Efecto Stark confinado cuánticamente

El efecto Stark confinado cuánticamente ( QCSE ) describe el efecto de un campo eléctrico externo sobre el espectro de absorción de luz o el espectro de emisión de un pozo cuántico (QW). En ausencia de un campo eléctrico externo, los electrones y los huecos dentro del pozo cuántico solo pueden ocupar estados dentro de un conjunto discreto de subbandas de energía. Solo un conjunto discreto de frecuencias de luz puede ser absorbido o emitido por el sistema. Cuando se aplica un campo eléctrico externo, los estados de los electrones cambian a energías más bajas, mientras que los estados de los huecos cambian a energías más altas. Esto reduce las frecuencias de absorción o emisión de luz permitidas. Además, el campo eléctrico externo desplaza los electrones y los huecos a lados opuestos del pozo, lo que disminuye la integral de superposición, lo que a su vez reduce la eficiencia de recombinación (es decir, el rendimiento cuántico de fluorescencia ) del sistema. ^[1] La separación espacial entre los electrones y los huecos está limitada por la presencia de las barreras de potencial alrededor del pozo cuántico, lo que significa que los excitones pueden existir en el sistema incluso bajo la influencia de un campo eléctrico. El efecto Stark confinado cuánticamente se utiliza en moduladores ópticos QCSE , que permiten activar y desactivar rápidamente las señales de comunicaciones ópticas. ^[2]

Incluso si los objetos cuánticos (pozos, puntos o discos, por ejemplo) emiten y absorben luz generalmente con energías más altas que la banda prohibida del material, el QCSE puede desplazar la energía a valores inferiores a la banda prohibida. Esto se evidenció recientemente en el estudio de discos cuánticos incrustados en un nanocable. ^[3]

Descripción teórica

El desplazamiento de las líneas de absorción se puede calcular comparando los niveles de energía en pozos cuánticos no polarizados y no polarizados. Es una tarea más sencilla encontrar los niveles de energía en el sistema no polarizado, debido a su simetría. Si el campo eléctrico externo es pequeño, se puede tratar como una perturbación del sistema no polarizado y su efecto aproximado se puede encontrar utilizando la teoría de perturbaciones .

Sistema imparcial

El potencial de un pozo cuántico puede escribirse como

${\displaystyle V(z)={\begin{cases}0;&|z|<L/2\\V_{0};&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$,

donde es el ancho del pozo y es la altura de las barreras de potencial. Los estados ligados en el pozo se encuentran en un conjunto de energías discretas, y las funciones de onda asociadas se pueden escribir utilizando la aproximación de la función envolvente de la siguiente manera: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\phi _{n}(z){\frac {1}{\sqrt {A}}}e^{i(k_{x}\cdot {x}+k_{y}\cdot {y})}u(\mathbf {r} ).}$

En esta expresión, es el área de la sección transversal del sistema, perpendicular a la dirección de cuantificación, es una función de Bloch periódica para el borde de la banda de energía en el semiconductor en masa y es una función de envolvente que varía lentamente para el sistema. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle u(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi _{n}(z)}$

A la izquierda: funciones de onda correspondientes a los niveles n=1 y n=3 en un pozo cuántico sin campo eléctrico aplicado ( ). A la derecha: el efecto perturbativo del campo eléctrico aplicado modifica las funciones de onda y disminuye la energía de la transición n=1. ${\displaystyle {\vec {F}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {F}}\neq 0}$ ${\displaystyle E}$

Si el pozo cuántico es muy profundo, se puede aproximar mediante el modelo de partícula en una caja , en el que . Según este modelo simplificado, existen expresiones analíticas para las funciones de onda de estado ligado, con la forma ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$

${\displaystyle \phi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\times {\begin{cases}\cos \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{odd}}\\\sin \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{even}}\end{cases}}.}$

Las energías de los estados ligados son

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}\pi ^{2}}{2m^{*}L^{2}}},}$

donde es la masa efectiva de un electrón en un semiconductor dado. ${\displaystyle m^{*}}$

Sistema sesgado

Suponiendo que el campo eléctrico está polarizado a lo largo de la dirección z,

${\displaystyle \mathbf {F} =F\mathbf {z} ,}$

El término hamiltoniano perturbador es

${\displaystyle H'=eFz.}$

La corrección de primer orden a los niveles de energía es cero debido a la simetría.

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|eFz|n^{(0)}\rangle =0}$.

La corrección de segundo orden es, por ejemplo n=1,

${\displaystyle E_{1}^{(2)}=\sum _{k\neq 1}{\frac {|\langle k^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\approx {\frac {|\langle 2^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}}}=-24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{e}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}}$

para el electrón, donde se ha introducido la aproximación adicional de descuidar los términos de perturbación debidos a los estados ligados con k pares y > 2. En comparación, los términos de perturbación de los estados impares-k son cero debido a la simetría.

