Clase de conjugación

En teoría de grupos, clase de equivalencia bajo la relación de conjugación.

Dos gráficos de Cayley de grupos diedros con clases de conjugación diferenciadas por color.

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , dos elementos y de un grupo son conjugados si hay un elemento en el grupo tal que Esta es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se denominan clases de conjugación . En otras palabras, cada clase de conjugación es cerrada bajo para todos los elementos del grupo. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}.}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ ${\displaystyle g}$

Los miembros de una misma clase de conjugación no pueden distinguirse utilizando únicamente la estructura del grupo, y por lo tanto comparten muchas propiedades. El estudio de las clases de conjugación de grupos no abelianos es fundamental para el estudio de su estructura. ^{[1] [2]} Para un grupo abeliano , cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento ( conjunto singleton ).

Las funciones que son constantes para los miembros de la misma clase de conjugación se denominan funciones de clase .

Definición

Sea un grupo. Dos elementos son conjugados si existe un elemento tal que en cuyo caso se llama conjugado de y se llama conjugado de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=b,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

En el caso del grupo lineal general de matrices invertibles , la relación de conjugación se denomina semejanza matricial . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y, por lo tanto, se divide en clases de equivalencia. (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece precisamente a una clase de conjugación, y las clases y son iguales si y solo si y son conjugados, y disjuntos en caso contrario). La clase de equivalencia que contiene el elemento es y se llama clase de conjugación de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\in G}$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$ ${\displaystyle a.}$El número de clase es el número de clases de conjugación distintas (no equivalentes). Todos los elementos que pertenecen a la misma clase de conjugación tienen el mismoorden. ${\displaystyle G}$

Se puede hacer referencia a las clases de conjugación describiéndolas o, más brevemente, mediante abreviaturas como "6A", que significa "una determinada clase de conjugación con elementos de orden 6", y "6B" sería una clase de conjugación diferente con elementos de orden 6; la clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad que tiene orden 1. En algunos casos, las clases de conjugación se pueden describir de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico se pueden describir por tipo de ciclo .

Ejemplos

El grupo simétrico formado por las 6 permutaciones de tres elementos, tiene tres clases de conjugación: ${\displaystyle S_{3},}$

1. Sin cambios . El miembro único tiene orden 1. ${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. Transponiendo dos . Los 3 miembros tienen orden 2. ${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. Una permutación cíclica de los tres . Los dos miembros tienen orden 3. ${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

Estas tres clases corresponden también a la clasificación de las isometrías de un triángulo equilátero .

Tabla que muestra todos los pares con (comparar lista numerada ) . Cada fila contiene todos los elementos de la clase de conjugación de y cada columna contiene todos los elementos de ${\displaystyle bab^{-1}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in S_{4}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle S_{4}.}$

El grupo simétrico S 4 , {\displaystyle S_{4},} que consta de las 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación, enumeradas con su descripción, tipo de ciclo , orden de miembros y miembros:

1. Sin cambios. Tipo de ciclo = [1 ⁴ ]. Orden = 1. Miembros = { (1, 2, 3, 4) }. La fila única que contiene esta clase de conjugación se muestra como una fila de círculos negros en la tabla adyacente.
2. Intercambio de dos (los otros dos permanecen sin cambios). Tipo de ciclo = [1 ² 2 ¹ ]. Orden = 2. Miembros = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en verde en la tabla adyacente.
3. Una permutación cíclica de tres (el otro permanece sin cambios). Tipo de ciclo = [1 ¹ 3 ¹ ]. Orden = 3. Miembros = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). Las 8 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con letra normal (sin negrita ni resaltado en color) en la tabla adyacente.
4. Una permutación cíclica de los cuatro. Tipo de ciclo = [4 ¹ ]. Orden = 4. Miembros = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en naranja en la tabla adyacente.
5. Intercambio de dos y también de los otros dos. Tipo de ciclo = [2 ² ]. Orden = 2. Miembros = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). Las 3 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con entradas en negrita en la tabla adyacente.

