbard, o bosones , en cuyo caso el modelo se conoce como " modelo de Bose-Hubbard ".

El modelo de Hubbard es una aproximación útil para partículas en un potencial periódico a temperaturas suficientemente bajas, donde se puede suponer que todas las partículas están en la banda de Bloch más baja , y se pueden ignorar las interacciones de largo alcance entre las partículas. Si se incluyen las interacciones entre partículas en diferentes sitios de la red, el modelo a menudo se denomina "modelo de Hubbard extendido". En particular, el término de Hubbard, más comúnmente denotado por U , se aplica en simulaciones basadas en primeros principios que utilizan la teoría del funcional de la densidad , DFT. La inclusión del término de Hubbard en las simulaciones DFT es importante ya que mejora la predicción de la localización de electrones y, por lo tanto, evita la predicción incorrecta de la conducción metálica en sistemas aislantes. ^[3]

El modelo de Hubbard introduce interacciones de corto alcance entre electrones en el modelo de enlace fuerte , que solo incluye energía cinética (un término "de salto") e interacciones con los átomos de la red (un potencial "atómico"). Cuando la interacción entre electrones es fuerte, el comportamiento del modelo de Hubbard puede ser cualitativamente diferente de un modelo de enlace fuerte. Por ejemplo, el modelo de Hubbard predice correctamente la existencia de aislantes de Mott : materiales que son aislantes debido a la fuerte repulsión entre electrones, aunque satisfacen los criterios habituales para los conductores, como tener un número impar de electrones por celda unitaria.

Historia

El modelo fue propuesto originalmente en 1963 para describir los electrones en sólidos. ^[4] Hubbard, Martin Gutzwiller y Junjiro Kanamori lo propusieron de forma independiente. ^[2]

Desde entonces, se ha aplicado al estudio de la superconductividad de alta temperatura , el magnetismo cuántico y las ondas de densidad de carga. ^[5]

Teoría de la banda de energía estrecha

El modelo de Hubbard se basa en la aproximación de enlace fuerte de la física del estado sólido , que describe partículas que se mueven en un potencial periódico, normalmente denominado red . Para los materiales reales, cada sitio de la red podría corresponder con un núcleo iónico, y las partículas serían los electrones de valencia de estos iones. En la aproximación de enlace fuerte, el hamiltoniano se escribe en términos de estados de Wannier , que son estados localizados centrados en cada sitio de la red. Los estados de Wannier en sitios de red vecinos están acoplados, lo que permite que las partículas de un sitio "salten" a otro. Matemáticamente, la fuerza de este acoplamiento está dada por una "integral de salto", o "integral de transferencia", entre sitios cercanos. Se dice que el sistema está en el límite de enlace fuerte cuando la fuerza de las integrales de salto disminuye rápidamente con la distancia. Este acoplamiento permite que los estados asociados con cada sitio de la red se hibriden, y los estados propios de dicho sistema cristalino son funciones de Bloch , con los niveles de energía divididos en bandas de energía separadas . El ancho de las bandas depende del valor de la integral de salto.

El modelo de Hubbard introduce una interacción de contacto entre partículas de espín opuesto en cada sitio de la red. Cuando se utiliza el modelo de Hubbard para describir sistemas de electrones, se espera que estas interacciones sean repulsivas, derivadas de la interacción de Coulomb apantallada . Sin embargo, también se han considerado con frecuencia las interacciones atractivas. La física del modelo de Hubbard está determinada por la competencia entre la fuerza de la integral de salto, que caracteriza la energía cinética del sistema , y ​​la fuerza del término de interacción. Por lo tanto, el modelo de Hubbard puede explicar la transición de metal a aislante en ciertos sistemas interactuantes. Por ejemplo, se ha utilizado para describir óxidos metálicos a medida que se calientan, donde el aumento correspondiente en el espaciamiento del vecino más cercano reduce la integral de salto hasta el punto en que el potencial en el sitio es dominante. De manera similar, el modelo de Hubbard puede explicar la transición de conductor a aislante en sistemas como los pirocloros de tierras raras a medida que aumenta el número atómico del metal de tierras raras, porque el parámetro de red aumenta (o el ángulo entre átomos también puede cambiar) a medida que aumenta el número atómico del elemento de tierras raras, cambiando así la importancia relativa de la integral de salto en comparación con la repulsión en el sitio.

