Ecuación de flujo de Goldman-Hodgkin-Katz

Expresión del flujo iónico a través de una membrana celular.

La ecuación de flujo de Goldman-Hodgkin-Katz (o ecuación de flujo de GHK o ecuación de densidad de corriente de GHK) describe el flujo iónico a través de una membrana celular en función del potencial transmembrana y las concentraciones del ion dentro y fuera de la célula. Dado que tanto el voltaje como los gradientes de concentración influyen en el movimiento de los iones, este proceso es una versión simplificada de la electrodifusión . La electrodifusión se define con mayor precisión mediante la ecuación de Nernst-Planck y la ecuación de flujo de GHK es una solución a la ecuación de Nernst-Planck con los supuestos que se enumeran a continuación.

Origen

El estadounidense David E. Goldman , de la Universidad de Columbia , y los premios Nobel ingleses Alan Lloyd Hodgkin y Bernard Katz derivaron esta ecuación.

Suposiciones

Se hacen varias suposiciones al derivar la ecuación de flujo de GHK (Hille 2001, p. 445):

• La membrana es una sustancia homogénea.
• El campo eléctrico es constante, por lo que el potencial transmembrana varía linealmente a través de la membrana.
• Los iones acceden instantáneamente a la membrana desde las soluciones intra y extracelulares.
• Los iones permeantes no interactúan.
• El movimiento de los iones se ve afectado tanto por las diferencias de concentración como de voltaje.

Ecuación

La ecuación de flujo de GHK para un ion S (Hille 2001, p. 445):

${\displaystyle \Phi _{S}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}{\frac {[{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}{1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}}}$

dónde

• ${\displaystyle \Phi }$_S es la densidad de corriente (flujo) que sale a través de la membrana transportada por el ion S, medida en amperios por metro cuadrado (A·m ⁻² ).
• P _S es la permeabilidad de la membrana para el ion S medida en m·s ⁻¹
• z _S es la valencia del ion S
• V _m es el potencial transmembrana en voltios
• F es la constante de Faraday , igual a 96,485 C·mol ⁻¹ o J·V ⁻¹ ·mol ⁻¹
• R es la constante de los gases , igual a 8,314 J·K ⁻¹ ·mol ⁻¹
• T es la temperatura absoluta , medida en kelvins (= grados Celsius + 273,15)
• [S] _i es la concentración intracelular del ion S, medida en mol·m ⁻³ o mmol·l ⁻¹
• [S] _o es la concentración extracelular del ion S, medida en mol·m ⁻³

Definición implícita de potencial de reversión

Se ha demostrado que el potencial de inversión está contenido en la ecuación de flujo de GHK (Flax 2008). La prueba se replica de la referencia (Flax 2008) aquí.

Deseamos demostrar que cuando el flujo es cero, el potencial transmembrana no es cero. Formalmente se escribe lo que equivale a escribir , que establece que cuando el potencial transmembrana es cero, el flujo no es cero. ${\displaystyle \lim _{\Phi _{S}\rightarrow 0}V_{m}\neq 0}$ ${\displaystyle \lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}\neq 0}$

Sin embargo, debido a la forma de la ecuación de flujo de GHK cuando , . Esto es un problema ya que el valor de es indeterminado . ${\displaystyle V_{m}=0}$ ${\displaystyle \Phi _{S}={\frac {0}{0}}}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

Recurrimos a la regla de L'Hôpital para encontrar la solución del límite:

${\displaystyle \lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}=P_{S}{\frac {z_{S}^{2}F^{2}}{RT}}{\frac {[V_{m}([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT))]'}{[1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)]'}}}$

donde representa el diferencial de f y el resultado es: ${\displaystyle [f]'}$

${\displaystyle \lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}=P_{S}z_{S}F([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o})}$

De la ecuación anterior se desprende que cuando , si y por tanto ${\displaystyle V_{m}=0}$ ${\displaystyle \Phi _{S}\neq 0}$ ${\displaystyle ([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o})\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{\Phi _{S}\rightarrow 0}V_{m}\neq 0}$

que es la definición del potencial de reversión.