Las rotaciones propias del cubo , que pueden caracterizarse por permutaciones de las diagonales del cuerpo, también se describen por conjugación en ${\displaystyle S_{4}.}$

En general, el número de clases de conjugación en el grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$ es igual al número de particiones enteras de Esto se debe a que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición de en ciclos , hasta la permutación de los elementos de ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

En general, el grupo euclidiano puede estudiarse mediante la conjugación de isometrías en el espacio euclidiano .

Ejemplo

Sea G = ${\displaystyle S_{3}}$

a = ( 2 3 )

x = ( 1 2 3 )

x ^-1 = (321)

Entonces xax ^-1

= (1 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 1 ) = ( 3 1 )

= ( 3 1 ) es conjugado de ( 2 3 )

Propiedades

• El elemento identidad es siempre el único elemento de su clase, es decir ${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• Si es abeliano entonces para todos , es decir para todos (y lo inverso también es cierto: si todas las clases de conjugación son singletons entonces es abeliano). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=a}$ ${\displaystyle a,g\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$
• Si dos elementos pertenecen a la misma clase de conjugación (es decir, si son conjugados), entonces tienen el mismo orden . En términos más generales, cada enunciado acerca de se puede traducir en un enunciado acerca de porque la función es un automorfismo de llamado automorfismo interno . Vea la siguiente propiedad para ver un ejemplo. ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=gag^{-1},}$ ${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$
• Si y son conjugados, entonces también lo son sus potencias y (Demostración: si entonces ) Por lo tanto, al tomar las k potencias se obtiene una función de clases de conjugación, y se pueden considerar qué clases de conjugación están en su preimagen. Por ejemplo, en el grupo simétrico, el cuadrado de un elemento de tipo (3)(2) (un 3-ciclo y un 2-ciclo) es un elemento de tipo (3), por lo tanto, una de las clases potenciadoras de (3) es la clase (3)(2) (donde es una clase potenciadora de ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{k}}$ ${\displaystyle b^{k}.}$ ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ ${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{k}}$
• Un elemento se encuentra en el centro de si y solo si su clase de conjugación tiene solo un elemento, él mismo. De manera más general, si denota el centralizador de es decir, el subgrupo que consiste en todos los elementos tales que entonces el índice es igual al número de elementos en la clase de conjugación de (por el teorema del estabilizador de órbita ). ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ga=ag,}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle a}$
• Tome y sea los enteros distintos que aparecen como longitudes de ciclos en el tipo de ciclo de (incluidos los ciclos 1). Sea el número de ciclos de longitud en para cada uno (de modo que ). Entonces el número de conjugados de es: ^[1] ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$ ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

La conjugación como acción grupal

Para dos elementos cualesquiera, sea Esto define una acción de grupo de sobre Las órbitas de esta acción son las clases de conjugación, y el estabilizador de un elemento dado es el centralizador del elemento . ^[3] ${\displaystyle g,x\in G,}$ $${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

De manera similar, podemos definir una acción de grupo de sobre el conjunto de todos los subconjuntos de escribiendo o sobre el conjunto de los subgrupos de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ $${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$$ ${\displaystyle G.}$

Ecuación de clase de conjugación

Si es un grupo finito , entonces para cualquier elemento del grupo los elementos en la clase de conjugación de están en correspondencia biunívoca con los coconjuntos del centralizador Esto se puede ver al observar que dos elementos cualesquiera y que pertenecen al mismo coconjunto (y por lo tanto, para algunos en el centralizador ) dan lugar al mismo elemento cuando se conjugan : Esto también se puede ver a partir del teorema del estabilizador de la órbita , al considerar el grupo como actuando sobre sí mismo a través de la conjugación, de modo que las órbitas son clases de conjugación y los subgrupos estabilizadores son centralizadores. Lo inverso también es válido. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b=cz}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.}$$