Ejemplo: cadena unidimensional de átomos de hidrógeno

El átomo de hidrógeno tiene un electrón en el llamado orbital s , que puede tener espín hacia arriba ( ) o hacia abajo ( ). Este orbital puede estar ocupado por dos electrones como máximo, uno con espín hacia arriba y otro hacia abajo (véase el principio de exclusión de Pauli ). ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle \downarrow }$

Según la teoría de bandas , para una cadena unidimensional de átomos de hidrógeno, el orbital 1s forma una banda continua, que estaría exactamente llena hasta la mitad. Por lo tanto, se predice que la cadena unidimensional de átomos de hidrógeno es un conductor según la teoría de bandas convencional. Esta cadena unidimensional es la única configuración lo suficientemente simple como para ser resuelta directamente. ^[2]

Pero en el caso en que el espaciamiento entre los átomos de hidrógeno aumenta gradualmente, en algún punto la cadena debe convertirse en un aislante.

Expresado mediante el modelo de Hubbard, el hamiltoniano se compone de dos términos. El primer término describe la energía cinética del sistema, parametrizada por la integral de salto, . El segundo término es la interacción in situ de la fuerza que representa la repulsión de los electrones. Escrito en notación de segunda cuantificación , el hamiltoniano de Hubbard toma la forma ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow },}$

donde es el operador de densidad de espín para el espín en el sitio -ésimo. El operador de densidad es y la ocupación del sitio -ésimo para la función de onda es . Normalmente , t se considera positivo y U puede ser positivo o negativo, pero se supone que es positivo cuando se consideran sistemas electrónicos. ${\displaystyle {\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}}_{i}\vert \Phi \rangle }$

Sin la contribución del segundo término, el hamiltoniano se resuelve en la fórmula de enlace estrecho de la teoría de bandas regulares.

Incluir el segundo término produce un modelo realista que también predice una transición de conductor a aislante a medida que varía la relación entre la interacción y el salto, . Esta relación se puede modificar, por ejemplo, aumentando el espaciamiento interatómico, lo que disminuiría la magnitud de sin afectar a . En el límite donde , la cadena simplemente se resuelve en un conjunto de momentos magnéticos aislados . Si no es demasiado grande, la integral de superposición proporciona interacciones de supercambio entre momentos magnéticos vecinos, lo que puede conducir a una variedad de correlaciones magnéticas interesantes, como ferromagnéticas, antiferromagnéticas, etc., según los parámetros del modelo. El modelo unidimensional de Hubbard fue resuelto por Lieb y Wu utilizando el ansatz de Bethe . En la década de 1990 se logró un progreso esencial: se descubrió una simetría oculta y se evaluaron la matriz de dispersión , las funciones de correlación , el entrelazamiento termodinámico y cuántico . ^[6] ${\displaystyle U/t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U/t\gg 1}$ ${\displaystyle U/t}$

Sistemas más complejos

Aunque el modelo de Hubbard es útil para describir sistemas como una cadena unidimensional de átomos de hidrógeno, es importante señalar que los sistemas más complejos pueden experimentar otros efectos que el modelo de Hubbard no tiene en cuenta. En general, los aislantes se pueden dividir en aislantes de Mott-Hubbard y aislantes de transferencia de carga .

Un aislante Mott-Hubbard se puede describir como

${\displaystyle (\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2-}+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.}$

Esto puede verse como análogo al modelo de Hubbard para cadenas de hidrógeno, donde la conducción entre celdas unitarias puede describirse mediante una integral de transferencia.

Sin embargo, es posible que los electrones exhiban otro tipo de comportamiento:

${\displaystyle \mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.}$

Esto se conoce como transferencia de carga y da como resultado aislantes de transferencia de carga . A diferencia de los aislantes Mott-Hubbard, la transferencia de electrones ocurre solo dentro de una celda unitaria.

