Efecto Doppler relativista

Scientific phenomenon

Figura 1. Una fuente de ondas de luz que se mueve hacia la derecha, en relación con los observadores, con una velocidad de 0,7 c . La frecuencia es mayor para los observadores de la derecha y menor para los observadores de la izquierda.

El efecto Doppler relativista es el cambio en la frecuencia , longitud de onda y amplitud ^[1] de la luz, causado por el movimiento relativo de la fuente y el observador (como en el efecto Doppler clásico ), cuando se tienen en cuenta los efectos descritos por la teoría especial de relatividad .

El efecto Doppler relativista es diferente del efecto Doppler no relativista ya que las ecuaciones incluyen el efecto de dilatación del tiempo de la relatividad especial y no involucran el medio de propagación como punto de referencia. Describen la diferencia total en las frecuencias observadas y poseen la simetría de Lorentz requerida .

Los astrónomos conocen tres fuentes de desplazamiento al rojo / desplazamiento al azul : desplazamientos Doppler; corrimientos al rojo gravitacionales (debido a la luz que sale de un campo gravitacional); y expansión cosmológica (donde el espacio mismo se extiende). Este artículo se ocupa únicamente de los desplazamientos Doppler.

Resumen de los principales resultados

En la siguiente tabla, se supone que el receptor y la fuente se alejan uno del otro, siendo la velocidad relativa y la velocidad de la luz, y . ${\displaystyle \beta =v/c>0}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Derivación

Efecto Doppler longitudinal relativista

El desplazamiento Doppler relativista para el caso longitudinal, en el que la fuente y el receptor se acercan o se alejan directamente uno del otro, a menudo se deriva como si fuera el fenómeno clásico, pero modificado añadiendo un término de dilatación del tiempo . ^{[2] [3]} Este es el enfoque empleado en los libros de texto de física o mecánica de primer año, como los de Feynman ^[4] o Morin. ^[5]

Siguiendo este enfoque para derivar el efecto Doppler longitudinal relativista, supongamos que el receptor y la fuente se están alejando uno del otro con una velocidad relativa medida por un observador en el receptor o la fuente (la convención de signos adoptada aquí es que es negativa si el el receptor y la fuente se acercan ) . ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle v\,}$

Considere el problema en el marco de referencia de la fuente.

Supongamos que un frente de onda llega al receptor. El siguiente frente de onda está entonces a una distancia del receptor (donde es la longitud de onda , es la frecuencia de las ondas que emite la fuente y es la velocidad de la luz ). ${\displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s}\,}$ ${\displaystyle \lambda _{s}\,}$ ${\displaystyle f_{s}\,}$ ${\displaystyle c\,}$

El frente de onda se mueve con velocidad , pero al mismo tiempo el receptor se aleja con velocidad durante un tiempo , que es el período de las ondas de luz que inciden en el receptor, como se observa en el marco de la fuente. Entonces, ¿dónde está la velocidad del receptor en términos de la velocidad de la luz? La frecuencia correspondiente , la frecuencia a la que los frentes de onda inciden en el receptor en el marco de la fuente, es: ${\displaystyle c\,}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t_{r,s}}$ $${\displaystyle \lambda _{s}+vt_{r,s}=ct_{r,s}\Longleftrightarrow \lambda _{s}=ct_{r,s}(1-v/c)\Longleftrightarrow t_{r,s}={\frac {1}{f_{s}(1-\beta )}},}$$ ${\displaystyle \beta =v/c\,}$ ${\displaystyle f_{r,s}}$ $${\displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}$$

Hasta ahora, las ecuaciones han sido idénticas a las del efecto Doppler clásico con una fuente estacionaria y un receptor en movimiento.

Sin embargo, debido a efectos relativistas, los relojes del receptor están dilatados en relación con los relojes de la fuente: , donde es el factor de Lorentz . Para saber qué tiempo está dilatado recordemos que es el tiempo del cuadro en el que la fuente está en reposo. El receptor medirá la frecuencia recibida para ser ${\displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ ${\displaystyle t_{r,s}}$

Ec. 1:    ${\displaystyle f_{r}=f_{r,s}\gamma }$ ${\displaystyle ={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.}$

El radio

${\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}$

se llama factor Doppler de la fuente en relación con el receptor. (Esta terminología es particularmente frecuente en el tema de la astrofísica : ver emisión relativista ).

