Ecuación diferencial parcial de primer orden

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial de primer orden es una ecuación diferencial parcial que involucra solo primeras derivadas de la función desconocida de n variables. La ecuación toma la forma

${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,}$

Tales ecuaciones surgen en la construcción de superficies características para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , en el cálculo de variaciones , en algunos problemas geométricos y en modelos simples de dinámica de gases cuya solución involucra el método de las características . Si se puede encontrar una familia de soluciones de una única ecuación diferencial parcial de primer orden, entonces se pueden obtener soluciones adicionales formando envolventes de soluciones en esa familia. En un procedimiento relacionado, se pueden obtener soluciones generales integrando familias de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Solución general e integral completa.

La solución general de la ecuación diferencial parcial de primer orden es una solución que contiene una función arbitraria. Pero la solución de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden con tantas constantes arbitrarias como variables independientes se llama integral completa . La siguiente familia de soluciones de n parámetros

${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

es una integral completa si . ^[1] Las discusiones a continuación sobre el tipo de integrales se basan en el libro de texto Tratado sobre ecuaciones diferenciales (Capítulo IX, sexta edición, 1928) de Andrew Forsyth . ^[2] ${\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}$

integral completa

Las soluciones se describen de manera relativamente sencilla en dos o tres dimensiones, con lo que los conceptos clave se extienden trivialmente a dimensiones superiores. Una ecuación diferencial parcial general de primer orden en tres dimensiones tiene la forma

${\displaystyle F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,}$

donde Supongamos que es la integral completa que contiene tres constantes arbitrarias . De esto podemos obtener tres relaciones por diferenciación. ${\displaystyle p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.}$ ${\displaystyle \phi (x,y,z,u,a,b,c)=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=0}$

Junto con la integral completa , las tres relaciones anteriores se pueden utilizar para eliminar tres constantes y obtener una ecuación (ecuación diferencial parcial original) que relacione . Tenga en cuenta que la eliminación de constantes que conducen a la ecuación diferencial parcial no tiene por qué ser única, es decir, dos ecuaciones diferentes pueden dar como resultado la misma integral completa; por ejemplo, la eliminación de constantes de la relación conduce a y . ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle (x,y,z,u,p,q,r)}$ ${\displaystyle u={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}+z-c}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=1}$ ${\displaystyle r=1}$

integral general

Una vez que se encuentra una integral completa, se puede construir una solución general a partir de ella. La integral general se obtiene haciendo que las constantes sean funciones de las coordenadas, es decir, . Estas funciones se eligen de manera que las formas de no se modifiquen para que se pueda utilizar el proceso de eliminación de la integral completa. La derivación de la integral completa ahora proporciona ${\displaystyle a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)}$ ${\displaystyle (p,q,r)}$

${\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})}$

${\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})}$

${\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})}$

en el que requerimos que los términos del lado derecho de las tres ecuaciones desaparezcan de manera idéntica para que la eliminación de de dé como resultado la ecuación diferencial parcial. Este requisito se puede escribir de forma más compacta escribiéndolo como ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0}$

dónde

${\displaystyle J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

es el determinante jacobiano . La condición conduce a la solución general. Siempre que , entonces existe una relación funcional entre porque siempre que un determinante es cero, las columnas (o filas) no son linealmente independientes. Considere esta relación funcional como ${\displaystyle J=0}$ ${\displaystyle J=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle c=\psi (a,b).}$

Una vez encontrado, el problema está resuelto. De la relación anterior, tenemos . Sumando las ecuaciones originales , y encontramos . Ahora eliminando de las dos ecuaciones derivadas, obtenemos ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db}$ ${\displaystyle (a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle (a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle (a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle \phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0}$ ${\displaystyle dc}$

${\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0}$

Dado que y son independientes, requerimos ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0}$

${\displaystyle (\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.}$

Las dos ecuaciones anteriores se pueden utilizar para resolver y . Sustituyendo en , obtenemos la integral general . Así, una integral general describe una relación entre dos funciones independientes conocidas y una función arbitraria . Tenga en cuenta que hemos supuesto que el determinante es cero, pero esto no siempre es necesario. Las relaciones o, son suficientes para hacer que el determinante sea cero. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle (x,y,z,u)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \psi (a,b)}$ ${\displaystyle c=\psi (a,b)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle c=\psi (a)}$ ${\displaystyle c=\psi (b)}$

Integral singular

La integral singular se obtiene cuando . En este caso, eliminación de obras si ${\displaystyle J\neq 0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.}$

Las tres ecuaciones se pueden utilizar para resolver las tres incógnitas . La solución obtenida por eliminación de este modo conduce a lo que se llaman integrales singulares . ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

Integral especial

Por lo general, la mayoría de las integrales se dividen en tres categorías definidas anteriormente, pero puede suceder que una solución no encaje en ninguno de los tres tipos de integrales mencionados anteriormente. Estas soluciones se llaman integrales especiales . Una relación que satisface la ecuación diferencial parcial se dice que es una integral especial si no podemos determinarla a partir de las siguientes ecuaciones ${\displaystyle \chi (x,y,z,u)=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle \phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.}$

Si podemos determinar a partir del conjunto de ecuaciones anterior, resultará ser una de las tres integrales descritas anteriormente. ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \chi =0}$

