Ecuación diferencial parcial de primer orden

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial de primer orden es una ecuación diferencial parcial que involucra las primeras derivadas de una función desconocida de variables. La ecuación toma la forma ^[1] usando la notación de subíndice para denotar las derivadas parciales de . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ $${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0,}$$ ${\displaystyle u}$

Tales ecuaciones surgen en la construcción de superficies características para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , en el cálculo de variaciones , en algunos problemas geométricos y en modelos simples para dinámica de gases cuya solución involucra el método de características , por ejemplo, la ecuación de advección . Si se puede encontrar una familia de soluciones de una sola ecuación diferencial parcial de primer orden, entonces se pueden obtener soluciones adicionales formando envolventes de soluciones en esa familia. En un procedimiento relacionado, se pueden obtener soluciones generales integrando familias de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Solución general e integral completa

La solución general de la ecuación diferencial parcial de primer orden es una solución que contiene una función arbitraria. Pero, la solución de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden con tantas constantes arbitrarias como el número de variables independientes se llama integral completa . La siguiente familia de soluciones de n parámetros

${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

es una integral completa si . ^[2] Las discusiones a continuación sobre el tipo de integrales se basan en el libro de texto A Treatise on Differential Equations (Capítulo IX, sexta edición, 1928) de Andrew Forsyth . ^[3] ${\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}$

Integral completa

Las soluciones se describen de manera relativamente sencilla en dos o tres dimensiones, con lo que los conceptos clave se extienden de manera trivial a dimensiones superiores. Una ecuación diferencial parcial general de primer orden en tres dimensiones tiene la forma

${\displaystyle F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,}$

donde Supongamos que es la integral completa que contiene tres constantes arbitrarias . De esto podemos obtener tres relaciones por diferenciación ${\displaystyle p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.}$ ${\displaystyle \phi (x,y,z,u,a,b,c)=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=0}$

Junto con la integral completa , las tres relaciones anteriores se pueden utilizar para eliminar tres constantes y obtener una ecuación (ecuación diferencial parcial original) que relacione . Tenga en cuenta que la eliminación de constantes que conduce a la ecuación diferencial parcial no necesita ser única, es decir, dos ecuaciones diferentes pueden dar como resultado la misma integral completa, por ejemplo, la eliminación de constantes de la relación conduce a y . ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle (x,y,z,u,p,q,r)}$ ${\displaystyle u={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}+z-c}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=1}$ ${\displaystyle r=1}$

Integral general

Una vez que se encuentra una integral completa, se puede construir una solución general a partir de ella. La integral general se obtiene haciendo que las constantes sean funciones de las coordenadas, es decir, . Estas funciones se eligen de modo que las formas de permanezcan inalteradas para que se pueda utilizar el proceso de eliminación de la integral completa. La diferenciación de la integral completa proporciona ahora ${\displaystyle a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)}$ ${\displaystyle (p,q,r)}$

${\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})}$

${\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})}$

${\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})}$

en la que requerimos que los términos del lado derecho de las tres ecuaciones se anulen de manera idéntica, de modo que la eliminación de de dé como resultado la ecuación diferencial parcial. Este requisito se puede escribir de manera más compacta escribiéndolo como ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0}$

dónde

${\displaystyle J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

es el determinante jacobiano . La condición conduce a la solución general. Siempre que , entonces existe una relación funcional entre porque siempre que un determinante es cero, las columnas (o filas) no son linealmente independientes. Consideremos que esta relación funcional es ${\displaystyle J=0}$ ${\displaystyle J=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle c=\psi (a,b).}$

Una vez encontrado, el problema está resuelto. De la relación anterior, tenemos . Sumando las ecuaciones originales , y encontramos . Ahora, eliminando de las dos ecuaciones derivadas, obtenemos ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db}$ ${\displaystyle (a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle (a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle (a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle \phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0}$ ${\displaystyle dc}$

${\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0}$

Dado que y son independientes, requerimos ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0}$

${\displaystyle (\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.}$

Las dos ecuaciones anteriores se pueden utilizar para resolver y . Sustituyendo en , obtenemos la integral general . Por lo tanto, una integral general describe una relación entre , dos funciones independientes conocidas y una función arbitraria . Tenga en cuenta que hemos asumido que el determinante es cero, pero esto no siempre es necesario. Las relaciones o, son suficientes para hacer que el determinante sea cero. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle (x,y,z,u)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \psi (a,b)}$ ${\displaystyle c=\psi (a,b)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle c=\psi (a)}$ ${\displaystyle c=\psi (b)}$

Integral singular

La integral singular se obtiene cuando . En este caso, la eliminación de de funciona si ${\displaystyle J\neq 0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.}$

Las tres ecuaciones se pueden utilizar para resolver las tres incógnitas . La solución obtenida por eliminación de esta manera conduce a lo que se denomina integrales singulares . ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

Integral especial

Por lo general, la mayoría de las integrales se incluyen en las tres categorías definidas anteriormente, pero puede suceder que una solución no se ajuste a ninguno de los tres tipos de integrales mencionados anteriormente. Estas soluciones se denominan integrales especiales . Una relación que satisface la ecuación diferencial parcial se dice que es una integral especial si no podemos determinar a partir de las siguientes ecuaciones ${\displaystyle \chi (x,y,z,u)=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle \phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.}$

Si podemos determinar a partir del conjunto de ecuaciones anterior, entonces resultará ser una de las tres integrales descritas anteriormente. ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \chi =0}$