Las longitudes de onda correspondientes están relacionadas por

Ec. 2:    ${\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}},}$

Se obtienen expresiones idénticas para el desplazamiento Doppler relativista cuando se realiza el análisis en el marco de referencia del receptor con una fuente en movimiento. Esto coincide con las expectativas del principio de relatividad , que dicta que el resultado no puede depender de qué objeto se considera que está en reposo. Por el contrario, el clásico efecto Doppler no relativista depende de si la fuente o el receptor están estacionarios con respecto al medio. ^{[4] [5]}

Efecto Doppler transversal

Supongamos que una fuente y un receptor se acercan entre sí con un movimiento inercial uniforme a lo largo de trayectorias que no chocan. El efecto Doppler transversal (TDE) puede referirse a (a) el desplazamiento hacia el azul nominal predicho por la relatividad especial que se produce cuando el emisor y el receptor están en sus puntos de máxima aproximación; o (b) el corrimiento al rojo nominal predicho por la relatividad especial cuando el receptor ve que el emisor está en su máxima aproximación. ^[5] El efecto Doppler transversal es una de las principales predicciones novedosas de la teoría especial de la relatividad.

Que un informe científico describa el TDE como un corrimiento al rojo o al azul depende de los detalles del arreglo experimental que se relaciona. Por ejemplo, la descripción original de Einstein del TDE en 1907 describía a un experimentador mirando el centro (punto más cercano) de un haz de " rayos de canal " (un haz de iones positivos creado por ciertos tipos de tubos de descarga de gas). Según la relatividad especial, la frecuencia emitida por los iones en movimiento se reduciría en el factor de Lorentz, de modo que la frecuencia recibida se reduciría (desplazaría al rojo) en el mismo factor. ^{[pág. 1] [nota 1]}

Por otro lado, Kündig (1963) describió un experimento en el que se hacía girar un absorbente Mössbauer en una trayectoria circular rápida alrededor de un emisor central Mössbauer. ^{[p 3]} Como se explica a continuación, este arreglo experimental resultó en la medición de Kündig de un desplazamiento hacia el azul.

La fuente y el receptor están en sus puntos de mayor aproximación.

Figura 2. La fuente y el receptor se encuentran en sus puntos de mayor aproximación. (a) Análisis en el marco del receptor. (b) Análisis en el marco de la fuente.

En este escenario, el punto de máxima aproximación es independiente del marco y representa el momento en el que no hay cambios en la distancia versus el tiempo. La Figura 2 demuestra que la facilidad de analizar este escenario depende del marco en el que se analiza. ^[5]

• Figura 2a. Si analizamos el escenario en el marco del receptor, encontramos que el análisis es más complicado de lo que debería ser. La posición aparente de un objeto celeste se desplaza de su posición verdadera (o posición geométrica) debido al movimiento del objeto durante el tiempo que tarda su luz en llegar al observador. La fuente estaría dilatada en el tiempo con respecto al receptor, pero el corrimiento al rojo implícito en esta dilatación del tiempo se compensaría con un corrimiento al azul debido al componente longitudinal del movimiento relativo entre el receptor y la posición aparente de la fuente.
• Figura 2b. Es mucho más fácil si, en cambio, analizamos el escenario desde el marco de la fuente. Un observador situado en la fuente sabe, por el planteamiento del problema, que el receptor está en su punto más cercano a él. Eso significa que el receptor no tiene ningún componente longitudinal de movimiento que complique el análisis. (es decir, dr/dt = 0 donde r es la distancia entre el receptor y la fuente) Dado que los relojes del receptor están dilatados en el tiempo con respecto a la fuente, la luz que recibe el receptor se desplaza hacia el azul en un factor de gamma. En otras palabras,

Ec. 3:    ${\displaystyle f_{r}=\gamma f_{s}}$

Receptorvela fuente como si estuviera en su punto más cercano

Figura 3. Desplazamiento Doppler transversal para el escenario en el que el receptor ve la fuente en su punto más cercano.