Se pueden aplicar cálculos similares a los huecos reemplazando la masa efectiva del electrón por la masa efectiva del hueco . Al introducir la masa efectiva total , el desplazamiento de energía de la primera transición óptica inducida por QCSE se puede aproximar a: ${\displaystyle m_{e}^{*}}$ ${\displaystyle m_{h}^{*}}$ ${\displaystyle m_{tot}^{*}=m_{e}^{*}+m_{h}^{*}}$

${\displaystyle \Delta E\approx -24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{tot}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}.}$^[4]

El desplazamiento descendente del nivel de energía confinada analizado en la ecuación anterior se denomina efecto Franz-Keldysh.

Las aproximaciones realizadas hasta ahora son bastante rudimentarias, no obstante, el cambio de energía muestra experimentalmente una dependencia de la ley del cuadrado del campo eléctrico aplicado, ^[5] como se predijo.

Coeficiente de absorción

Demostración experimental del efecto Stark confinado cuánticamente en pozos cuánticos de Ge/Si Ge . ${\displaystyle _{0.18}}$ ${\displaystyle _{0.82}}$

Simulación numérica del coeficiente de absorción de pozos cuánticos de Ge/Si Ge ${\displaystyle _{0.18}}$ ${\displaystyle _{0.82}}$

Además del corrimiento al rojo hacia energías más bajas de las transiciones ópticas, el campo eléctrico de corriente continua también induce una disminución en la magnitud del coeficiente de absorción, ya que disminuye las integrales superpuestas de las funciones de onda de las bandas de valencia y conducción relacionadas. Dadas las aproximaciones realizadas hasta ahora y la ausencia de cualquier campo eléctrico aplicado a lo largo de z, la integral superpuesta para las transiciones será: ${\displaystyle n_{valence}=n_{conduction}}$

${\displaystyle \langle \phi _{c,n}|\phi _{v,n}\rangle =1}$.

Para calcular cómo se modifica esta integral por el efecto Stark confinado cuánticamente, empleamos nuevamente la teoría de perturbación independiente del tiempo . La corrección de primer orden para la función de onda es

${\displaystyle \phi _{n}^{'}=\sum _{k\neq n}{\frac {\langle \phi _{n}|H'|\phi _{k}\rangle }{E_{n}-E_{k}}}|\phi _{k}\rangle }$.

Una vez más, observamos el nivel de energía y consideramos solo la perturbación del nivel (observe que la perturbación se debe a la simetría). Obtenemos ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle \phi _{c,1}=\phi _{c,1}^{0}+\phi _{c,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)-\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{e}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)}$

${\displaystyle \phi _{v,1}=\phi _{v,1}^{0}+\phi _{v,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)+\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{h}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)}$

para la banda de conducción y valencia respectivamente, donde se ha introducido como constante de normalización. Para cualquier campo eléctrico aplicado obtenemos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\hat {z}}\neq 0}$

${\displaystyle \langle \phi _{c,1}|\phi _{v,1}\rangle <1}$.

Por lo tanto, de acuerdo con la regla de oro de Fermi , que dice que la probabilidad de transición depende de la integral superpuesta anterior, la fuerza de transición óptica se debilita.

Excitones

La descripción del efecto Stark confinado cuánticamente que ofrece la teoría de perturbaciones de segundo orden es extremadamente simple e intuitiva. Sin embargo, para representar correctamente el efecto Stark confinado cuánticamente, se debe tener en cuenta el papel de los excitones . Los excitones son cuasipartículas que consisten en un estado ligado de un par electrón-hueco, cuya energía de enlace en un material a granel se puede modelar como la de un átomo de hidrógeno .

${\displaystyle E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{\frac {R_{H}}{n^{2}}}}$

donde es la constante de Rydberg , es la masa reducida del par electrón-hueco y es la permitividad eléctrica relativa. La energía de enlace del excitón debe incluirse en el balance energético de los procesos de absorción de fotones: ${\displaystyle R_{H}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$

${\displaystyle h\nu >E_{g}-E_{X}}$.

Por lo tanto, la generación de excitones desplaza hacia el rojo la banda óptica prohibida hacia energías más bajas. Si se aplica un campo eléctrico a un semiconductor en masa, se observa un desplazamiento hacia el rojo adicional en el espectro de absorción debido al efecto Franz-Keldysh . Debido a sus cargas eléctricas opuestas, el electrón y el hueco que constituyen el excitón se separarán bajo la influencia del campo eléctrico externo. Si el campo es lo suficientemente fuerte

${\displaystyle -e{\vec {F}}\cdot {\vec {r_{X}}}>|E_{X}|}$

Entonces, los excitones dejan de existir en el material en masa. Esto limita un poco la aplicabilidad de Franz-Keldysh para fines de modulación, ya que el corrimiento al rojo inducido por el campo eléctrico aplicado se contrarresta con el desplazamiento hacia energías más altas debido a la ausencia de generación de excitones.

