Sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas

En matemáticas , un sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas ( DAE ) es un sistema de ecuaciones que contiene ecuaciones diferenciales y ecuaciones algebraicas , o es equivalente a dicho sistema.

El conjunto de las soluciones de tal sistema es una variedad algebraica diferencial , y corresponde a un ideal en un álgebra diferencial de polinomios diferenciales .

En el caso univariado , una DAE en la variable t se puede escribir como una única ecuación de la forma

${\displaystyle F({\dot {x}},x,t)=0,}$

donde es un vector de funciones desconocidas y el punto sobre el que se escribe denota la derivada temporal, es decir, . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}}$

Se diferencian de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) en que una EAD no es completamente solucionable para las derivadas de todos los componentes de la función x porque estos pueden no aparecer todos (es decir, algunas ecuaciones son algebraicas); técnicamente, la distinción entre un sistema EAD implícito [que puede hacerse explícito] y un sistema EAD es que la matriz jacobiana es una matriz singular para un sistema EAD. ^[1] Esta distinción entre EAD y EAD se hace porque las EAD tienen características diferentes y generalmente son más difíciles de resolver. ^[2] ${\displaystyle {\frac {\partial F({\dot {x}},x,t)}{\partial {\dot {x}}}}}$

En términos prácticos, la distinción entre DAE y EDO es a menudo que la solución de un sistema DAE depende de las derivadas de la señal de entrada y no solo de la señal en sí como en el caso de las EDO; ^[3] este problema se encuentra comúnmente en sistemas no lineales con histéresis , ^[4] como el disparador Schmitt . ^[5]

Esta diferencia es más claramente visible si el sistema se puede reescribir de modo que en lugar de x consideremos un par de vectores de variables dependientes y la DAE tenga la forma ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}}$

donde , , y ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.}$

Un sistema DAE de esta forma se llama semiexplícito . ^[1] Cada solución de la segunda mitad g de la ecuación define una dirección única para x a través de la primera mitad f de las ecuaciones, mientras que la dirección para y es arbitraria. Pero no todos los puntos (x, y, t) son una solución de g . Las variables en x y la primera mitad f de las ecuaciones obtienen el atributo diferencial . Los componentes de y y la segunda mitad g de las ecuaciones se denominan variables algebraicas o ecuaciones del sistema. [El término algebraico en el contexto de las DAE solo significa libre de derivadas y no está relacionado con el álgebra (abstracta).]

La solución de un DAE consta de dos partes: primero, la búsqueda de valores iniciales consistentes y, segundo, el cálculo de una trayectoria. Para encontrar valores iniciales consistentes, a menudo es necesario considerar las derivadas de algunas de las funciones componentes del DAE. El orden más alto de una derivada que es necesaria para este proceso se denomina índice de diferenciación . Las ecuaciones derivadas al calcular el índice y los valores iniciales consistentes también pueden ser útiles en el cálculo de la trayectoria. Un sistema DAE semiexplícito se puede convertir en uno implícito disminuyendo el índice de diferenciación en uno, y viceversa. ^[6]

Otras formas de DAE

La distinción entre las EAD y las EDO se hace evidente si algunas de las variables dependientes aparecen sin sus derivadas. El vector de variables dependientes puede entonces escribirse como par y el sistema de ecuaciones diferenciales de la EAD aparece en la forma ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0}$

dónde

• ${\displaystyle x}$, un vector en , son variables dependientes para las cuales existen derivadas ( variables diferenciales ), ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\displaystyle y}$, un vector en , son variables dependientes para las cuales no existen derivadas ( variables algebraicas ), ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• ${\displaystyle t}$, un escalar (generalmente tiempo) es una variable independiente.
• ${\displaystyle F}$es un vector de funciones que involucran subconjuntos de estas variables y derivadas. ${\displaystyle n+m}$ ${\displaystyle n+m+1}$ ${\displaystyle n}$

En su conjunto, el conjunto de DAE es una función

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.}$

Las condiciones iniciales deben ser una solución del sistema de ecuaciones de la forma

${\displaystyle F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

Ejemplos

El comportamiento de un péndulo de longitud L con centro en (0,0) en coordenadas cartesianas ( x , y ) se describe mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}}$

donde es un multiplicador de Lagrange . Las variables de momento u y v deben estar limitadas por la ley de conservación de la energía y su dirección debe apuntar a lo largo del círculo. Ninguna condición es explícita en esas ecuaciones. La diferenciación de la última ecuación conduce a ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}}$

restringiendo la dirección del movimiento a la tangente del círculo. La siguiente derivada de esta ecuación implica

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}}$

y la derivada de esa última identidad se simplifica a lo que implica la conservación de la energía ya que después de la integración la constante es la suma de la energía cinética y potencial. ${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$ ${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy}$

Para obtener valores derivados únicos para todas las variables dependientes, la última ecuación se derivó tres veces. Esto da un índice de derivación de 3, que es típico para sistemas mecánicos restringidos.

