Ecuación de Nernst-Planck

Ecuación utilizada para calcular la electromigración de iones en un fluido

La ecuación de Nernst-Planck es una ecuación de conservación de masa que se utiliza para describir el movimiento de una especie química cargada en un medio fluido. Extiende la ley de difusión de Fick para el caso en el que las partículas que se difunden también se mueven con respecto al fluido por fuerzas electrostáticas. ^{[1] [2]} Recibe su nombre en honor a Walther Nernst y Max Planck .

Ecuación

La ecuación de Nernst-Planck es una ecuación de continuidad para la concentración dependiente del tiempo de una especie química: ${\displaystyle c(t,{\bf {x}})}$

${\displaystyle {\partial c \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\bf {J}}=0}$

donde es el flujo . Se supone que el flujo total está compuesto de tres elementos: difusión , advección y electromigración . Esto implica que la concentración se ve afectada por un gradiente de concentración iónica , la velocidad del flujo y un campo eléctrico : ${\displaystyle {\bf {J}}}$ ${\displaystyle \nabla c}$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle {\bf {E}}}$

${\displaystyle {\bf {J}}=-\underbrace {D\nabla c} _{\text{Diffusion}}+\underbrace {c{\bf {v}}} _{\text{Advection}}+\underbrace {{Dze \over {k_{\text{B}}T}}c{\bf {E}}} _{\text{Electromigration}}}$

donde es la difusividad de la especie química, es la valencia de la especie iónica, es la carga elemental , es la constante de Boltzmann y es la temperatura absoluta . El campo eléctrico puede descomponerse además como: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\bf {E}}=-\nabla \phi -{\partial {\bf {A}} \over {\partial t}}}$

donde es el potencial eléctrico y es el potencial vectorial magnético . Por lo tanto, la ecuación de Nernst-Planck viene dada por: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D\nabla c-c\mathbf {v} +{\frac {Dze}{k_{\text{B}}T}}c\left(\nabla \phi +{\partial {\bf {A}} \over {\partial t}}\right)\right]}$

Simplificaciones

Suponiendo que la concentración está en equilibrio y la velocidad de flujo es cero, lo que significa que solo se mueven las especies iónicas, la ecuación de Nernst-Planck toma la forma: ${\displaystyle (\partial c/\partial t=0)}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left\{D\left[\nabla c+{ze \over {k_{\text{B}}T}}c\left(\nabla \phi +{\partial {\bf {A}} \over {\partial t}}\right)\right]\right\}=0}$

En lugar de un campo eléctrico general, si suponemos que solo el componente electrostático es significativo, la ecuación se simplifica aún más eliminando la derivada temporal del potencial vectorial magnético:

${\displaystyle \nabla \cdot \left[D\left(\nabla c+{ze \over {k_{\text{B}}T}}c\nabla \phi \right)\right]=0}$

Finalmente, en unidades de mol/(m ² ·s) y la constante de los gases , se obtiene la forma más familiar: ^{[3] [4]} ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left[D\left(\nabla c+{zF \over {RT}}c\nabla \phi \right)\right]=0}$

donde la constante de Faraday es igual a ; el producto de la constante de Avogadro por la carga elemental. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N_{\text{A}}e}$

Aplicaciones

La ecuación de Nernst-Planck se aplica para describir la cinética de intercambio iónico en suelos. ^[5] También se ha aplicado a la electroquímica de membranas . ^[6]

Véase también

• Ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz
• Bioelectroquímica

Referencias

1. Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: Transporte en dispositivos microfluídicos: Capítulo 11: Transporte de especies y carga.
2. Probstein, R. (1994). Hidrodinámica fisicoquímica .
3. Hille, B. (1992). Canales iónicos de membranas excitables (2.ª ed.). Sunderland, MA: Sinauer. pág. 267. ISBN 9780878933235.
4. Hille, B. (1992). Canales iónicos de membranas excitables (3.ª ed.). Sunderland, MA: Sinauer. pág. 318. ISBN 9780878933235.
5. Sparks, DL (1988). Cinética de los procesos químicos del suelo . Academic Press, Nueva York. pp. 101 y siguientes.
6. Brumleve, Timothy R.; Buck, Richard P. (1 de junio de 1978). "Solución numérica del sistema de ecuaciones de Nernst-Planck y Poisson con aplicaciones a la electroquímica de membranas y la física del estado sólido". Revista de química electroanalítica y electroquímica interfacial . 90 (1): 1–31. doi :10.1016/S0022-0728(78)80137-5. ISSN  0022-0728.