Caso bidimensional

La integral completa en el espacio bidimensional se puede escribir como . La integral general se obtiene eliminando de las siguientes ecuaciones ${\displaystyle \phi (x,y,u,a,b)=0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.}$

La integral singular si existe se puede obtener eliminando de las siguientes ecuaciones ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.}$

Si no se dispone de una integral completa, se pueden obtener soluciones resolviendo un sistema de ecuaciones ordinarias. Para obtener este sistema, primero hay que tener en cuenta que la EDP determina un cono (análogo al cono de luz) en cada punto: si la EDP es lineal en las derivadas de u (es cuasi-lineal), entonces el cono degenera en una línea. En el caso general, los pares ( p , q ) que satisfacen la ecuación determinan una familia de planos en un punto dado:

${\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}$

dónde

${\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}$

La envolvente de estos planos es un cono, o una línea si la EDP es cuasi-lineal. La condición para que exista una envolvente es

${\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}$

donde F se evalúa en , y dp y dq son incrementos de p y q que satisfacen F = 0. Por lo tanto, la generatriz del cono es una línea con dirección ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q)}$

${\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}$

Esta dirección corresponde a los rayos de luz para la ecuación de onda. Para integrar ecuaciones diferenciales a lo largo de estas direcciones, necesitamos incrementos para p y q a lo largo del rayo. Esto se puede obtener derivando la EDP:

${\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}$

${\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}$

Por lo tanto, la dirección del rayo en el espacio es ${\displaystyle (x,y,u,p,q)}$

${\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,}$

La integración de estas ecuaciones conduce a un conoide de rayos en cada punto . Las soluciones generales de las EDP pueden obtenerse a partir de las envolventes de dichos conoides. ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})}$

Definiciones de dependencia lineal para sistemas diferenciales

Esta parte se puede consultar en el libro de Courant. ^[4] ${\displaystyle \S 1.2.3}$

Suponemos que estas ecuaciones son independientes, es decir, que ninguna de ellas puede deducirse de la otra por diferenciación y eliminación. ${\displaystyle h}$

—  Courant, R. y Hilbert, D. (1962), Métodos de física matemática: ecuaciones diferenciales parciales, II, págs. 15-18

Se da una descripción equivalente. Se dan dos definiciones de dependencia lineal para ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden.

${\displaystyle (*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.}$

Donde son variables independientes; son incógnitas dependientes; son coeficientes lineales; y son elementos no homogéneos. Sea . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle a_{ij}^{(k)}}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}$

Definición I: Dado un cuerpo de números , cuando hay coeficientes ( ), no todos cero, tales que ; las ecuaciones (*) son linealmente dependientes. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{k}\in P}$ ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}$

Definición II ( dependencia lineal diferencial ): Dado un cuerpo de números , cuando hay coeficientes ( ), no todos cero, tales que , las ecuaciones (*) se consideran dependientes lineales diferenciales . Si , esta definición degenera en la definición I. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P}$ ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}$ ${\displaystyle {d_{kl}}\equiv 0}$

Los sistemas div-curl, las ecuaciones de Maxwell , las ecuaciones de Einstein (con cuatro coordenadas armónicas) y las ecuaciones de Yang-Mills (con condiciones de calibre) están bien determinados en la definición II, mientras que están sobredeterminados en la definición I.

Superficies características de la ecuación de onda

Las superficies características de la ecuación de onda son superficies niveladas para las soluciones de la ecuación.

${\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}$

Hay poca pérdida de generalidad si establecemos : en ese caso u satisface ${\displaystyle u_{t}=1}$

${\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}$

En notación vectorial, sea

${\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}$

Una familia de soluciones con planos como superficies niveladas está dada por

${\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}$

dónde

${\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}$

Si x y x ₀ se mantienen fijos, la envolvente de estas soluciones se obtiene hallando un punto en la esfera de radio 1/ c donde el valor de u sea estacionario. Esto es cierto si es paralela a . Por lo tanto, la envolvente tiene ecuación ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}$

${\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}$

Estas soluciones corresponden a esferas cuyo radio crece o se contrae con la velocidad c . Son conos de luz en el espacio-tiempo.

El problema de valor inicial para esta ecuación consiste en especificar una superficie plana S donde u = 0 para t = 0. La solución se obtiene tomando la envolvente de todas las esferas con centros en S , cuyos radios crecen con la velocidad c . Esta envolvente se obtiene exigiendo que

${\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}$

Esta condición se cumplirá si es normal a S . Por lo tanto, la envolvente corresponde al movimiento con velocidad c a lo largo de cada normal a S . Esta es la construcción de Huygens de los frentes de onda : cada punto de S emite una onda esférica en el tiempo t = 0, y el frente de onda en un tiempo posterior t es la envolvente de estas ondas esféricas. Las normales a S son los rayos de luz. ${\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}$

Referencias

1. Evans 1998, pág. 1.
2. Garabedian, PR (1964). Ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York: Wiley. OCLC  527754.
3. Forsyth, AR (1928). Un tratado sobre ecuaciones diferenciales.
4. Courant, R. y Hilbert, D. (1962). Métodos de física matemática: ecuaciones diferenciales parciales. Vol. II. Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 9783527617241.

Lectura adicional

• Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence: Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 0-8218-0772-2.
• Polyanin, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden . Londres: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27267-X.
• Polyanin, AD (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
• Sarra, Scott (2003). "El método de características con aplicaciones a las leyes de conservación". Revista de matemáticas en línea y sus aplicaciones .