Este escenario es equivalente a que el receptor mire en ángulo recto directo con respecto a la trayectoria de la fuente. El análisis de este escenario se realiza mejor desde el marco del receptor. La Figura 3 muestra el receptor iluminado por la luz del momento en que la fuente estaba más cerca del receptor, aunque la fuente se haya movido. ^[5] Debido a que el reloj de la fuente está dilatado en el tiempo medido en el marco del receptor, y debido a que no hay un componente longitudinal de su movimiento, la luz de la fuente, emitida desde este punto más cercano, se desplaza al rojo con la frecuencia.

Ec. 4:    ${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}}$

En la literatura, la mayoría de los informes sobre el desplazamiento Doppler transversal analizan el efecto en términos de que el receptor apunta en ángulo recto directo con respecto a la trayectoria de la fuente, viendo así que la fuente está en su punto más cercano y observando un desplazamiento al rojo.

Punto de cambio de frecuencia nula

Figura 4. Se produce un cambio de frecuencia nulo para un pulso que recorre la distancia más corta desde la fuente al receptor.

Dado que, en el caso en que la fuente y el receptor que se mueven inercialmente están geométricamente en su punto más cercano entre sí, el receptor observa un desplazamiento hacia el azul, mientras que en el caso en que el receptor ve que la fuente está en su punto más cercano, el receptor observa un corrimiento al rojo, obviamente debe existir un punto en el que el corrimiento al azul cambie a un corrimiento al rojo. En la Fig. 2, la señal viaja perpendicularmente a la trayectoria del receptor y se desplaza hacia el azul. En la Fig. 3, la señal viaja perpendicularmente a la trayectoria de la fuente y se desplaza al rojo.

Como se ve en la Fig. 4, se produce un cambio de frecuencia nulo para un pulso que recorre la distancia más corta desde la fuente al receptor. Cuando se ve en el cuadro donde la fuente y el receptor tienen la misma velocidad, este pulso se emite perpendicularmente a la trayectoria de la fuente y se recibe perpendicularmente a la trayectoria del receptor. El pulso se emite ligeramente antes del punto de máxima aproximación y se recibe ligeramente después. ^[6]

Un objeto en movimiento circular alrededor del otro.

Figura 5. Efecto Doppler transversal para dos escenarios: (a) receptor moviéndose en círculo alrededor de la fuente; (b) fuente que se mueve en círculo alrededor del receptor.

La figura 5 ilustra dos variantes de este escenario. Ambas variantes pueden analizarse utilizando argumentos simples de dilatación del tiempo. ^[5] La Figura 5a es esencialmente equivalente al escenario descrito en la Figura 2b, y el receptor observa que la luz de la fuente se desplaza hacia el azul en un factor de . La Figura 5b es esencialmente equivalente al escenario descrito en la Figura 3, y la luz está desplazada al rojo. ${\displaystyle \gamma }$

La única complicación aparente es que los objetos en órbita están en movimiento acelerado. Una partícula acelerada no tiene un sistema inercial en el que esté siempre en reposo. Sin embargo, siempre se puede encontrar un sistema inercial que se mueve momentáneamente con la partícula. Este marco, el marco de referencia momentáneamente comoving (MCRF) , permite la aplicación de la relatividad especial al análisis de partículas aceleradas. Si un observador inercial mira un reloj en aceleración, sólo la velocidad instantánea del reloj es importante al calcular la dilatación del tiempo. ^[7]

Sin embargo, lo contrario no es cierto. El análisis de escenarios donde ambos objetos se encuentran en movimiento acelerado requiere de un análisis algo más sofisticado. No entender este punto ha llevado a confusión y malentendidos.

Fuente y receptor ambos en movimiento circular alrededor de un centro común

Figura 6. La fuente y el receptor se colocan en extremos opuestos de un rotor, equidistantes del centro.

Supongamos que la fuente y el receptor están ubicados en los extremos opuestos de un rotor giratorio, como se ilustra en la Fig. 6. Argumentos cinemáticos (relatividad especial) y argumentos basados ​​en observar que no hay diferencia de potencial entre la fuente y el receptor en el campo pseudogravitacional del rotor. (relatividad general) ambos llevan a la conclusión de que no debería haber desplazamiento Doppler entre la fuente y el receptor.

En 1961, Champeney y Moon llevaron a cabo un experimento con rotores Mössbauer probando exactamente este escenario y descubrieron que el proceso de absorción de Mössbauer no se veía afectado por la rotación. ^{[p 4]} Llegaron a la conclusión de que sus hallazgos apoyaban la relatividad especial.

