Ecuación de Emden-Chandrasekhar

Solución numérica de la ecuación de Emden-Chandrasekhar

En astrofísica , la ecuación de Emden-Chandrasekhar es una forma adimensional de la ecuación de Poisson para la distribución de densidad de una esfera de gas isotérmica esféricamente simétrica sometida a su propia fuerza gravitacional, llamada así en honor a Robert Emden y Subrahmanyan Chandrasekhar . ^{[1] [2]} La ecuación fue introducida por primera vez por Robert Emden en 1907. ^[3] La ecuación ^[4] dice

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }}$

donde es el radio adimensional y está relacionado con la densidad de la esfera de gas como , donde es la densidad del gas en el centro. La ecuación no tiene solución explícita conocida. Si se utiliza un fluido politrópico en lugar de un fluido isotérmico, se obtiene la ecuación de Lane-Emden . La suposición isotérmica suele modelarse para describir el núcleo de una estrella. La ecuación se resuelve con las condiciones iniciales, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}e^{-\psi }}$ ${\displaystyle \rho _{c}}$

${\displaystyle \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0\quad {\text{at}}\quad \xi =0.}$

La ecuación aparece también en otras ramas de la física; por ejemplo, la misma ecuación aparece en la teoría de la explosión de Frank-Kamenetskii para un recipiente esférico. La versión relativista de este modelo isotérmico esféricamente simétrico fue estudiada por Subrahmanyan Chandrasekhar en 1972. ^[5]

Derivación

Para una estrella gaseosa isotérmica , la presión se debe a la presión cinética y a la presión de radiación. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=\rho {\frac {k_{B}}{WH}}T+{\frac {4\sigma }{3c}}T^{4}}$

dónde

• ${\displaystyle \rho }$es la densidad
• ${\displaystyle k_{B}}$es la constante de Boltzmann
• ${\displaystyle W}$es el peso molecular medio
• ${\displaystyle H}$es la masa del protón
• ${\displaystyle T}$es la temperatura de la estrella
• ${\displaystyle \sigma }$es la constante de Stefan-Boltzmann
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz

La ecuación para el equilibrio de la estrella requiere un equilibrio entre la fuerza de presión y la fuerza gravitacional.

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dp}{dr}}\right)=-4\pi G\rho }$

donde es el radio medido desde el centro y es la constante gravitacional . La ecuación se reescribe como ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\frac {k_{B}T}{WH}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ln \rho }{dr}}\right)=-4\pi G\rho }$

Solución real y solución asintótica.

Presentando la transformación

${\displaystyle \psi =\ln {\frac {\rho _{c}}{\rho }},\quad \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}WH}{k_{B}T}}\right)^{1/2}}$

donde está la densidad central de la estrella, conduce a ${\displaystyle \rho _{c}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }}$

Las condiciones de contorno son

${\displaystyle \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0\quad {\text{at}}\quad \xi =0}$

Para , la solución es así ${\displaystyle \xi \ll 1}$

${\displaystyle \psi ={\frac {\xi ^{2}}{6}}-{\frac {\xi ^{4}}{120}}+{\frac {\xi ^{6}}{1890}}+\cdots }$

Limitaciones del modelo

Asumir una esfera isotérmica tiene algunas desventajas. Aunque la densidad obtenida como solución de esta esfera de gas isotérmica disminuye desde el centro, disminuye demasiado lentamente para dar una superficie bien definida y una masa finita para la esfera. Se puede demostrar que, como , ${\displaystyle \xi \gg 1}$

${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho _{c}}}=e^{-\psi }={\frac {2}{\xi ^{2}}}\left[1+{\frac {A}{\xi ^{1/2}}}\cos \left({\frac {\sqrt {7}}{2}}\ln \xi +\delta \right)+O(\xi ^{-1})\right]}$

donde y son constantes que se obtendrán con solución numérica. Este comportamiento de la densidad da lugar a un aumento de masa con un aumento del radio. Por tanto, el modelo suele ser válido para describir el núcleo de la estrella, donde la temperatura es aproximadamente constante. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$

Solución única

Al introducir la transformación, la ecuación se transforma en ${\displaystyle x=1/\xi }$

${\displaystyle x^{4}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=e^{-\psi }}$

La ecuación tiene una solución singular dada por

${\displaystyle e^{-\psi _{s}}=2x^{2},\quad {\text{or}}\quad -\psi _{s}=2\ln x+\ln 2}$

Por lo tanto, se puede introducir una nueva variable como , donde se puede derivar la ecuación para , ${\displaystyle -\psi =2\ln x+z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dz}{dt}}+e^{z}-2=0,\quad {\text{where}}\quad t=\ln x}$

Esta ecuación se puede reducir a primer orden introduciendo

${\displaystyle y={\frac {dz}{dt}}=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}-2}$

entonces nosotros tenemos

${\displaystyle y{\frac {dy}{dz}}-y+e^{z}-2=0}$

Reducción

Hay otra reducción debida a Edward Arthur Milne . Definamos

${\displaystyle u={\frac {\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi }},\quad v=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}}$

entonces

${\displaystyle {\frac {u}{v}}{\frac {dv}{du}}=-{\frac {u-1}{u+v-3}}}$

Propiedades

• Si es una solución de la ecuación de Emden-Chandrasekhar, entonces también es una solución de la ecuación, donde es una constante arbitraria. ${\displaystyle \psi (\xi )}$ ${\displaystyle \psi (A\xi )-2\ln A}$ ${\displaystyle A}$
• Las soluciones de la ecuación de Emden-Chandrasekhar que son finitas en el origen tienen necesariamente en ${\displaystyle d\psi /d\xi =0}$ ${\displaystyle \xi =0}$

Ver también

• Ecuación de Lane-Emden
• Teoría de Frank-Kamenetskii
• La ecuación de la enana blanca de Chandrasekhar

Referencias

1. Chandrasekhar, Subrahmanyan y Subrahmanyan Chandrasekhar. Una introducción al estudio de la estructura estelar. vol. 2. Corporación de mensajería, 1958.
2. Chandrasekhar, S. y Gordon W. Wares. "La función isotérmica". The Astrophysical Journal 109 (1949): 551-554.http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1949ApJ...109..551C&defaultprint=YES&filetype=.pdf
3. Emden, R. (1907). Gaskugeln: Anwendungen der mechanischen Wärmetheorie auf kosmologische und meteorologische Probleme. B. Teubner.
4. Kippenhahn, Rudolf, Alfred Weigert y Achim Weiss. Estructura estelar y evolución. vol. 282. Berlín: Springer-Verlag, 1990.
5. Chandrasekhar, S. (1972). Un caso límite de equilibrio relativista. En Relatividad general (en honor a JL Synge), ed. L. O'Raifeartaigh. Oxford. Prensa de Clarendon (págs. 185-199).
6. Henrich, LR y Chandrasekhar, S. (1941). Modelos estelares con núcleos isotérmicos. El diario astrofísico, 94, 525.