Por lo tanto, el número de elementos en la clase de conjugación de es el índice del centralizador en ; por lo tanto, el tamaño de cada clase de conjugación divide el orden del grupo. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle G}$

Además, si elegimos un solo elemento representativo de cada clase de conjugación, inferimos de la disyunción de las clases de conjugación que donde es el centralizador del elemento Observar que cada elemento del centro forma una clase de conjugación que se contiene sólo a sí mismo da lugar a la ecuación de clase : ^[4] donde la suma es sobre un elemento representativo de cada clase de conjugación que no está en el centro. ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ $${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$

El conocimiento de los divisores del orden del grupo se puede utilizar a menudo para obtener información sobre el orden del centro o de las clases de conjugación. ${\displaystyle |G|}$

Ejemplo

Consideremos un grupo finito (es decir, un grupo con orden donde es un número primo y ). Vamos a demostrar que todo grupo finito tiene un centro no trivial . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{n},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p}$

Dado que el orden de cualquier clase de conjugación de debe dividir el orden de se deduce que cada clase de conjugación que no está en el centro también tiene orden alguna potencia de donde Pero entonces la ecuación de clase requiere que De esto vemos que debe dividir así ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle p^{k_{i}},}$ ${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$ ${\textstyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

En particular, cuando entonces es un grupo abeliano ya que cualquier elemento de un grupo no trivial es de orden o Si algún elemento de es de orden entonces es isomorfo al grupo cíclico de orden por lo tanto abeliano. Por otro lado, si cada elemento no trivial en es de orden por lo tanto por la conclusión anterior entonces o Solo necesitamos considerar el caso cuando entonces hay un elemento de que no está en el centro de Nótese que incluye y el centro que no contiene pero al menos elementos. Por lo tanto, el orden de es estrictamente mayor que por lo tanto por lo tanto es un elemento del centro de una contradicción. Por lo tanto es abeliano y de hecho isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos cada uno de orden ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p.}$

Conjugación de subgrupos y subconjuntos generales

De manera más general, dado cualquier subconjunto ( no necesariamente un subgrupo), definamos un subconjunto con el que conjugar si existe alguno tal que Sea el conjunto de todos los subconjuntos tales que sea conjugado a ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

Un teorema usado frecuentemente es que, dado cualquier subconjunto, el índice de (el normalizador de ) en es igual a la cardinalidad de : ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$

${\displaystyle |\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].}$

Esto se deduce porque, si entonces si y solo si en otras palabras, si y solo si están en el mismo conjunto lateral de ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$ ${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$ ${\displaystyle g{\text{ and }}h}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

Al utilizar esta fórmula se generaliza la dada anteriormente para el número de elementos en una clase de conjugación. ${\displaystyle S=\{a\},}$

Lo anterior es particularmente útil cuando se habla de subgrupos de Los subgrupos pueden dividirse así en clases de conjugación, con dos subgrupos pertenecientes a la misma clase si y solo si son conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos , pero los subgrupos isomorfos no necesitan ser conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede tener dos subgrupos diferentes que sean isomorfos, pero nunca conjugados. ${\displaystyle G.}$

Interpretación geométrica

Las clases de conjugación en el grupo fundamental de un espacio topológico conexo por caminos pueden considerarse como clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.

Clase de conjugación y representaciones irreducibles en grupos finitos

En cualquier grupo finito , el número de representaciones irreducibles no isomorfas sobre los números complejos es precisamente el número de clases de conjugación.

Véase también

• Conjugación topológica  – Concepto en topología
• Grupo FC  – Grupo en teoría de grupos en matemáticas
• Subgrupo cerrado por conjugación

Notas

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN. 0-387-95385-X.
3. Grillet (2007), pág. 56
4. Grillet (2007), pág. 57

Referencias

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Álgebra abstracta . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 242 (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

Enlaces externos

• "Elementos conjugados", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]