Esta conclusión generó cierta controversia. Cierto crítico persistente de la relatividad ^{[ ¿quién? ]} sostuvo que, aunque el experimento era consistente con la relatividad general, refutaba la relatividad especial, siendo su punto que dado que el emisor y el absorbente estaban en movimiento relativo uniforme, la relatividad especial exigía que se observara un desplazamiento Doppler. La falacia del argumento de este crítico fue, como se demuestra en la sección Punto de desplazamiento de frecuencia nula, que simplemente no es cierto que siempre deba observarse un desplazamiento Doppler entre dos fotogramas en movimiento relativo uniforme. ^[8] Además, como se demuestra en la sección La fuente y el receptor están en sus puntos de mayor aproximación, la dificultad de analizar un escenario relativista a menudo depende de la elección del marco de referencia. Intentar analizar el escenario en el marco del receptor implica mucha álgebra tediosa. Es mucho más fácil, casi trivial, establecer la falta de desplazamiento Doppler entre el emisor y el absorbente en el marco del laboratorio. ^[8]

De hecho, sin embargo, el experimento de Champeney y Moon no dijo nada a favor o en contra de la relatividad especial. Debido a la simetría de la configuración, resulta que prácticamente cualquier teoría concebible del desplazamiento Doppler entre cuadros en movimiento inercial uniforme debe arrojar un resultado nulo en este experimento. ^[8]

En lugar de estar equidistantes del centro, supongamos que el emisor y el absorbente estuvieran a diferentes distancias del centro del rotor. Para un emisor en un radio y un absorbente en un radio en cualquier parte del rotor, la relación entre la frecuencia del emisor y la frecuencia del absorbente está dada por ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f',}$ ${\displaystyle f,}$

Ec. 5:    ${\displaystyle {\frac {f'}{f}}=\left({\frac {c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}{c^{2}-R'^{2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}}$

donde es la velocidad angular del rotor. La fuente y el emisor no tienen que estar separados 180°, pero pueden estar en cualquier ángulo con respecto al centro. ^{[pág. 5] [9]} ${\displaystyle \omega }$

Movimiento en una dirección arbitraria

Figura 7. Desplazamiento Doppler con la fuente moviéndose en un ángulo arbitrario con respecto a la línea entre la fuente y el receptor.

El análisis utilizado en la sección Efecto Doppler longitudinal relativista se puede ampliar de forma sencilla para calcular el desplazamiento Doppler en el caso en que los movimientos inerciales de la fuente y el receptor estén en cualquier ángulo especificado. ^{[3] [10]} La Fig. 7 presenta el escenario desde el marco del receptor, con la fuente moviéndose a una velocidad en un ángulo medido en el marco del receptor. La componente radial del movimiento de la fuente a lo largo de la línea de visión es igual a ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta _{r}}$ ${\displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}$

La siguiente ecuación se puede interpretar como el desplazamiento Doppler clásico para una fuente estacionaria y en movimiento modificado por el factor de Lorentz. ${\displaystyle \gamma :}$

Ec. 6:    ${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}.}$

En el caso de , se obtiene el efecto Doppler transversal: ${\displaystyle \theta _{r}=90^{\circ }}$

${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.\,}$

En su artículo de 1905 sobre la relatividad especial, ^{[p 2]} Einstein obtuvo una ecuación algo diferente para la ecuación del desplazamiento Doppler. Después de cambiar los nombres de las variables en la ecuación de Einstein para que sean consistentes con los usados ​​aquí, su ecuación dice

Ec. 7:    ${\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}.}$

Las diferencias surgen del hecho de que Einstein evaluó el ángulo con respecto al marco de reposo de la fuente en lugar del marco de reposo del receptor. no es igual a debido al efecto de la aberración relativista . La ecuación de aberración relativista es: ${\displaystyle \theta _{s}}$ ${\displaystyle \theta _{s}}$ ${\displaystyle \theta _{r}}$

Ec. 8:    ${\displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}}\,}$

Al sustituir la ecuación de aberración relativista ( Ecuación 8) en la Ecuación 6 se obtiene la Ecuación 7 , lo que demuestra la coherencia de estas ecuaciones alternativas para el desplazamiento Doppler. ^[10]