Ambos efectos pueden estar presentes y competir en sistemas iónicos complejos.

Tratamiento numérico

El hecho de que el modelo de Hubbard no haya sido resuelto analíticamente en dimensiones arbitrarias ha llevado a una intensa investigación sobre métodos numéricos para estos sistemas electrónicos fuertemente correlacionados. ^{[7] [8]} Uno de los principales objetivos de esta investigación es determinar el diagrama de fase de baja temperatura de este modelo, particularmente en dos dimensiones. El tratamiento numérico aproximado del modelo de Hubbard en sistemas finitos es posible mediante varios métodos.

Uno de estos métodos, el algoritmo de Lanczos , puede producir propiedades estáticas y dinámicas del sistema. Los cálculos del estado fundamental utilizando este método requieren el almacenamiento de tres vectores del tamaño del número de estados. El número de estados escala exponencialmente con el tamaño del sistema, lo que limita el número de sitios en la red a aproximadamente 20 en el hardware del siglo XXI. Con el proyector y el campo auxiliar de temperatura finita Monte Carlo , existen dos métodos estadísticos que pueden obtener ciertas propiedades del sistema. Para bajas temperaturas, aparecen problemas de convergencia que conducen a un esfuerzo computacional exponencial con la disminución de la temperatura debido al llamado problema del signo del fermión .

El modelo de Hubbard se puede estudiar dentro de la teoría del campo medio dinámico (DMFT). Este esquema asigna el hamiltoniano de Hubbard a un modelo de impureza de sitio único , una asignación que es formalmente exacta solo en dimensiones infinitas y en dimensiones finitas corresponde al tratamiento exacto de todas las correlaciones puramente locales únicamente. DMFT permite calcular la función de Green local del modelo de Hubbard para una temperatura dada y una temperatura dada. Dentro de DMFT, se puede calcular la evolución de la función espectral y se puede observar la aparición de las bandas superior e inferior de Hubbard a medida que aumentan las correlaciones. ${\displaystyle U}$

Simulador

Se han utilizado pilas de dicalcogenuros de metales de transición (TMD) heterogéneos y bidimensionales para simular geometrías en más de una dimensión. Se apilaron diseleniuro de tungsteno y sulfuro de tungsteno. Esto creó una superred muaré que consta de superceldas hexagonales (unidades de repetición definidas por la relación de los dos materiales). Cada supercelda se comporta entonces como si fuera un solo átomo. La distancia entre las superceldas es aproximadamente 100 veces la de los átomos dentro de ellas. Esta distancia mayor reduce drásticamente la tunelización de electrones a través de las superceldas. ^[2]

Se pueden utilizar para formar cristales de Wigner . Se pueden colocar electrodos para regular un campo eléctrico . El campo eléctrico controla cuántos electrones llenan cada supercelda. La cantidad de electrones por supercelda determina efectivamente qué "átomo" simula la red. Un electrón/celda se comporta como el hidrógeno, dos/celda como el helio, etc. A partir de 2022, se podrían simular superceldas con hasta ocho electrones ( oxígeno ). Un resultado de la simulación mostró que la diferencia entre el metal y el aislante es una función continua de la intensidad del campo eléctrico. ^[2]

Un régimen de apilamiento "hacia atrás" permite la creación de un aislante de Chern a través del efecto Hall cuántico anómalo (con los bordes del dispositivo actuando como un conductor mientras que el interior actuaba como un aislante). El dispositivo funcionó a una temperatura de 5 Kelvins , muy por encima de la temperatura a la que se había observado el efecto por primera vez. ^[2]

Véase también

• Modelo de impurezas de Anderson
• Teorema de Bloch
• Estructura de banda electrónica
• Física del estado sólido
• Modelo Bose-Hubbard
• modelo tJ
• Modelo de Heisenberg (cuántico)
• Teoría del campo medio dinámico
• Criterio de Stoner

