Aproximación eikonal

En física teórica , la aproximación eikonal ( del griego εἰκών, que significa semejanza, icono o imagen) es un método de aproximación útil en ecuaciones de dispersión de ondas, que se dan en óptica , sismología , mecánica cuántica , electrodinámica cuántica y expansión parcial de ondas .

Descripción informal

La principal ventaja que ofrece la aproximación eikonal es que las ecuaciones se reducen a una ecuación diferencial en una sola variable. Esta reducción en una sola variable es el resultado de la aproximación de la línea recta o aproximación eikonal, que nos permite elegir la línea recta como dirección especial.

Relación con la aproximación WKB

Los primeros pasos de la aproximación eikonal en mecánica cuántica están muy relacionados con la aproximación WKB para ondas unidimensionales. El método WKB, al igual que la aproximación eikonal, reduce las ecuaciones a una ecuación diferencial en una sola variable. Pero la dificultad de la aproximación WKB es que esta variable se describe mediante la trayectoria de la partícula que, en general, es complicada.

Descripción formal

Haciendo uso de la aproximación WKB podemos escribir la función de onda del sistema disperso en términos de la acción S :

${\displaystyle \Psi =e^{iS/{\hbar }}}$

Insertando la función de onda Ψ en la ecuación de Schrödinger sin la presencia de un campo magnético obtenemos

${\displaystyle -{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}\Psi =(E-V)\Psi }$

${\displaystyle -{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}{e^{iS/{\hbar }}}=(E-V)e^{iS/{\hbar }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{(\nabla S)}^{2}-{\frac {i\hbar }{2m}}{\nabla }^{2}S=E-V}$

Escribimos S como una serie de potencias en ħ

${\displaystyle S=S_{0}+{\frac {\hbar }{i}}S_{1}+...}$

Para el orden cero:

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{(\nabla S_{0})}^{2}=E-V}$

Si consideramos el caso unidimensional entonces . ${\displaystyle {\nabla }^{2}\rightarrow {\partial _{z}}^{2}}$

Obtenemos una ecuación diferencial con la condición de borde :

${\displaystyle {\frac {S(z=z_{0})}{\hbar }}=kz_{0}}$

para , . ${\displaystyle V\rightarrow 0}$ ${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {S_{0}}{\hbar }}={\sqrt {k^{2}-2mV/{\hbar }^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {S_{0}(z)}{\hbar }}=kz-{\frac {m}{{\hbar }^{2}k}}\int _{-\infty }^{z}{Vdz'}}$

Véase también

• Ecuación eikonal
• Principio de correspondencia
• Principio de mínima acción

Referencias

Notas

• [1] Aproximación eikonal KV Shajesh Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Oklahoma

Lectura adicional

• RR Dubey (1995). Comparación de la solución exacta con la aproximación eikonal para la dispersión elástica de iones pesados ​​(3.ª ed.). NASA.
• W. Qian; H. Narumi; N. Daigaku. P. Kenkyūjo (1989). Aproximación de Eikonal en versión de onda parcial (3ª ed.). Nagoya.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• M. Lévy; J. Sucher (1969). "Aproximación eikonal en la teoría cuántica de campos". Phys. Rev . 186 (5). Maryland, EE. UU.: 1656–1670. Código Bibliográfico :1969PhRv..186.1656L. doi :10.1103/PhysRev.186.1656.
• IT Todorov (1970). "Ecuación cuasipotencial correspondiente a la aproximación eikonal relativista". Phys. Rev. D . 3 (10). Nueva Jersey, EE. UU.: 2351–2356. Código Bibliográfico :1971PhRvD...3.2351T. doi :10.1103/PhysRevD.3.2351. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2013.
• DR Harrington (1969). "Dispersión múltiple, aproximación de Glauber y aproximación eikonal fuera de capa". Phys. Rev. 184 ( 5). Nueva Jersey, EE. UU.: 1745–1749. Código Bibliográfico :1969PhRv..184.1745H. doi :10.1103/PhysRev.184.1745.