Al establecer la Ecuación 6 o la Ecuación 7 se obtiene la Ecuación 1 , la expresión para el desplazamiento Doppler longitudinal relativista. ${\displaystyle \theta _{r}=0}$ ${\displaystyle \theta _{s}=0}$

En Landau y Lifshitz (2005) se puede encontrar un enfoque de cuatro vectores para obtener estos resultados. ^[11]

En las ondas electromagnéticas, las amplitudes E y B del campo eléctrico y magnético se transforman de manera similar a la frecuencia: ^[12]

${\displaystyle E_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)E_{s}}$

${\displaystyle B_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)B_{s}.}$

Visualización

Figura 8. Comparación del efecto Doppler relativista (arriba) con el efecto no relativista (abajo).

La figura 8 nos ayuda a comprender, en un sentido cualitativo aproximado, en qué se diferencian el efecto Doppler relativista y la aberración relativista del efecto Doppler no relativista y la aberración de la luz no relativista . Supongamos que el observador está uniformemente rodeado en todas direcciones por estrellas amarillas que emiten luz monocromática de 570 nm. Las flechas en cada diagrama representan el vector de velocidad del observador en relación con su entorno, con una magnitud de 0,89  c .

• En el caso relativista, la luz delante del observador se desplaza al azul a una longitud de onda de 137 nm en el ultravioleta lejano, mientras que la luz detrás del observador se desplaza al rojo a 2400 nm en el infrarrojo de longitud de onda corta. Debido a la aberración relativista de la luz, los objetos que antes se encontraban en ángulo recto con respecto al observador aparecen desplazados 63° hacia adelante.
• En el caso no relativista, la luz delante del observador se desplaza al azul a una longitud de onda de 300 nm en el ultravioleta medio, mientras que la luz detrás del observador se desplaza al rojo a 5200 nm en el infrarrojo intermedio. Debido a la aberración de la luz, los objetos que antes se encontraban en ángulo recto con respecto al observador aparecen desplazados 42° hacia adelante.
• En ambos casos, las estrellas monocromáticas delante y detrás del observador presentan un desplazamiento Doppler hacia longitudes de onda invisibles. Sin embargo, si el observador tuviera ojos que pudieran ver en el ultravioleta y el infrarrojo, vería las estrellas delante de él más brillantes y más agrupadas que las estrellas detrás, pero las estrellas serían mucho más brillantes y mucho más concentradas en el horizonte. caso relativista. ^[13]

Las estrellas reales no son monocromáticas, sino que emiten una gama de longitudes de onda que se aproxima a la distribución de un cuerpo negro . No es necesariamente cierto que las estrellas delante del observador muestren un color más azul. Esto se debe a que se desplaza toda la distribución de energía espectral. Al mismo tiempo que la luz visible se desplaza hacia el azul hacia longitudes de onda ultravioleta invisibles, la luz infrarroja se desplaza hacia el azul hacia el rango visible. Los cambios precisos en los colores que se ven dependen de la fisiología del ojo humano y de las características espectrales de las fuentes de luz que se observan. ^{[14] [15]}

Efecto Doppler sobre la intensidad

El efecto Doppler (con dirección arbitraria) también modifica la intensidad de la fuente percibida: esto se puede expresar de manera concisa por el hecho de que la intensidad de la fuente dividida por el cubo de la frecuencia es una invariante de Lorentz ^{[p 6] [nota 2]} Esto implica que el total La intensidad radiante (suma de todas las frecuencias) se multiplica por la cuarta potencia del factor Doppler para la frecuencia.

Como consecuencia, dado que la ley de Planck describe que la radiación del cuerpo negro tiene una intensidad espectral en frecuencia proporcional a (dónde está la temperatura de la fuente y la frecuencia), podemos sacar la conclusión de que un espectro de cuerpo negro visto a través de un desplazamiento Doppler (con dirección arbitraria) sigue siendo un espectro de cuerpo negro con una temperatura multiplicada por el mismo factor Doppler que la frecuencia. ${\displaystyle {\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$

Este resultado proporciona una de las pruebas que sirve para distinguir la teoría del Big Bang de las teorías alternativas propuestas para explicar el corrimiento al rojo cosmológico . ^[dieciséis]

Verificación experimental

Dado que el efecto Doppler transversal es una de las principales predicciones novedosas de la teoría de la relatividad especial, la detección y cuantificación precisa de este efecto ha sido un objetivo importante de los experimentos que intentan validar la relatividad especial.

