La ecuación de la enana blanca de Chandrasekhar

En astrofísica , la ecuación de la enana blanca de Chandrasekhar es una ecuación diferencial ordinaria de valor inicial introducida por el astrofísico indio-estadounidense Subrahmanyan Chandrasekhar , ^[1] en su estudio del potencial gravitacional de estrellas enanas blancas completamente degeneradas . La ecuación se lee como ^[2]

$${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}\right)+(\varphi ^{2}-C)^{3/2}=0}$$

con condiciones iniciales

$${\displaystyle \varphi (0)=1,\quad \varphi '(0)=0}$$

donde mide la densidad de la enana blanca, es la distancia radial adimensional desde el centro y es una constante que está relacionada con la densidad de la enana blanca en el centro. El límite de la ecuación está definido por la condición. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{\infty }}$

$${\displaystyle \varphi (\eta _{\infty })={\sqrt {C}}.}$$

tal que el rango de se convierte en . Esta condición equivale a decir que la densidad desaparece en . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\sqrt {C}}\leq \varphi \leq 1}$ ${\displaystyle \eta =\eta _{\infty }}$

Derivación

A partir de la estadística cuántica de un gas de electrones completamente degenerado (todos los estados cuánticos más bajos están ocupados), la presión y la densidad de una enana blanca se calculan en términos del momento máximo del electrón estandarizado como , con presión y densidad , donde ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle x=p_{0}/mc}$ ${\displaystyle P=Af(x)}$ ${\displaystyle \rho =Bx^{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&A={\frac {\pi m_{e}^{4}c^{5}}{3h^{3}}}=6.02\times 10^{21}{\text{ Pa}},\\&B={\frac {8\pi }{3}}m_{p}\mu _{e}\left({\frac {m_{e}c}{h}}\right)^{3}=9.82\times 10^{8}\mu _{e}{\text{ kg/m}}^{3},\\&f(x)=x(2x^{2}-3)(x^{2}+1)^{1/2}+3\sinh ^{-1}x,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mu _{e}}$es el peso molecular medio del gas y es la altura de un pequeño cubo de gas con sólo dos estados posibles. ${\displaystyle h}$

Cuando esto se sustituye en la ecuación de equilibrio hidrostático

$${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi G\rho }$$

donde es la constante gravitacional y es la distancia radial, obtenemos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d{\sqrt {x^{2}+1}}}{dr}}\right)=-{\frac {\pi GB^{2}}{2A}}x^{3}}$$

y dejando , tenemos ${\displaystyle y^{2}=x^{2}+1}$

$${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dy}{dr}}\right)=-{\frac {\pi GB^{2}}{2A}}(y^{2}-1)^{3/2}}$$

Si denotamos la densidad en el origen como , entonces una escala adimensional ${\displaystyle \rho _{o}=Bx_{o}^{3}=B(y_{o}^{2}-1)^{3/2}}$

$${\displaystyle r=\left({\frac {2A}{\pi GB^{2}}}\right)^{1/2}{\frac {\eta }{y_{o}}},\quad y=y_{o}\varphi }$$

da

$${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}\right)+(\varphi ^{2}-C)^{3/2}=0}$$

dónde . En otras palabras, una vez resuelta la ecuación anterior, la densidad viene dada por ${\displaystyle C=1/y_{o}^{2}}$

$${\displaystyle \rho =By_{o}^{3}\left(\varphi ^{2}-{\frac {1}{y_{o}^{2}}}\right)^{3/2}.}$$

Luego se puede calcular la masa interior a un punto específico.

$${\displaystyle M(\eta )=-{\frac {4\pi }{B^{2}}}\left({\frac {2A}{\pi G}}\right)^{3/2}\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}.}$$

La relación radio-masa de la enana blanca suele representarse en el plano - . ${\displaystyle \eta _{\infty }}$ ${\displaystyle M(\eta _{\infty })}$

Solución cerca del origen

En la vecindad del origen, Chandrasekhar proporcionó una expansión asintótica como ${\displaystyle \eta \ll 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ={}&1-{\frac {q^{3}}{6}}\eta ^{2}+{\frac {q^{4}}{40}}\eta ^{4}-{\frac {q^{5}(5q^{2}+14)}{7!}}\eta ^{6}\\[6pt]&{}+{\frac {q^{6}(339q^{2}+280)}{3\times 9!}}\eta ^{8}-{\frac {q^{7}(1425q^{4}+11346q^{2}+4256)}{5\times 11!}}\eta ^{10}+\cdots \end{aligned}}}$$

dónde . También proporcionó soluciones numéricas para el rango . ${\displaystyle q^{2}=C-1}$ ${\displaystyle C=0.01-0.8}$

Ecuación para pequeñas densidades centrales.

Cuando la densidad central es pequeña, la ecuación se puede reducir a una ecuación de Lane-Emden introduciendo ${\displaystyle \rho _{o}=Bx_{o}^{3}=B(y_{o}^{2}-1)^{3/2}}$

$${\displaystyle \xi ={\sqrt {2}}\eta ,\qquad \theta =\varphi ^{2}-C=\varphi ^{2}-1+x_{o}^{2}+O(x_{o}^{4})}$$

para obtener en orden principal, la siguiente ecuación

$${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)=-\theta ^{3/2}}$$

sujeto a las condiciones y . Tenga en cuenta que aunque la ecuación se reduce a la ecuación de Lane-Emden con índice politrópico , la condición inicial no es la de la ecuación de Lane-Emden. ${\displaystyle \theta (0)=x_{o}^{2}}$ ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ ${\displaystyle 3/2}$

Masa limitante para grandes densidades centrales

Cuando la densidad central se vuelve grande, es decir, o equivalentemente , la ecuación gobernante se reduce a ${\displaystyle y_{o}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle C\rightarrow 0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}\right)=-\varphi ^{3}}$$

sujeto a las condiciones y . Esta es exactamente la ecuación de Lane-Emden con índice politrópico . Tenga en cuenta que en este límite de grandes densidades, el radio ${\displaystyle \varphi (0)=1}$ ${\displaystyle \varphi '(0)=0}$ ${\displaystyle 3}$

$${\displaystyle r=\left({\frac {2A}{\pi GB^{2}}}\right)^{1/2}{\frac {\eta }{y_{o}}}}$$

tiende a cero. Sin embargo, la masa de la enana blanca tiende a un límite finito.

$${\displaystyle M\rightarrow -{\frac {4\pi }{B^{2}}}\left({\frac {2A}{\pi G}}\right)^{3/2}\left(\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}\right)_{\eta =\eta _{\infty }}=5.75\mu _{e}^{-2}M_{\odot }.}$$

El límite de Chandrasekhar se deriva de este límite.

Ver también

• Ecuación de Emden-Chandrasekhar
• Ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

Referencias

1. Chandrasekhar, Subrahmanyan y Subrahmanyan Chandrasekhar. Una introducción al estudio de la estructura estelar. vol. 2. Capítulo 11 Courier Corporation, 1958.
2. Davis, Harold Thayer (1962). Introducción a las ecuaciones diferenciales e integrales no lineales. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-60971-3.