Configurando también podemos obtener el potencial de inversión: ${\displaystyle \Phi _{S}=0}$

${\displaystyle \Phi _{S}=0=P_{S}{\frac {z_{S}^{2}F^{2}}{RT}}{\frac {V_{m}([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT))}{1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}}}$

que se reduce a:

${\displaystyle [{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)=0}$

y produce la ecuación de Nernst  :

${\displaystyle V_{m}=-{\frac {RT}{z_{S}F}}\ln \left({\frac {[{\mbox{S}}]_{i}}{[{\mbox{S}}]_{o}}}\right)}$

Rectificación

Dado que uno de los supuestos de la ecuación de flujo de GHK es que los iones se mueven independientemente uno del otro, el flujo total de iones a través de la membrana es simplemente igual a la suma de dos flujos dirigidos en direcciones opuestas. Cada flujo se acerca a un valor asintótico cuando el potencial de membrana diverge de cero. Estas asíntotas son

${\displaystyle \Phi _{S|i\to o}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}[{\mbox{S}}]_{i}\ {\mbox{for}}\ V_{m}\gg \;0}$

${\displaystyle \Phi _{S|i\to o}=0\;{\mbox{for}}\ V_{m}\ll \;0}$

y

${\displaystyle \Phi _{S|o\to i}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}[{\mbox{S}}]_{o}\ {\mbox{for}}\ V_{m}\ll \;0}$

${\displaystyle \Phi _{S|o\to i}=0\;{\mbox{for}}\ V_{m}\gg \;0}$

donde los subíndices 'i' y 'o' indican los compartimentos intra y extracelular, respectivamente. Intuitivamente uno puede entender estos límites de la siguiente manera: si un ion sólo se encuentra fuera de una celda, entonces el flujo es óhmico (proporcional al voltaje) cuando el voltaje hace que el ion fluya hacia la celda, pero ningún voltaje podría hacer que el ion fluya. fuera de la célula, ya que, en primer lugar, no hay iones dentro de la célula.

Manteniendo constantes todos los términos excepto V _m , la ecuación produce una línea recta al trazar _S contra V _m . Es evidente que la relación entre las dos asíntotas es simplemente la relación entre las dos concentraciones de S, [S] _i y [S] _o . Por lo tanto, si las dos concentraciones son idénticas, la pendiente será idéntica (y constante) en todo el rango de voltaje (correspondiente a la ley de Ohm escalada por el área de la superficie). A medida que aumenta la relación entre las dos concentraciones, también aumenta la diferencia entre las dos pendientes, lo que significa que la corriente es mayor en una dirección que en la otra, dada una fuerza impulsora igual de signos opuestos. Esto es contrario al resultado obtenido si se utiliza la ley de Ohm escalada por el área de la superficie, y el efecto se llama rectificación . ${\displaystyle \Phi }$

Los electrofisiólogos utilizan principalmente la ecuación de flujo de GHK cuando la relación entre [S] _i y [S] _o es grande y/o cuando una o ambas concentraciones cambian considerablemente durante un potencial de acción . El ejemplo más común es probablemente el calcio intracelular , [Ca ²⁺ ] _i , que durante un ciclo de potencial de acción cardíaco puede cambiar 100 veces o más, y la relación entre [Ca ²⁺ ] _o y [Ca ²⁺ ] _i puede alcanzar 20.000 o más.

Referencias

• Hille, Bertil (2001). Canales iónicos de membranas excitables , 3ª ed., Sinauer Associates, Sunderland, Massachusetts. ISBN  978-0-87893-321-1
• Flax, Matt R. y Holmes, W. Harvey (2008). Modelos de células ciliadas cocleares Goldman-Hodgkin-Katz: una base para la mecánica coclear no lineal , Actas de la conferencia: Interspeech 2008.

Ver también

• ecuación de goldman
• ecuación de nernst
• Potencial de reversión