Medidas tipo Ives y Stilwell

Figura 9. Por qué es difícil medir con precisión el efecto Doppler transversal utilizando un haz transversal.

Einstein (1907) había sugerido inicialmente que el TDE podría medirse observando un haz de " rayos de canal " en ángulo recto con respecto al haz. ^{[p 1]} Los intentos de medir el TDE siguiendo este esquema resultaron poco prácticos, ya que la velocidad máxima de un haz de partículas disponible en ese momento era sólo unas pocas milésimas de la velocidad de la luz.

La Fig. 9 muestra los resultados del intento de medir la línea de 4861 Angstrom emitida por un haz de rayos del canal (una mezcla de iones H1+, H2+ y H3+) a medida que se recombinan con los electrones extraídos del gas de hidrógeno diluido utilizado para llenar el rayo del canal. tubo. Aquí, el resultado previsto del TDE es una línea de 4861,06 Angstrom. A la izquierda, el desplazamiento Doppler longitudinal provoca un ensanchamiento de la línea de emisión hasta tal punto que no se puede observar el TDE. Las figuras del medio ilustran que incluso si uno estrecha la vista al centro exacto del haz, desviaciones muy pequeñas del haz desde un ángulo recto exacto introducen cambios comparables al efecto previsto.

En lugar de intentar medir directamente el TDE, Ives y Stilwell (1938) utilizaron un espejo cóncavo que les permitió observar simultáneamente un haz directo casi longitudinal (azul) y su imagen reflejada (rojo). Espectroscópicamente, se observarían tres líneas: una línea de emisión no desplazada y líneas desplazadas al azul y al rojo. El promedio de las líneas desplazadas al rojo y al azul se compararía con la longitud de onda de la línea de emisión no desplazada. La diferencia que midieron Ives y Stilwell correspondía, dentro de los límites experimentales, al efecto predicho por la relatividad especial. ^{[pág. 7]}

Varias de las repeticiones posteriores del experimento de Ives y Stilwell han adoptado otras estrategias para medir la media de las emisiones de haces de partículas desplazadas al azul y al rojo. En algunas repeticiones recientes del experimento, se ha utilizado tecnología moderna de aceleradores para observar dos haces de partículas que giran en sentido contrario. En otras repeticiones, las energías de los rayos gamma emitidos por un haz de partículas que se mueve rápidamente se midieron en ángulos opuestos con respecto a la dirección del haz de partículas. Dado que estos experimentos en realidad no miden la longitud de onda del haz de partículas en ángulo recto con respecto al haz, algunos autores han preferido referirse al efecto que están midiendo como "desplazamiento Doppler cuadrático" en lugar de TDE. ^{[pág. 8] [pág. 9]}

Medición directa del efecto Doppler transversal.

La llegada de la tecnología de aceleradores de partículas ha hecho posible la producción de haces de partículas de energía considerablemente mayor que la que tenían a disposición Ives y Stilwell. Esto ha permitido diseñar pruebas del efecto Doppler transversal directamente según la forma en que Einstein las imaginó originalmente, es decir, observando directamente un haz de partículas en un ángulo de 90°. Por ejemplo, Hasselkamp et al. (1979) observaron la línea H α emitida por átomos de hidrógeno que se movían a velocidades que oscilaban entre 2,53×10 ⁸  cm/s y 9,28×10 ⁸  cm/s, y encontraron que el coeficiente del término de segundo orden en la aproximación relativista era 0,52±0,03. , en excelente concordancia con el valor teórico de 1/2. ^{[pág. 10]}

Otras pruebas directas del TDE en plataformas giratorias fueron posibles gracias al descubrimiento del efecto Mössbauer , que permite generar líneas de resonancia extremadamente estrechas para la emisión y absorción de rayos gamma nucleares. ^[17] Los experimentos del efecto Mössbauer han demostrado ser fácilmente capaces de detectar TDE utilizando velocidades relativas emisor-absorbente del orden de 2×10 ⁴  cm/s. Estos experimentos incluyen los realizados por Hay et al. (1960), ^{[pág. 11]} Champeney et al. (1965), ^{[p. 12]} y Kündig (1963). ^{[página 3]}

Mediciones de dilatación del tiempo.