Este problema no existe en QCSE, ya que los electrones y los huecos están confinados en los pozos cuánticos. Mientras la profundidad del pozo cuántico sea comparable al radio excitónico de Bohr , se presentarán fuertes efectos excitónicos sin importar la magnitud del campo eléctrico aplicado. Además, los pozos cuánticos se comportan como sistemas bidimensionales, que mejoran fuertemente los efectos excitónicos con respecto al material en masa. De hecho, resolver la ecuación de Schrödinger para un potencial de Coulomb en un sistema bidimensional produce una energía de enlace excitónico de

${\displaystyle E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{\frac {R_{H}}{n^{2}-1/2}}}$

que es cuatro veces mayor que el caso tridimensional para la solución. ^[6] ${\displaystyle 1s}$

Modulación óptica

Imagen animada que muestra el cambio en el espectro de absorción de pozos cuánticos de GaAs/AlGaAs por voltaje aplicado externamente

La aplicación más prometedora del efecto Stark confinado cuánticamente radica en su capacidad para realizar modulación óptica en el rango espectral del infrarrojo cercano, lo que es de gran interés para la fotónica de silicio y la reducción de escala de las interconexiones ópticas . ^{[2] [7]} Un modulador de electroabsorción basado en QCSE consta de una estructura PIN donde la región intrínseca contiene múltiples pozos cuánticos y actúa como una guía de ondas para la señal portadora . Se puede inducir un campo eléctrico perpendicularmente a los pozos cuánticos aplicando una polarización inversa externa al diodo PIN, lo que provoca QCSE. Este mecanismo se puede emplear para modular longitudes de onda por debajo de la brecha de banda del sistema no polarizado y dentro del alcance del corrimiento al rojo inducido por QCSE.

Aunque se demostró por primera vez en pozos cuánticos de GaAs / Al _x Ga _1-x As , ^[1] el QCSE comenzó a generar interés después de su demostración en Ge / SiGe . ^[8] A diferencia de los semiconductores III/V, las pilas de pozos cuánticos de Ge/SiGe se pueden cultivar epitaxialmente sobre un sustrato de silicio, siempre que haya una capa intermedia entre los dos. Esta es una ventaja decisiva, ya que permite que el QCSE de Ge/SiGe se integre con la tecnología CMOS ^[9] y los sistemas fotónicos de silicio.

El germanio es un semiconductor de brecha indirecta , con una banda prohibida de 0,66 eV . Sin embargo, también tiene un mínimo relativo en la banda de conducción en el punto , con una banda prohibida directa de 0,8 eV, que corresponde a una longitud de onda de 1550 nm . Por lo tanto, el QCSE en pozos cuánticos de Ge/SiGe se puede utilizar para modular la luz a 1,55 , ^[9] que es crucial para aplicaciones de fotónica de silicio, ya que 1,55 es la ventana de transparencia de la fibra óptica y la longitud de onda más utilizada para telecomunicaciones. Al ajustar con precisión los parámetros del material, como la profundidad del pozo cuántico, la deformación biaxial y el contenido de silicio en el pozo, también es posible adaptar la banda prohibida óptica del sistema de pozo cuántico de Ge/SiGe para modular a 1310 nm, ^{[9] [10]} que también corresponde a una ventana de transparencia para fibras ópticas. Se ha demostrado la modulación electroóptica por QCSE utilizando pozos cuánticos de Ge/SiGe hasta 23 GHz con energías por bit tan bajas como 108 fJ. ^[11] e integrado en una configuración de guía de ondas en una guía de ondas de SiGe ^[12]. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mu m}$ ${\displaystyle \mu m}$

