Ecuación de Lyapunov

Ecuación del análisis de estabilidad

La ecuación de Lyapunov , llamada así en honor al matemático ruso Aleksandr Lyapunov , es una ecuación matricial utilizada en el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos lineales . ^{[1] [2]}

En particular, la ecuación de Lyapunov de tiempo discreto (también conocida como ecuación de Stein ) para es ${\displaystyle X}$

${\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}$

donde es una matriz hermítica y es la transpuesta conjugada de , mientras que la ecuación de Lyapunov de tiempo continuo es ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A^{H}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0}$.

Aplicación a la estabilidad

En los siguientes teoremas , y y son simétricos. La notación significa que la matriz es definida positiva . ${\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P>0}$ ${\displaystyle P}$

Teorema (versión de tiempo continuo). Dado cualquier , existe un único teorema satisfactorio si y solo si el sistema lineal es globalmente asintóticamente estable. La función cuadrática es una función de Lyapunov que se puede utilizar para verificar la estabilidad. ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle P>0}$ ${\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$ ${\displaystyle V(x)=x^{T}Px}$

Teorema (versión de tiempo discreto). Dado cualquier , existe un único satisfactorio si y solo si el sistema lineal es globalmente asintóticamente estable. Como antes, es una función de Lyapunov. ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle P>0}$ ${\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0}$ ${\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}$ ${\displaystyle x^{T}Px}$

Aspectos computacionales de la solución

La ecuación de Lyapunov es lineal; por lo tanto, si contiene entradas, la ecuación se puede resolver en el tiempo utilizando métodos de factorización matricial estándar. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$

Sin embargo, existen algoritmos especializados que pueden proporcionar soluciones mucho más rápidamente debido a la estructura específica de la ecuación de Lyapunov. Para el caso discreto, se suele utilizar el método de Schur de Kitagawa. ^[3] Para la ecuación de Lyapunov continua , se puede utilizar el algoritmo de Bartels-Stewart . ^[4]

Solución analítica

Si se define el operador de vectorización como el apilamiento de las columnas de una matriz y como el producto de Kronecker de y , las ecuaciones de Lyapunov de tiempo continuo y tiempo discreto se pueden expresar como soluciones de una ecuación matricial. Además, si la matriz es "estable", la solución también se puede expresar como una integral (caso de tiempo continuo) o como una suma infinita (caso de tiempo discreto). ${\displaystyle \operatorname {vec} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Tiempo discreto

Utilizando el resultado que , se tiene ${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)}$

${\displaystyle (I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)}$

donde es una matriz identidad conforme y es el conjugado complejo elemento por elemento de . ^[5] Luego se puede resolver invirtiendo o resolviendo las ecuaciones lineales. Para obtener , solo hay que reformar apropiadamente. ${\displaystyle I_{n^{2}}}$ ${\displaystyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {vec} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {vec} (X)}$

Además, si es estable (en el sentido de estabilidad de Schur , es decir, que tiene valores propios con magnitud menor que 1), la solución también se puede escribir como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}}$.

A modo de comparación, considere el caso unidimensional, donde esto simplemente dice que la solución de es ${\displaystyle (1-a^{2})x=q}$

${\displaystyle x={\frac {q}{1-a^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }qa^{2k}}$.

Tiempo continuo

Utilizando nuevamente la notación del producto Kronecker y el operador de vectorización, se tiene la ecuación matricial

${\displaystyle (I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q,}$

donde denota la matriz obtenida mediante la conjugación compleja de las entradas de . ${\displaystyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle A}$

De manera similar al caso de tiempo discreto, si es estable (en el sentido de estabilidad de Hurwitz , es decir, tiene valores propios con partes reales negativas), la solución también se puede escribir como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\int _{0}^{\infty }{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }d\tau }$,

Lo cual se cumple porque

${\displaystyle {\begin{aligned}AX+XA^{H}=&\int _{0}^{\infty }A{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }+{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }A^{H}d\tau \\=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }d\tau \\=&{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }{\bigg |}_{0}^{\infty }\\=&-Q.\end{aligned}}}$

A modo de comparación, considere el caso unidimensional, donde esto simplemente dice que la solución de es ${\displaystyle 2ax=-q}$

${\displaystyle x={\frac {-q}{2a}}=\int _{0}^{\infty }q{e}^{2a\tau }d\tau }$.

Relación entre ecuaciones de Lyapunov discretas y continuas

Comenzamos con la dinámica lineal en tiempo continuo:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} }$.

Y luego discretizarlo de la siguiente manera:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\approx {\frac {\mathbf {x} _{t+1}-\mathbf {x} _{t}}{\delta }}}$

Donde indica un pequeño desplazamiento hacia adelante en el tiempo. Sustituyendo la ecuación inferior en la superior y reordenando los términos, obtenemos una ecuación de tiempo discreto para . ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{t+1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{t+1}=\mathbf {x} _{t}+\delta \mathbf {A} \mathbf {x} _{t}=(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )\mathbf {x} _{t}=\mathbf {B} \mathbf {x} _{t}}$

Donde hemos definido . Ahora podemos utilizar la ecuación de Lyapunov de tiempo discreto para : ${\displaystyle \mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {M} \mathbf {B} -\mathbf {M} =-\delta \mathbf {Q} }$

Conectando nuestra definición para , obtenemos: ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle (\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )^{T}\mathbf {M} (\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =-\delta \mathbf {Q} }$

Desarrollando esta expresión obtenemos:

${\displaystyle (\mathbf {M} +\delta \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} )(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =\delta (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} )+\delta ^{2}\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} \mathbf {A} =-\delta \mathbf {Q} }$

Recordemos que se trata de un pequeño desplazamiento en el tiempo. Si dejamos que se vaya a cero, nos acercamos cada vez más a la dinámica continua, y en el límite la alcanzamos. Es lógico que también recuperemos las ecuaciones de Lyapunov en el tiempo continuo en el límite. Dividiendo por ambos lados y dejando que se vaya, obtenemos que: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta \to 0}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} =-\mathbf {Q} }$

que es la ecuación de Lyapunov en tiempo continuo, como se desea.

Véase también

• Ecuación de Sylvester , que generaliza la ecuación de Lyapunov
• Ecuación algebraica de Riccati
• Filtro Kalman

Referencias

1. Parks, PC (1 de enero de 1992). "La teoría de estabilidad de A. M. Lyapunov: 100 años después*". IMA Journal of Mathematical Control and Information . 9 (4): 275–303. doi :10.1093/imamci/9.4.275. ISSN  0265-0754.
2. Simoncini, V. (1 de enero de 2016). "Métodos computacionales para ecuaciones matriciales lineales". SIAM Review . 58 (3): 377–441. doi :10.1137/130912839. hdl : 11585/586011 . ISSN  0036-1445.
3. Kitagawa, G. (1977). "Un algoritmo para resolver la ecuación matricial X = FX F' + S". Revista Internacional de Control . 25 (5): 745–753. doi :10.1080/00207177708922266.
4. Bartels, RH; Stewart, GW (1972). "Algoritmo 432: Solución de la ecuación matricial AX + XB = C". Comm. ACM . 15 (9): 820–826. doi : 10.1145/361573.361582 .
5. Hamilton, J. (1994). Análisis de series temporales . Princeton University Press. Ecuaciones 10.2.13 y 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.