clase de conjugación

En teoría de grupos, clase de equivalencia bajo la relación de conjugación

Dos gráficas de Cayley de grupos diédricos con clases de conjugación distinguidas por color.

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , dos elementos y de un grupo son conjugados si hay un elemento en el grupo tal que Esta es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se llaman clases de conjugación . En otras palabras, cada clase de conjugación está cerrada para todos los elementos del grupo. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}.}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ ${\displaystyle g}$

Los miembros de la misma clase de conjugación no se pueden distinguir utilizando únicamente la estructura de grupo y, por lo tanto, comparten muchas propiedades. El estudio de clases de conjugación de grupos no abelianos es fundamental para el estudio de su estructura. ^{[1] [2]} Para un grupo abeliano , cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento ( conjunto singleton ).

Las funciones que son constantes para miembros de la misma clase de conjugación se denominan funciones de clase .

Definición

Seamos un grupo. Dos elementos son conjugados si existe un elemento tal que en cuyo caso se llama conjugado de y se llama conjugado de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=b,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

En el caso del grupo lineal general de matrices invertibles , la relación de conjugación se llama similitud matricial . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y, por lo tanto, se divide en clases de equivalencia. (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece precisamente a una clase de conjugación, y las clases y son iguales si y sólo si y son conjugadas, y disjuntas en caso contrario). La clase de equivalencia que contiene el elemento es ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\in G}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$

clase de conjugación ${\displaystyle a.}$número de claseorden ${\displaystyle G}$

Se puede hacer referencia a las clases de conjugación describiéndolas o, más brevemente, mediante abreviaturas como "6A", que significa "una determinada clase de conjugación con elementos de orden 6", y "6B" sería una clase de conjugación diferente con elementos de orden 6; la clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad que tiene orden 1. En algunos casos, las clases de conjugación se pueden describir de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico se pueden describir por tipo de ciclo .

Ejemplos

El grupo simétrico que consta de 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación: ${\displaystyle S_{3},}$

1. Ningún cambio . El miembro único tiene orden 1. ${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. Transponiendo dos . Los 3 miembros tienen todos el orden 2. ${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. Una permutación cíclica de los tres . Los 2 miembros tienen ambos orden 3. ${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

Estas tres clases también corresponden a la clasificación de las isometrías de un triángulo equilátero .

Tabla que muestra todos los pares con (compare la lista numerada ) . Cada fila contiene todos los elementos de la clase de conjugación de y cada columna contiene todos los elementos de ${\displaystyle bab^{-1}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in S_{4}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle S_{4}.}$

El grupo simétrico S 4 , {\displaystyle S_{4},} que consta de 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación, enumeradas con su descripción, tipo de ciclo , orden de miembros y miembros:

1. Ningún cambio. Tipo de ciclo = [1 ⁴ ]. Orden = 1. Miembros = { (1, 2, 3, 4) }. La única fila que contiene esta clase de conjugación se muestra como una fila de círculos negros en la tabla adyacente.
2. Intercambiando dos (los otros dos permanecen sin cambios). Tipo de ciclo = [1 ² 2 ¹ ]. Orden = 2. Miembros = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en verde en la tabla adyacente.
3. Una permutación cíclica de tres (la otra permanece sin cambios). Tipo de ciclo = [1 ¹ 3 ¹ ]. Orden = 3. Miembros = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). Las 8 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con letra de imprenta normal (sin negrita ni resaltado de color) en la tabla adyacente.
4. Una permutación cíclica de los cuatro. Tipo de ciclo = [4 ¹ ]. Orden = 4. Miembros = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en naranja en la tabla adyacente.
5. Intercambiando dos, y también los otros dos. Tipo de ciclo = [2 ² ]. Orden = 2. Miembros = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). Las 3 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con entradas en negrita en la tabla adyacente.

Las rotaciones propias del cubo , que pueden caracterizarse por permutaciones de las diagonales del cuerpo, también se describen mediante conjugación en ${\displaystyle S_{4}.}$

En general, el número de clases de conjugación en el grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$ es igual al número de particiones enteras de Esto se debe a que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición de en ciclos , hasta la permutación de los elementos de ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

En general, el grupo euclidiano puede estudiarse mediante conjugación de isometrías en el espacio euclidiano .

Ejemplo

Sea G = ${\displaystyle S_{3}}$

un = ( 2 3 )

x = ( 1 2 3 )

x ^-1 = ( 3 2 1 )

Entonces xax ^-1

= (1 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 1 ) = ( 3 1 )

= ( 3 1 ) es conjugado de ( 2 3 )