El efecto Doppler transversal y la dilatación cinemática del tiempo de la relatividad especial están estrechamente relacionados. Todas las validaciones de TDE representan validaciones de dilatación del tiempo cinemática, y la mayoría de las validaciones de dilatación del tiempo cinemática también han representado validaciones de TDE. Un recurso en línea, "¿Cuál es la base experimental de la Relatividad Especial?" ha documentado, con breves comentarios, muchas de las pruebas que, a lo largo de los años, se han utilizado para validar diversos aspectos de la relatividad especial. ^[18] Kaivola et al. (1985) ^{[p. 13]} y McGowan et al. (1993) ^{[p 14]} son ​​ejemplos de experimentos clasificados en este recurso como experimentos de dilatación del tiempo. Estos dos también representan pruebas de TDE. Estos experimentos compararon la frecuencia de dos láseres, uno vinculado a la frecuencia de una transición de un átomo de neón en un haz rápido y el otro vinculado a la misma transición en un neón térmico. La versión de 1993 del experimento verificó la dilatación del tiempo, y por tanto el TDE, con una precisión de 2,3×10 ⁻⁶ .

Efecto Doppler relativista para sonido y luz.

Figura 10. La fórmula relativista del desplazamiento Doppler es aplicable tanto al sonido como a la luz.

Los libros de texto de física de primer año analizan casi invariablemente el desplazamiento Doppler del sonido en términos de cinemática newtoniana, mientras que analizan el desplazamiento Doppler de la luz y los fenómenos electromagnéticos en términos de cinemática relativista. Esto da la falsa impresión de que los fenómenos acústicos requieren un análisis diferente al de la luz y las ondas de radio.

El análisis tradicional del efecto Doppler para el sonido representa una aproximación de baja velocidad al análisis relativista exacto. De hecho, el análisis totalmente relativista del sonido es igualmente aplicable tanto al sonido como a los fenómenos electromagnéticos.

Considere el diagrama de espacio-tiempo en la Fig. 10. Las líneas del mundo para un diapasón (la fuente) y un receptor se ilustran en este diagrama. El diapasón y el receptor comienzan en O, punto en el que el diapasón comienza a vibrar, emitiendo ondas y moviéndose a lo largo del eje x negativo mientras que el receptor comienza a moverse a lo largo del eje x positivo. El diapasón continúa hasta llegar a A, momento en el que deja de emitir ondas: por lo tanto, se ha generado un paquete de ondas, y todas las ondas del paquete de ondas son recibidas por el receptor y la última onda llega a B. El momento adecuado para el La duración del paquete en el marco de referencia del diapasón es la longitud de OA, mientras que el tiempo adecuado para la duración del paquete de ondas en el marco de referencia del receptor es la longitud de OB. Si se emitieran ondas, entonces , mientras ; la pendiente inversa de AB representa la velocidad de propagación de la señal (es decir , la velocidad del sonido) hasta el evento B. Por tanto podemos escribir: ^[10] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{s}={\frac {n}{|OA|}}}$ ${\displaystyle f_{r}={\frac {n}{|OB|}}}$

${\displaystyle c_{s}={\frac {x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}}}}$(velocidad del sonido)

${\displaystyle v_{s}=-{\frac {x_{A}}{t_{A}}}}$        ${\displaystyle v_{r}={\frac {x_{B}}{t_{B}}}}$      (velocidades de fuente y receptor)

${\displaystyle |OA|={\sqrt {t_{A}^{2}-(x_{A}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle |OB|={\sqrt {t_{B}^{2}-(x_{B}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle v_{s}}$y se supone que son menores que, de lo contrario, su paso a través del medio generará ondas de choque, invalidando el cálculo. Algo de álgebra de rutina da la razón de frecuencias: ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle c_{s},}$

Ec. 9:    ${\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {|OA|}{|OB|}}}$ ${\displaystyle ={\frac {1-v_{r}/c_{s}}{1+v_{s}/c_{s}}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c)^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}}$

Si y son pequeños en comparación con , la ecuación anterior se reduce a la fórmula Doppler clásica para el sonido. ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{s}}$ ${\displaystyle c}$

Si la velocidad de propagación de la señal se acerca a , se puede demostrar que las velocidades absolutas de la fuente y del receptor se fusionan en una única velocidad relativa independiente de cualquier referencia a un medio fijo. De hecho, obtenemos la Ecuación 1 , la fórmula para el desplazamiento Doppler longitudinal relativista. ^[10] ${\displaystyle c_{s}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v_{s}}$ ${\displaystyle v_{r}}$

El análisis del diagrama espacio-temporal de la Fig. 10 dio una fórmula general para la fuente y el receptor que se mueven directamente a lo largo de su línea de visión, es decir, en movimiento colineal.