Véase también

• Efecto Franz-Keldysh

Citas

1. Miller, D. (1984). "Electroabsorción en el borde de la banda en estructuras de pozos cuánticos: el efecto Stark confinado cuánticamente". Phys. Rev. Lett . 53 (22): 2173–2176. Código Bibliográfico :1984PhRvL..53.2173M. doi :10.1103/PhysRevLett.53.2173.
2. Miller, David AB (2009). "Requisitos de dispositivos para interconexiones ópticas con chips de silicio". Actas del IEEE . 97 (7): 1166–1185. doi :10.1109/JPROC.2009.2014298. S2CID  15772363.
3. Zagonel, LF (2011). "Imágenes espectrales a escala nanométrica de emisores cuánticos en nanocables y su correlación con su estructura resuelta atómicamente". Nano Letters . 11 (2): 568–573. arXiv : 1209.0953 . Código Bibliográfico :2011NanoL..11..568Z. doi :10.1021/nl103549t. PMID  21182283. S2CID  18003378.
4. Singh, Jasprit. Optolectronics de semiconductores: física y tecnología . pp. Sección 5.8: MODULACIÓN DE TRANSICIONES EXCITÓNICAS: EFECTO STARK CONFINADO CUÁNTICO.
5. Weiner, Joseph S.; Miller, David AB; Chemla, Daniel S. (30 de marzo de 1987). "Efecto electroóptico cuadrático debido al efecto Stark confinado cuánticamente en pozos cuánticos". Applied Physics Letters . 50 (13): 842–844. Código Bibliográfico :1987ApPhL..50..842W. doi :10.1063/1.98008.
6. Chuang, Shun Lien (2009). Física de dispositivos fotónicos, capítulo 3. Wiley. ISBN 978-0470293195.
7. Miller, David AB (2017). "Optoelectrónica de attojulios para procesamiento y comunicaciones de información de bajo consumo energético". Revista de tecnología de ondas de luz . 35 (3): 346–396. arXiv : 1609.05510 . Código Bibliográfico :2017JLwT...35..346M. doi :10.1109/JLT.2017.2647779. S2CID  38932250.
8. Kuo, Yu-Hsuan; Lee, Yong Kyu; Ge, Yangsi; Ren, Shen; Roth, Jonathan E.; Kamins, Theodore I.; Miller, David AB; Harris, James S. (octubre de 2005). "Fuerte efecto Stark confinado cuánticamente en estructuras de pozo cuántico de germanio sobre silicio". Nature . 437 (7063): 1334–1336. Bibcode :2005Natur.437.1334K. doi :10.1038/nature04204. PMID  16251959. S2CID  4414993.
9. Lever, L; Ikonić, Z; Valavanis, A; Cooper, JD; Kelsall, RW (noviembre de 2010). "Diseño de heteroestructuras de electroabsorción de efecto Stark confinadas cuánticamente de Ge-SiGe para fotónica compatible con CMOS" (PDF) . Journal of Lightwave Technology . 28 (22): 3273. Bibcode :2010JLwT...28.3273L. doi :10.1109/JLT.2010.2081345. S2CID  11011784.
10. Rouifed, Mohamed Said; Chaisakul, Papichaya; Marris-Morini, Delphine; Frigerio, Jacopo; Isella, Giovanni; Cristina, Daniel; Edmundo, Sansón; Roux, Xavier Le; Coudevylle, Jean-René; Vivien, Laurent (18 de septiembre de 2012). "Efecto Stark confinado cuánticamente a 13 μm en estructura de pozo cuántico Ge / Si_035Ge_065". Letras de Óptica . 37 (19): 3960–2. Código Bib : 2012OptL...37.3960R. doi :10.1364/OL.37.003960. PMID  23027245.
11. Chaisakul, Papichaya; Marris-Morini, Delphine; Rouifed, Mohamed-Saïd; Isella, Giovanni; Cristina, Daniel; Frigerio, Jacopo; Le Roux, Xavier; Edmundo, Sansón; Coudevylle, Jean-René; Vivien, Laurent (26 de enero de 2012). "Modulador de electroabsorción de pozos cuánticos múltiples Ge / SiGe de 23 GHz". Óptica Express . 20 (3): 3219–24. Código Bib : 2012OExpr..20.3219C. doi : 10.1364/OE.20.003219 . PMID  22330559.
12. Chaisakul, Papichaya; Marris-Morini, Delphine; Frigerio, Jacopo; Cristina, Daniel; Rouifed, Mohamed-Said; Cecchi, Stefano; Crozat, Paul; Isella, Giovanni; Vivien, Laurent (11 de mayo de 2014). "Interconexiones ópticas de germanio integradas sobre sustratos de silicio". Fotónica de la naturaleza . 8 (6): 482–488. Código Bib : 2014NaPho...8..482C. doi :10.1038/NPHOTON.2014.73. hdl : 11311/849543 .

Fuentes generales

• Mark Fox, Propiedades ópticas de los sólidos , Oxford, Nueva York, 2001.
• Hartmut Haug, Teoría cuántica de las propiedades ópticas y electrónicas de los semiconductores , World Scientific, 2004.
• https://web.archive.org/web/20100728030241/http://www.rle.mit.edu/sclaser/6.973%20lecture%20notes/Lecture%2013c.pdf
• Shun Lien Chuang, Física de dispositivos fotónicos , Wiley, 2009.