Resonancia no lineal

Fenómeno físico

En física , la resonancia no lineal es la ocurrencia de resonancia en un sistema no lineal . En la resonancia no lineal, el comportamiento del sistema ( frecuencias y modos de resonancia ) depende de la amplitud de las oscilaciones , mientras que en los sistemas lineales esto es independiente de la amplitud. La mezcla de modos en sistemas no lineales se denomina interacción resonante .

Descripción

En general, se deben distinguir dos tipos de resonancias: lineales y no lineales. Desde el punto de vista físico, se definen en función de si la fuerza externa coincide o no con la frecuencia propia del sistema (resonancia lineal y no lineal, respectivamente). Los modos vibracionales pueden interactuar en una interacción resonante cuando se conservan tanto la energía como el momento de los modos interactuantes. La conservación de la energía implica que la suma de las frecuencias de los modos debe ser igual a cero:

${\displaystyle \omega _{n}=\omega _{1}+\omega _{2}+\cdots +\omega _{n-1},}$

con posibles frecuencias propias diferentes de la parte lineal de alguna ecuación diferencial parcial no lineal . El es el vector de onda asociado con un modo; los subíndices enteros son índices en armónicos de Fourier - o modos propios - ver serie de Fourier . En consecuencia, la condición de resonancia de frecuencia es equivalente a una ecuación diofántica con muchas incógnitas. El problema de encontrar sus soluciones es equivalente al décimo problema de Hilbert que se ha demostrado que es algorítmicamente irresoluble. ${\displaystyle \omega _{i}=\omega (\mathbf {k} _{i}),}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Las principales nociones y resultados de la teoría de resonancias no lineales son: ^[1]

1. El uso de relaciones de dispersión que aparecen en diversas aplicaciones físicas permite encontrar las soluciones de la condición de resonancia de frecuencia. ${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} )}$
2. El conjunto de resonancias para una función de dispersión dada y la forma de las condiciones de resonancia se divide en grupos de resonancias que no se intersecan; la dinámica de cada grupo se puede estudiar de forma independiente (en la escala de tiempo apropiada). A menudo se las llama "ondas ligadas", que no pueden interactuar, a diferencia de las "ondas libres", que sí pueden hacerlo. Un ejemplo famoso es el solitón de la ecuación KdV : los solitones pueden moverse entre sí, sin interactuar. Cuando se descomponen en modos propios, los modos de frecuencia más alta del solitón no interactúan (no satisfacen las ecuaciones de la interacción resonante ), están "ligados" a la fundamental. ^[2]
3. Cada conjunto de modos ligados (cúmulo de resonancia) puede representarse mediante su diagrama NR, que es un gráfico plano de la estructura especial. Esta representación permite reconstruir de forma única 3a) el sistema dinámico que describe el comportamiento dependiente del tiempo del cúmulo, y 3b) el conjunto de sus leyes de conservación polinómica; estas son generalizaciones de las constantes de movimiento de Manley-Rowe para los cúmulos más simples ( tríadas y cuartetos).
4. Los sistemas dinámicos que describen algunos tipos de clústeres se pueden resolver analíticamente; estos son los modelos exactamente solucionables .
5. Estos resultados teóricos se pueden utilizar directamente para describir fenómenos físicos de la vida real (por ejemplo, oscilaciones intraestacionales en la atmósfera terrestre) o diversos regímenes turbulentos de ondas en la teoría de la turbulencia de las ondas . Se proporcionan muchos más ejemplos en el artículo sobre interacciones resonantes .

Cambio de resonancia no lineal

Efecto de plegado

Los efectos no lineales pueden modificar significativamente la forma de las curvas de resonancia de los osciladores armónicos . En primer lugar, la frecuencia de resonancia se desplaza de su valor "natural" según la fórmula ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\kappa A^{2},}$

donde es la amplitud de oscilación y es una constante definida por los coeficientes anarmónicos. En segundo lugar, la forma de la curva de resonancia se distorsiona ( efecto foldover ). Cuando la amplitud de la fuerza externa (sinusoidal) alcanza un valor crítico aparecen inestabilidades. El valor crítico viene dado por la fórmula ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }}$

${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }={\frac {4m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma ^{3}}{3{\sqrt {3}}\kappa }},}$

donde es la masa del oscilador y es el coeficiente de amortiguamiento. Además, aparecen nuevas resonancias en las que oscilaciones de frecuencia cercana a son excitadas por una fuerza externa con frecuencia bastante diferente de ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}.}$

Funciones de respuesta de frecuencia no lineal

Las funciones de respuesta de frecuencia generalizadas y las funciones de respuesta de frecuencia de salida no lineal ^[3] permiten al usuario estudiar comportamientos no lineales complejos en el dominio de la frecuencia de una manera basada en principios. Estas funciones revelan crestas de resonancia, armónicos , intermodulación y efectos de transferencia de energía de una manera que permite al usuario relacionar estos términos de modelos de tiempo discretos y continuos no lineales complejos con el dominio de la frecuencia y viceversa.

Véase también

• Ecuación de Duffing
• Turbulencia de las olas

Notas y referencias

Notas

1. Kartashova, E. (2010), Análisis de resonancia no lineal , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76360-8
2. Janssen, PAEM (2009). "Sobre algunas consecuencias de la transformación canónica en la teoría hamiltoniana de las ondas en el agua". J. Fluid Mech . 637 : 1–44. Bibcode :2009JFM...637....1J. doi :10.1017/S0022112009008131. S2CID  122752276.
3. Billings SA "Identificación de sistemas no lineales: métodos NARMAX en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal". Wiley, 2013

Referencias

• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1976), Mecánica (3.ª ed.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8, (tapa dura) y (tapa blanda)
• Rajasekar, S.; Sanjuan, MAF (2016), Resonancias no lineales (1ª ed.), Springer, ISBN 978-3-319-24886-8, (libro electrónico)

Enlaces externos

• Elmer, Franz-Josef (20 de julio de 1998), Nonlinear Resonance, Universidad de Basilea , consultado el 27 de octubre de 2010