Si se dan valores iniciales y un signo para y , las demás variables se determinan mediante , y si entonces y . Para pasar al siguiente punto es suficiente obtener las derivadas de x y u , es decir, el sistema a resolver es ahora ${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle v=-ux/y}$ ${\displaystyle \lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}}$

Este es un DAE semiexplícito de índice 1. Se puede obtener otro conjunto de ecuaciones similares a partir de y un signo para x . ${\displaystyle (y_{0},v_{0})}$

Los DAE también se producen de forma natural en el modelado de circuitos con dispositivos no lineales. El análisis nodal modificado que emplea DAE se utiliza, por ejemplo, en la ubicua familia SPICE de simuladores de circuitos numéricos. ^[7] De forma similar, el paquete Mathematica Analog Insydes de Fraunhofer se puede utilizar para derivar DAE de una lista de conexiones y luego simplificar o incluso resolver las ecuaciones simbólicamente en algunos casos. ^{[8] [9]} Vale la pena señalar que el índice de un DAE (de un circuito) se puede hacer arbitrariamente alto mediante la conexión en cascada/acoplamiento a través de condensadores de amplificadores operacionales con retroalimentación positiva . ^[4]

DAE semiexplícito del índice 1

DAE de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}}$

se denominan semiexplícitas. La propiedad de índice 1 requiere que g sea resoluble para y . En otras palabras, el índice de diferenciación es 1 si por diferenciación de las ecuaciones algebraicas para t resulta un sistema de EDO implícito,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}}$

que es solucionable para si ${\displaystyle ({\dot {x}},\,{\dot {y}})}$ ${\displaystyle \det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.}$

Cualquier DAE suficientemente suave es casi en todas partes reducible a esta forma de índice-1 semiexplícito.

Tratamiento numérico de DAE y aplicaciones

Dos problemas importantes en la resolución de DAE son la reducción del índice y las condiciones iniciales consistentes . La mayoría de los solucionadores numéricos requieren ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

Convertir sistemas DAE arbitrarios en EDO para su solución mediante solucionadores de EDO puros es una tarea no trivial. Las técnicas que se pueden emplear incluyen el algoritmo de Pantelides y el método de reducción de índice de derivada ficticia . Alternativamente, también es posible una solución directa de DAE de alto índice con condiciones iniciales inconsistentes. Este enfoque de solución implica una transformación de los elementos derivados a través de la colocación ortogonal en elementos finitos o transcripción directa en expresiones algebraicas. Esto permite resolver DAE de cualquier índice sin reordenamiento en la forma de ecuación abierta.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

Una vez que el modelo se ha convertido a forma de ecuación algebraica, se puede resolver mediante solucionadores de programación no lineal a gran escala (ver APMonitor ).

Tratabilidad

Se han desarrollado varias medidas de la manejabilidad de los DAE en términos de métodos numéricos, como el índice de diferenciación , el índice de perturbación , el índice de manejabilidad , el índice geométrico y el índice de Kronecker . ^{[10] [11]}

Análisis estructural para DAE

Utilizamos el método para analizar una DAE. Construimos para la DAE una matriz de firmas , donde cada fila corresponde a cada ecuación y cada columna corresponde a cada variable . La entrada en la posición es , que denota el orden más alto de la derivada a la que ocurre en , o si no ocurre en . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j})}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \sigma _{i,j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle f_{i}}$

Para el DAE del péndulo anterior, las variables son . La matriz de firma correspondiente es ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

Véase también

• Ecuación diferencial algebraica , un concepto diferente a pesar del nombre similar
• Ecuación diferencial de retardo
• Ecuación algebraica diferencial parcial
• Lenguaje Modelica