Propiedades

• El elemento de identidad es siempre el único elemento de su clase, es decir ${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• Si es abeliano , entonces para todos , es decir, para todos (y lo contrario también es cierto: si todas las clases de conjugación son singletons, entonces es abeliano). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=a}$ ${\displaystyle a,g\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$
• Si dos elementos pertenecen a la misma clase de conjugación (es decir, si son conjugados), entonces tienen el mismo orden . De manera más general, cada afirmación acerca de puede traducirse en una afirmación acerca de porque el mapa es un automorfismo llamado automorfismo interno . Vea la siguiente propiedad para ver un ejemplo. ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=gag^{-1},}$ ${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$
• Si y son conjugados, entonces también lo son sus potencias y (Prueba: si entonces ) Por lo tanto, tomando k -ésimas potencias se obtiene un mapa de clases de conjugación, y se puede considerar qué clases de conjugación están en su preimagen. Por ejemplo, en el grupo simétrico, el cuadrado de un elemento de tipo (3)(2) (de 3 ciclos y de 2 ciclos) es un elemento de tipo (3), por lo tanto, una de las clases de potenciador de (3) es la clase (3)(2) (donde hay una clase potenciadora de ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{k}}$ ${\displaystyle b^{k}.}$ ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ ${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{k}}$
• Un elemento se encuentra en el centro de si y sólo si su clase de conjugación tiene sólo un elemento, él mismo. De manera más general, si denota el centralizador de , es decir, el subgrupo que consta de todos los elementos tales que entonces el índice es igual al número de elementos en la clase de conjugación de (según el teorema del estabilizador de órbita ). ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ga=ag,}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle a}$
• Tome y deje ser los números enteros distintos que aparecen como longitudes de ciclos en el tipo de ciclo de (incluidos los ciclos 1). Sea el número de ciclos de longitud para cada uno (de modo que ). Entonces el número de conjugados de es: ^[1] ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$ ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$ ${\displaystyle \sigma }$
  $${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

La conjugación como acción grupal.

Para dos elementos cualesquiera, dejemos ${\displaystyle g,x\in G,}$

$${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$

acción grupalestabilizador de un elemento dado es el centralizador^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

De manera similar, podemos definir una acción grupal de en el conjunto de todos los subconjuntos de escribiendo ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$

$${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$$

${\displaystyle G.}$

Ecuación de clase conjugada

Si es un grupo finito , entonces, para cualquier elemento del grupo, los elementos en la clase de conjugación de están en correspondencia uno a uno con las clases laterales del centralizador. Esto se puede ver observando que dos elementos cualesquiera que pertenezcan a la misma clase lateral (y por lo tanto , para algunos en el centralizador ) dan lugar al mismo elemento al conjugar : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b=cz}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.}$$

teorema del estabilizador de órbita

Así, el número de elementos en la clase de conjugación de es el índice del centralizador en ; por tanto, el tamaño de cada clase de conjugación divide el orden del grupo. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle G}$

Además, si elegimos un único elemento representativo de cada clase de conjugación, inferimos de la disjunción de las clases de conjugación que ${\displaystyle x_{i}}$

$${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$

ecuación de clase^[4] ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$

$${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$

El conocimiento de los divisores del orden del grupo a menudo se puede utilizar para obtener información sobre el orden del centro o de las clases de conjugación. ${\displaystyle |G|}$

Ejemplo

Considere un grupo finito (es decir, un grupo con orden donde es un número primo y ). Vamos a demostrar que todo grupo finito tiene un centro no trivial . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{n},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p}$

Dado que el orden de cualquier clase de conjugación de debe dividir el orden de, se deduce que cada clase de conjugación que no está en el centro también tiene orden alguna potencia de dónde. Pero entonces la ecuación de clases requiere que De esto vemos que debe dividirse de manera ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle p^{k_{i}},}$ ${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$ ${\textstyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

En particular, cuando entonces es un grupo abeliano ya que cualquier elemento del grupo no trivial es de orden o si algún elemento es de orden entonces es isomorfo al grupo cíclico de orden, por lo tanto abeliano. Por otro lado, si cada elemento no trivial está en orden, por lo tanto, según la conclusión anterior, entonces o Solo necesitamos considerar el caso cuando hay un elemento que no está en el centro de la Nota que incluye y el centro que no contiene pero al menos elementos. Por tanto, el orden de es estrictamente mayor que por lo tanto es un elemento del centro de una contradicción. Por tanto, es abeliano y de hecho isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos, cada uno de orden ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p.}$

Conjugación de subgrupos y subconjuntos generales.

De manera más general, dado cualquier subconjunto ( no necesariamente un subgrupo), defina un subconjunto para ser conjugado si existe alguno tal que Sea el conjunto de todos los subconjuntos tales que sea conjugado con ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

Un teorema utilizado con frecuencia es que, dado cualquier subconjunto, el índice de (el normalizador de ) es igual a la cardinalidad de : ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$

${\displaystyle |\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].}$

Esto se deduce ya que, si entonces si y sólo si en otras palabras, si y sólo si están en la misma clase lateral de ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$ ${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$ ${\displaystyle g{\text{ and }}h}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

Al utilizar esta fórmula, se generaliza la dada anteriormente para el número de elementos en una clase de conjugación. ${\displaystyle S=\{a\},}$

Lo anterior es particularmente útil cuando se habla de subgrupos de. Por lo tanto, los subgrupos se pueden dividir en clases de conjugación, con dos subgrupos que pertenecen a la misma clase si y solo si son conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos , pero los subgrupos isomorfos no necesitan ser conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede tener dos subgrupos diferentes que sean isomórficos, pero nunca conjugados. ${\displaystyle G.}$

Interpretación geométrica

Las clases de conjugación en el grupo fundamental de un espacio topológico conectado por caminos pueden considerarse clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.

Clase de conjugación y representaciones irreducibles en grupo finito.

En cualquier grupo finito , el número de representaciones irreducibles no isomorfas sobre los números complejos es precisamente el número de clases de conjugación.

Ver también

• Conjugación topológica
• Grupo FC  – Grupo en matemáticas de teoría de grupos
• Subgrupo cerrado de conjugación

Notas

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Saltador . ISBN 0-387-95385-X.
3. Parrilla (2007), pág. 56
4. Parrilla (2007), pág. 57

Referencias

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Álgebra abstracta . Textos de posgrado en matemáticas. vol. 242 (2 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-71567-4.

enlaces externos

• "Elementos conjugados", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]