Caso bidimensional

La integral completa en un espacio bidimensional se puede escribir como . La integral general se obtiene eliminando de las siguientes ecuaciones ${\displaystyle \phi (x,y,u,a,b)=0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.}$

La integral singular, si existe, se puede obtener eliminando de las siguientes ecuaciones ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.}$

Si no se dispone de una integral completa, aún se pueden obtener soluciones resolviendo un sistema de ecuaciones ordinarias. Para obtener este sistema, primero observe que la PDE determina un cono (análogo al cono de luz) en cada punto: si la PDE es lineal en las derivadas de u (es casi lineal), entonces el cono degenera en una línea. En el caso general, los pares ( p , q ) que satisfacen la ecuación determinan una familia de planos en un punto dado:

${\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}$

dónde

${\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}$

La envolvente de estos planos es un cono o una línea si el PDE es casi lineal. La condición para un sobre es

${\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}$

donde F se evalúa en , y dp y dq son incrementos de pyq que satisfacen F =0. Por tanto, el generador del cono es una recta con dirección ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q)}$

${\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}$

Esta dirección corresponde a los rayos de luz para la ecuación de onda. Para integrar ecuaciones diferenciales a lo largo de estas direcciones, necesitamos incrementos para p y q a lo largo del rayo. Esto se puede obtener diferenciando la PDE:

${\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}$

${\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}$

Por tanto, la dirección del rayo en el espacio es ${\displaystyle (x,y,u,p,q)}$

${\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,}$

La integración de estas ecuaciones conduce a un conoide de rayos en cada punto . A continuación se pueden obtener soluciones generales de la PDE a partir de envolturas de tales conoides. ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})}$

Definiciones de dependencia lineal para sistemas diferenciales.

Se puede hacer referencia a esta parte del libro de Courant. ^[3] ${\displaystyle \S 1.2.3}$

Suponemos que estas ecuaciones son independientes, es decir, que ninguna de ellas puede deducirse de la otra mediante diferenciación y eliminación. ${\displaystyle h}$

—  Courant, R. y Hilbert, D. (1962), Métodos de física matemática: ecuaciones diferenciales parciales, II, p.15-18

Se da una descripción equivalente. Se dan dos definiciones de dependencia lineal para ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden.

${\displaystyle (*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.}$

¿Dónde están las variables independientes? son incógnitas dependientes; son coeficientes lineales; y son elementos no homogéneos. Dejar . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle a_{ij}^{(k)}}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}$

Definición I: Dado un campo numérico , cuando hay coeficientes ( ), no todos cero, tal que ; las ecuaciones (*) son linealmente dependientes. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{k}\in P}$ ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}$

Definición II ( dependencia lineal diferencial ): Dado un campo numérico , cuando hay coeficientes ( ), no todos cero, de modo que , las Ecs.(*) se piensan como dependientes lineales diferenciales . Si , esta definición degenera en la definición I. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P}$ ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}$ ${\displaystyle {d_{kl}}\equiv 0}$

Los sistemas div-curl, las ecuaciones de Maxwell , las ecuaciones de Einstein (con cuatro coordenadas armónicas) y las ecuaciones de Yang-Mills (con condiciones de calibre) están bien determinadas en la definición II, mientras que están sobredeterminadas en la definición I.

Superficies características de la ecuación de onda.

Las superficies características de la ecuación de onda son superficies niveladas para las soluciones de la ecuación.

${\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}$

Hay poca pérdida de generalidad si establecemos : en ese caso u satisface ${\displaystyle u_{t}=1}$

${\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}$

En notación vectorial, sea

${\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}$

Una familia de soluciones con planos como superficies niveladas está dada por

${\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}$

dónde

${\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}$

Si x y x ₀ se mantienen fijos, la envolvente de estas soluciones se obtiene encontrando un punto en la esfera de radio 1/ c donde el valor de u es estacionario. Esto es cierto si es paralelo a . Por tanto la envolvente tiene ecuación ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}$

${\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}$

Estas soluciones corresponden a esferas cuyo radio crece o se reduce con la velocidad c . Estos son conos de luz en el espacio-tiempo.

El problema del valor inicial de esta ecuación consiste en especificar una superficie nivelada S donde u =0 para t =0. La solución se obtiene tomando la envolvente de todas las esferas con centro en S , cuyos radios crecen con la velocidad c . Este sobre se obtiene exigiendo que

${\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}$

Esta condición se cumplirá si es normal a S. Por tanto , la envolvente corresponde al movimiento con velocidad c a lo largo de cada normal a S. Ésta es la construcción de los frentes de onda de Huygens : cada punto de S emite una onda esférica en el instante t = 0, y el frente de onda en un instante posterior t es la envoltura de estas ondas esféricas. Las normales a S son los rayos de luz. ${\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}$

Referencias

1. Garabedian, PR (1964). Ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York: Wiley. OCLC  527754.
2. Forsyth, AR (1928). Un tratado sobre ecuaciones diferenciales.
3. Courant, R. y Hilbert, D. (1962). Métodos de Física Matemática: Ecuaciones diferenciales parciales. vol. II. Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 9783527617241.

Otras lecturas

• Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0772-2.
• Polianina, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden . Londres: Taylor y Francis. ISBN 0-415-27267-X.
• Polianina, AD (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Ratón: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
• Sara, Scott (2003). "El Método de los Caracteres con aplicaciones a las Leyes de Conservación". Revista de Matemáticas en Línea y sus Aplicaciones .