Figura 11. Una fuente y un receptor se mueven en diferentes direcciones y velocidades en un marco donde la velocidad del sonido es independiente de la dirección.

La Fig. 11 ilustra un escenario en dos dimensiones. La fuente se mueve con velocidad (en el momento de la emisión). Emite una señal que viaja a velocidad hacia el receptor, que viaja a velocidad en el momento de la recepción. El análisis se realiza en un sistema de coordenadas en el que la velocidad de la señal es independiente de la dirección. ^[6] ${\displaystyle \mathbf {v_{s}} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {v_{r}} }$ ${\displaystyle |\mathbf {C} |}$

La relación entre las frecuencias adecuadas para la fuente y el receptor es

Ec. 10:    ${\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-{\frac {|\mathbf {v_{r}} |}{\mathbf {|C|} }}\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{r}} })}{1-{\frac {|\mathbf {v_{s}} |}{\mathbf {|C|} }}\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{s}} })}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c)^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}}$

La relación principal tiene la forma del efecto Doppler clásico, mientras que el término de raíz cuadrada representa la corrección relativista. Si consideramos los ángulos relativos al marco de la fuente, entonces la ecuación se reduce a la Ecuación 7 , la fórmula de Einstein de 1905 para el efecto Doppler. Si consideramos los ángulos relativos al marco del receptor, entonces la ecuación se reduce a la Ecuación 6 , la forma alternativa de la ecuación de desplazamiento Doppler analizada anteriormente. ^[6] ${\displaystyle v_{s}=0}$ ${\displaystyle v_{r}=0}$

Ver también

• efecto Doppler
• Efecto Doppler diferencial
• Radiación relativista
• corrimiento al rojo
• Cambio azúl
• Dilatación del tiempo
• Dilatación del tiempo gravitacional
• Relatividad especial

Notas

1. En su artículo fundamental de 1905 sobre la relatividad especial, Einstein ya había publicado una expresión para el desplazamiento Doppler percibido por un observador que se mueve en un ángulo arbitrario con respecto a una fuente de luz infinitamente distante. La derivación del TDE que hizo Einstein en 1907 representó una consecuencia trivial de su expresión general publicada anteriormente. ^{[página 2]}
2. Aquí, "intensidad de la fuente" se refiere a la intensidad espectral en frecuencia , es decir, potencia por unidad de ángulo sólido y por unidad de frecuencia, expresada en vatios por estereorradián por hercio; para la intensidad espectral en longitud de onda , el cubo debe reemplazarse por una quinta potencia.

Fuentes primarias

1. Einstein, Albert (1907). "Sobre la posibilidad de una nueva prueba del principio de relatividad (Über die Möglichkeit einer neuen Prüfung des Relativitätsprinzips)". Annalen der Physik . 328 (6): 197–198. Código bibliográfico : 1907AnP...328..197E. doi : 10.1002/andp.19073280613.
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Referencias

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Otras lecturas

• Moriconi, M (1 de noviembre de 2006). "Teoría especial de la relatividad mediante el efecto Doppler". Revista Europea de Física . 27 (6): 1409-1423. arXiv : física/0605204 . Código Bib : 2006EJPh...27.1409M. doi :10.1088/0143-0807/27/6/015. S2CID  11347287.

enlaces externos

• Warp Special Relativity Simulator Programa informático que demuestra el efecto Doppler relativista.
• Kraus, Ute; Zahn, Corvin. "Viajes en el espacio-tiempo: visualización de la teoría de la relatividad". SpacetimeTravel.org . Grupo de Educación en Física y Astronomía, Universidad de Hildesheim, Alemania . Consultado el 17 de octubre de 2018 .