Ecuación de Bateman

Modelo matemático en física nuclear

En física nuclear , la ecuación de Bateman es un modelo matemático que describe las abundancias y actividades en una cadena de desintegración en función del tiempo, basándose en las tasas de desintegración y las abundancias iniciales. El modelo fue formulado por Ernest Rutherford en 1905 ^[1] y la solución analítica fue proporcionada por Harry Bateman en 1910. ^[2]

Si, en el tiempo t , hay átomos de isótopo que se desintegran en isótopos a la velocidad , las cantidades de isótopos en la cadena de desintegración de k pasos evolucionan como: ${\displaystyle N_{i}(t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}}$

(esto se puede adaptar para manejar ramas de desintegración). Si bien esto se puede resolver explícitamente para i  = 2, las fórmulas rápidamente se vuelven engorrosas para cadenas más largas. ^[3] La ecuación de Bateman es una ecuación maestra clásica donde las tasas de transición solo se permiten de una especie (i) a la siguiente (i+1) pero nunca en sentido inverso (i+1 a i está prohibido).

Bateman encontró una fórmula general explícita para las cantidades tomando la transformada de Laplace de las variables.

${\displaystyle N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}}$

(También se puede ampliar con términos fuente, si se proporcionan más átomos del isótopo i externamente a una tasa constante). ^[4]

Cálculo de la cantidad de plutonio-241 con la función de Bateman

Si bien la fórmula de Bateman se puede implementar en un código informático, en el caso de un par de isótopos, una cancelación catastrófica puede dar lugar a errores de cálculo. Por lo tanto, también se utilizan otros métodos, como la integración numérica o el método exponencial matricial . ^[5] ${\displaystyle \lambda _{j}\approx \lambda _{i}}$

Por ejemplo, para el caso simple de una cadena de tres isótopos, la ecuación de Bateman correspondiente se reduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\,{\xrightarrow {\lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

Lo que da la siguiente fórmula para la actividad del isótopo (sustituyendo ) ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=\lambda N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

Véase también

• Harry Bateman
• Lista de ecuaciones en física nuclear y de partículas
• Equilibrio transitorio
• Equilibrio secular
• Farmacocinética , aplicabilidad laxa

Referencias

1. Rutherford, E. (1905). Radioactividad. University Press. pág. 331.
2. Bateman, H. (1910, junio). La solución de un sistema de ecuaciones diferenciales que se da en la teoría de las transformaciones radiactivas. En Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, No. pt V, pp. 423–427) https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843
3. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 27 de septiembre de 2013. Consultado el 22 de septiembre de 2013 .{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
4. "Nucleonica".
5. Harr, Logan (15 de marzo de 2007). "Cálculo preciso de cadenas de desintegración radiactiva complejas" (PDF) . Tesis y disertaciones (publicadas en 2007).