Referencias

1. Altland, A.; Simons, B. (2006). "Efectos de interacción en el sistema de enlace fuerte". Teoría de campos de materia condensada . Cambridge University Press . pp. 58 y siguientes . ISBN . 978-0-521-84508-3.
2. Wood, Charlie (16 de agosto de 2022). «Un dúo de físicos encuentra magia en dos dimensiones». Quanta Magazine . Consultado el 21 de agosto de 2022 .
3. Fronzi, Marco; Assadi, M. Hussein N.; Hanaor, Dorian AH (2019). "Información teórica sobre la hidrofobicidad de superficies de CeO2 de bajo índice". Applied Surface Science . 478 : 68–74. arXiv : 1902.02662 . Código Bibliográfico :2019ApSS..478...68F. doi :10.1016/j.apsusc.2019.01.208. S2CID  118895100.
4. Hubbard, J. (26 de noviembre de 1963). "Correlaciones electrónicas en bandas de energía estrechas". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas . 276 (1365): 238–257. Bibcode :1963RSPSA.276..238H. doi :10.1098/rspa.1963.0204. ISSN  0080-4630. S2CID  35439962.
5. Auerbach, Assa. (1994). Electrones en interacción y magnetismo cuántico. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94286-6.OCLC 30028928  .
6. Essler, FHL; Frahm, H.; Göhmann, F.; Klümper, A.; Korepin, VE (2005). El modelo unidimensional de Hubbard . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-80262-8.
7. Scalapino, DJ (2006). "Estudios numéricos del modelo 2D de Hubbard": cond–mat/0610710. arXiv : cond-mat/0610710 . Código Bibliográfico :2006cond.mat.10710S. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
8. LeBlanc, J. (2015). "Soluciones del modelo bidimensional de Hubbard: puntos de referencia y resultados de una amplia gama de algoritmos numéricos". Physical Review X . 5 (4): 041041. arXiv : 1505.02290 . Código Bibliográfico :2015PhRvX...5d1041L. doi : 10.1103/PhysRevX.5.041041 .

Lectura adicional

• Hubbard, J. (1963). "Correlaciones electrónicas en bandas de energía estrechas". Actas de la Royal Society de Londres . 276 (1365): 238–257. Bibcode :1963RSPSA.276..238H. doi :10.1098/rspa.1963.0204. JSTOR  2414761. S2CID  35439962.
• Bach, V.; Lieb, EH; Solovej, JP (1994). "Teoría generalizada de Hartree-Fock y el modelo de Hubbard". Journal of Statistical Physics . 76 (1–2): 3. arXiv : cond-mat/9312044 . Código Bibliográfico :1994JSP....76....3B. doi :10.1007/BF02188656. S2CID  207143.
• Lieb, EH (1995). "El modelo de Hubbard: algunos resultados rigurosos y problemas abiertos". Xi Int. Cong. Mp, Int. Press (?) . 1995 : cond–mat/9311033. arXiv : cond-mat/9311033 . Código Bibliográfico :1993cond.mat.11033L.
• Gebhard, F. (1997). "Transición metal-aislante". La transición metal-aislante de Mott: modelos y métodos. Springer Tracts in Modern Physics. Vol. 137. Springer . págs. 1–48. ISBN 9783540614814.
• Lieb, EH; Wu, FY (2003). "El modelo unidimensional de Hubbard: una reminiscencia". Physica A . 321 (1): 1–27. arXiv : cond-mat/0207529 . Código Bibliográfico :2003PhyA..321....1L. doi :10.1016/S0378-4371(02)01785-5. S2CID  44758937.
• Arovas, Daniel P.; Berg, Erez; Kivelson, Steven; Rahgu, Sri (2022). "El modelo de Hubbard". Revisión anual de física de la materia condensada . 13 : 239–274. arXiv : 2103.12097 . Código Bibliográfico :2022ARCMP..13..239A. doi :10.1146/annurev-conmatphys-031620-102024.
• Qin, Mingpu; Schäfer, Thomas; Andergassen, Sabine; Corboz, Philippe; Gull, Emanuel (2022). "El modelo de Hubbard: una perspectiva computacional". Revisión anual de física de la materia condensada . 13 : 275–302. arXiv : 2104.00064 . Código Bibliográfico :2022ARCMP..13..275Q. doi :10.1146/annurev-conmatphys-090921-033948. S2CID  260725458.