Referencias

1. Uri M. Ascher; Linda R. Petzold (1998). Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales-algebraicas . SIAM. pág. 12. ISBN 978-1-61197-139-2.
2. Achim Ilchmann; Timo Reis (2014). Encuestas en ecuaciones diferenciales algebraicas II . Springer. págs. 104-105. ISBN. 978-3-319-11050-9.
3. Renate Merker; Wolfgang Schwarz, eds. (2001). Automatización del diseño de sistemas: fundamentos, principios, métodos, ejemplos . Springer Science & Business Media. pág. 221. ISBN 978-0-7923-7313-1.
4. KE Brenan; SL Campbell; LR Petzold (1996). Solución numérica de problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales algebraicas . SIAM. págs. 173–177. ISBN 978-1-61197-122-4.
5. Günther, M.; Feldmann, U.; Ter Maten, J. (2005). "Modelado y discretización de problemas de circuitos". Métodos numéricos en electromagnetismo. Manual de análisis numérico. Vol. 13. pág. 523. doi :10.1016/S1570-8659(04)13006-8. ISBN 978-0-444-51375-5., págs. 529-531
6. Ascher y Petzold, pág. 234
7. Ricardo Riaza (2013). "DAE en modelado de circuitos: una encuesta". En Achim Ilchmann; Timo Reis (eds.). Encuestas en ecuaciones diferenciales-algebraicas I. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34928-7.
8. Platte, D.; Jing, S.; Sommer, R.; Barke, E. (2007). "Mejora de la eficiencia y la robustez de los modelos de comportamiento analógicos". Avances en lenguajes de diseño y especificación para sistemas integrados . p. 53. doi :10.1007/978-1-4020-6149-3_4. ISBN 978-1-4020-6147-9.
9. Hauser, M.; Salzig, C.; Dreyer, A. (2011). "Reducción rápida y robusta del orden de modelos simbólicos con Analog Insydes". Álgebra computacional en computación científica . Apuntes de clase en informática. Vol. 6885. pág. 215. doi :10.1007/978-3-642-23568-9_17. ISBN 978-3-642-23567-2.
10. Ricardo Riaza (2008). Sistemas diferenciales algebraicos: aspectos analíticos y aplicaciones de circuitos . World Scientific. pp. 5–8. ISBN 978-981-279-181-8.
11. Takamatsu, Mizuyo; Iwata, Satoru (2008). «Caracterización de índices de ecuaciones diferenciales-algebraicas en análisis híbrido para simulación de circuitos» (PDF) . Revista internacional de teoría de circuitos y aplicaciones . 38 (4): 419–440. doi :10.1002/cta.577. S2CID  3875504. Archivado desde el original (PDF) el 16 de diciembre de 2014 . Consultado el 9 de noviembre de 2022 .

Lectura adicional

Libros

• Hairer, E.; Wanner, G. (1996). Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias II: problemas rígidos y diferenciales-algebraicos (2.ª edición revisada). Berlín: Springer-Verlag.
• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998). Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales-algebraicas . Filadelfia: SIAM. ISBN 978-0-89871-412-8.
• Kunkel, Peter; Mehrmann, Volker Ludwig (2006). Ecuaciones algebraicas diferenciales: análisis y solución numérica. Zúrich, Suiza: Sociedad Matemática Europea. ISBN 978-3-03719-017-3.
• Kazuo Murota (2009). Matrices y matroides para análisis de sistemas . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03994-2.(Cubre el enfoque estructural para calcular el índice DAE).
• Matías Gerdts (2012). Control Óptimo de ODEs y DAEs . Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-024999-6.
• Lamour, René; März, Roswitha ; Tischendorf, Caren (2013). Ecuaciones algebraicas diferenciales: un análisis basado en proyector . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-27554-8.

Varios papeles

• G. Fábián; DA van Beek; JE Rooda (2001). "Reducción de índices y manejo de discontinuidades mediante ecuaciones sustitutivas" (PDF) . Modelado matemático y computacional de sistemas dinámicos . 7 (2): 173–187. CiteSeerX  10.1.1.8.5859 . doi :10.1076/mcmd.7.2.173.3646. S2CID  14450374. Archivado desde el original (PDF) el 26 de abril de 2005.
• Ilie, Silvana; Corless, Robert M.; Reid, Greg (2006). "Las soluciones numéricas de ecuaciones algebraicas diferenciales de índice −1 se pueden calcular en tiempo polinomial". Algoritmos numéricos . 41 (2): 161–171. CiteSeerX  10.1.1.71.7366 . doi :10.1007/s11075-005-9007-1. S2CID  14684538.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2005). "Resolución de ecuaciones diferenciales algebraicas mediante series de Taylor (I): cálculo de coeficientes de Taylor" (PDF) . BIT . 45 (3): 561–591. doi :10.1007/s10543-005-0019-y. S2CID  16451180.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2005). "Resolución de ecuaciones diferenciales algebraicas mediante series de Taylor (II): cálculo del jacobiano del sistema" (PDF) . BIT . 47 : 121–135. CiteSeerX  10.1.1.455.6965 . doi :10.1007/s10543-006-0106-8. S2CID  16666782.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2007). "Resolución de ecuaciones diferenciales algebraicas mediante series de Taylor (III): el código DAETS" (PDF) . Revista de análisis numérico, matemáticas industriales y aplicadas (JNAIAM) . 1 (1): 1–30. ISSN  1790-8140.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D.; Tan, Guangning (2014). "DAESA — una herramienta de Matlab para el análisis estructural de ecuaciones diferenciales-algebraicas: software" (PDF) . ACM Transactions on Mathematical Software . 41 (2): 1–14. doi :10.1145/2700586. S2CID  16655498.
• Pryce, John D.; Nedialkov, Ned S.; Tan, Guangning (2014). "DAESA — una herramienta de Matlab para el análisis estructural de ecuaciones diferenciales-algebraicas: algoritmo" (PDF) . ACM Transactions on Mathematical Software . 41 (2): 1–20. doi :10.1145/2689664. S2CID  311443.
• Roubíček, T.; Valášek, M. (2002). "Control óptimo de sistemas algebraicos diferenciales causales". J. Math. Anal. Appl . 269 (2): 616–641. doi : 10.1016/s0022-247x(02)00040-9 .

Enlaces externos

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations