Formulación de Udwadia-Kalaba

En mecánica clásica , la formulación de Udwadia-Kalaba es un método para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico restringido . ^{[1] [2]} El método fue descrito por primera vez por Anatolii Fedorovich Vereshchagin ^{[3] [4]} para el caso particular de los brazos robóticos , y luego generalizado a todos los sistemas mecánicos por Firdaus E. Udwadia y Robert E. Kalaba en 1992. ^{[ 5]} El enfoque se basa en el principio de mínima restricción de Gauss . El método Udwadia-Kalaba se aplica tanto a restricciones holonómicas como a restricciones no holonómicas , siempre que sean lineales con respecto a las aceleraciones. El método se generaliza a fuerzas restrictivas que no obedecen al principio de D'Alembert . ^{[6] [7] [8]}

Fondo

La ecuación de Udwadia-Kalaba se desarrolló en 1992 y describe el movimiento de un sistema mecánico restringido que está sujeto a restricciones de igualdad. ^[5]

Esto difiere del formalismo lagrangiano, que utiliza los multiplicadores de Lagrange para describir el movimiento de sistemas mecánicos restringidos, y otros enfoques similares como el enfoque de Gibbs-Appell . La interpretación física de la ecuación tiene aplicaciones en áreas más allá de la física teórica, como el control de sistemas dinámicos generales altamente no lineales. ^[9]

El problema central del movimiento restringido.

En el estudio de la dinámica de sistemas mecánicos, la configuración de un sistema dado S está, en general, completamente descrita por n coordenadas generalizadas, de modo que su coordenada generalizada n -vector está dada por

${\displaystyle \mathbf {q} :=[q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}]^{\mathrm {T} }.}$

donde T denota transposición de matriz . Utilizando la dinámica newtoniana o lagrangiana , las ecuaciones de movimiento sin restricciones del sistema S en estudio se pueden derivar como una ecuación matricial (ver multiplicación de matrices ):

Ecuaciones de movimiento de Udwadia-Kalaba ( sin restricciones )

${\displaystyle \mathbf {M} (q,t){\ddot {\mathbf {q} }}(t)=\mathbf {Q} (q,{\dot {q}},t)\,,}$

donde los puntos representan derivadas con respecto al tiempo :

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$

Se supone que las condiciones iniciales q (0) y son conocidas. Llamamos al sistema S no restringido porque puede asignarse arbitrariamente. ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}(0)}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}(0)}$

El n -vector Q denota la fuerza generalizada total que actúa sobre el sistema por alguna influencia externa; se puede expresar como la suma de todas las fuerzas conservadoras y no conservadoras.

La matriz M de n por n es simétrica y puede ser definida positiva o definida semipositiva . Normalmente, se supone que M es definida positiva; sin embargo, no es raro derivar las ecuaciones de movimiento no restringidas del sistema S de modo que M sea sólo definido semipositivo; es decir, la matriz de masa puede ser singular (no tiene matriz inversa ). ^{[10] [11]} ${\displaystyle (\mathbf {M} >0)}$ ${\displaystyle (\mathbf {M} \geq 0)}$

Restricciones

Ahora suponemos que el sistema no restringido S está sujeto a un conjunto de m restricciones de igualdad consistentes dadas por

${\displaystyle \mathbf {A} (q,{\dot {q}},t){\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {b} (q,{\dot {q}},t),}$

donde A es una matriz conocida de m por n de rango r y b es un vector m conocido . Observamos que este conjunto de ecuaciones de restricciones abarca una variedad muy general de restricciones de igualdad holonómicas y no holonómicas . Por ejemplo, restricciones holonómicas de la forma

${\displaystyle \varphi (q,t)=0}$

se puede diferenciar dos veces con respecto al tiempo, mientras que las restricciones no holonómicas de la forma

${\displaystyle \psi (q,{\dot {q}},t)=0}$

se puede diferenciar una vez con respecto al tiempo para obtener la matriz A de m por n y el vector b de m . En resumen, se pueden especificar restricciones que son

1. funciones no lineales de desplazamiento y velocidad,
2. explícitamente dependiente del tiempo, y
3. funcionalmente dependiente.

Como consecuencia de someter estas restricciones al sistema no restringido S , se conceptualiza que surge una fuerza adicional, a saber, la fuerza de restricción. Por lo tanto, el sistema restringido S _c se convierte en

Ecuaciones de movimiento de Udwadia-Kalaba ( restringidas )

${\displaystyle \mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {Q} _{c}(q,{\dot {q}},t),}$

donde Q _c —la fuerza restrictiva— es la fuerza adicional necesaria para satisfacer las restricciones impuestas. El problema central del movimiento restringido se plantea ahora de la siguiente manera:

1. dadas las ecuaciones de movimiento ilimitadas del sistema S ,
2. dado el desplazamiento generalizado q ( t ) y la velocidad generalizada del sistema restringido S _c en el tiempo t , y ${\displaystyle {\dot {q}}(t)}$
3. dadas las restricciones en la forma indicada anteriormente, ${\displaystyle \mathbf {A} {\ddot {q}}=\mathbf {b} }$

Encuentre las ecuaciones de movimiento para el sistema restringido (la aceleración) en el tiempo t , que está de acuerdo con los principios acordados de dinámica analítica.

Notación

A continuación, para definida positiva , denota la inversa de su raíz cuadrada , definida como ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1/2}}$

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1/2}=\mathbf {W} \mathbf {\Lambda } ^{-1/2}\mathbf {W} ^{T}}$,

donde es la matriz ortogonal que surge de la descomposición propia (cuyas filas constan de vectores propios de ), y es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son las raíces cuadradas inversas de los valores propios correspondientes a los vectores propios en . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{-1/2}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

Ecuación de movimiento

La solución a este problema central viene dada por la ecuación de Udwadia-Kalaba. Cuando la matriz M es definida positiva, la ecuación de movimiento del sistema restringido S _c , en cada instante de tiempo, es ^{[5] [12]}

${\displaystyle \mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ),}$

donde el símbolo '+' denota la pseudoinversa de la matriz . Por lo tanto, la fuerza de restricción está dada explícitamente como ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}}$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ),}$

y dado que la matriz M es positiva definida, la aceleración generalizada del sistema restringido S _c está determinada explícitamente por

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{-1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ).}$

En el caso de que la matriz M sea definida semipositiva , la ecuación anterior no se puede utilizar directamente porque M puede ser singular. Además, las aceleraciones generalizadas pueden no ser únicas a menos que la matriz ( n + m )-por- n ${\displaystyle (\mathbf {M} \geq 0)}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}=\left[{\begin{array}{c}\mathbf {M} \\\mathbf {A} \end{array}}\right]}$

tiene rango completo (rango = n ). ^{[10] [11]} Pero dado que las aceleraciones observadas de los sistemas mecánicos en la naturaleza son siempre únicas, esta condición de rango es una condición necesaria y suficiente para obtener las aceleraciones generalizadas definidas de forma única del sistema restringido S _c en cada instante de tiempo. Por lo tanto, cuando tiene rango completo, las ecuaciones de movimiento del sistema restringido S _c en cada instante de tiempo están determinadas únicamente por (1) la creación del sistema auxiliar no restringido ^[11] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}:=(\mathbf {M} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} ){\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {b} :=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} },}$

y (2) aplicando la ecuación fundamental de movimiento restringido a este sistema auxiliar no restringido de modo que las ecuaciones auxiliares de movimiento restringido estén dadas explícitamente por ^[11]

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).}$

Además, cuando la matriz tiene rango completo, la matriz siempre es definida positiva. Esto produce, explícitamente, las aceleraciones generalizadas del sistema restringido S _c como ${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {A} }}$

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).}$

Esta ecuación es válida cuando la matriz M es definida positiva o semidefinida positiva. Además, la fuerza de restricción que hace que el sistema restringido S _c (un sistema que puede tener una matriz de masa singular M) satisfaga las restricciones impuestas está explícitamente dada por

${\displaystyle \mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).}$

Restricciones no ideales

En cualquier momento durante el movimiento podemos considerar perturbar el sistema mediante un desplazamiento virtual δ r consistente con las restricciones del sistema. Se permite que el desplazamiento sea reversible o irreversible. Si el desplazamiento es irreversible, entonces realiza trabajo virtual . Podemos escribir el trabajo virtual del desplazamiento como

${\displaystyle W_{c}(t)=\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }(q,{\dot {q}},t)\delta \mathbf {r} (t)}$

El vector describe la no idealidad del trabajo virtual y puede estar relacionado, por ejemplo, con fuerzas de fricción o de arrastre (dichas fuerzas dependen de la velocidad). Este es un principio de D'Alembert generalizado , donde la forma habitual del principio tiene un trabajo virtual que desaparece . ${\displaystyle \mathbf {C} (q,{\dot {q}},t)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (q,{\dot {q}},t)=0}$

La ecuación de Udwadia-Kalaba se modifica mediante un término de restricción adicional no ideal para

${\displaystyle \mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} )+\mathbf {M} ^{1/2}\left[\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right]\mathbf {M} ^{-1/2}\mathbf {C} }$

Ejemplos

Problema de Kepler inverso

El método puede resolver el problema inverso de Kepler de determinar la ley de fuerza que corresponde a las órbitas que son secciones cónicas . ^[13] Consideramos que no hay fuerzas externas (ni siquiera la gravedad) y en su lugar restringimos el movimiento de las partículas para que siga órbitas de la forma

${\displaystyle r=\varepsilon x+\ell }$

donde , es la excentricidad y es el recto semilato. Diferenciar dos veces con respecto al tiempo y reordenar ligeramente da una restricción ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle \ell }$

${\displaystyle (x-r\varepsilon ){\ddot {x}}+y{\ddot {y}}=-{\frac {(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})^{2}}{r^{2}}}}$

Suponemos que el cuerpo tiene una masa simple y constante. También suponemos que el momento angular alrededor del foco se conserva como

${\displaystyle m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})=L}$

con derivada del tiempo

${\displaystyle x{\ddot {y}}-y{\ddot {x}}=0}$

Podemos combinar estas dos restricciones en la ecuación matricial.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x-r\varepsilon &y\\y&-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\\0\end{pmatrix}}}$

La matriz de restricciones tiene inversa

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x-r\varepsilon &y\\y&-x\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\ell r}}{\begin{pmatrix}x&y\\y&-(x-r\varepsilon )\end{pmatrix}}}$

La fuerza de restricción es, por lo tanto, la ley del cuadrado inverso central esperada.

${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=m\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ={\frac {m}{\ell r}}{\begin{pmatrix}x&y\\y&-(x-r\varepsilon )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\\0\end{pmatrix}}=-{\frac {L^{2}}{m\ell r^{2}}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$

Plano inclinado con fricción.

Considere un pequeño bloque de masa constante sobre un plano inclinado formando un ángulo sobre la horizontal. La restricción de que el bloque se encuentre en el plano se puede escribir como ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle y=x\tan \alpha }$

Después de tomar dos derivadas en el tiempo, podemos expresar esto en una forma de ecuación matricial de restricción estándar

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=0}$

La matriz de restricciones tiene pseudoinversa.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}^{+}=\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}}$

Permitimos que haya fricción por deslizamiento entre el bloque y el plano inclinado. Parametrizamos esta fuerza mediante un coeficiente de fricción estándar multiplicado por la fuerza normal.

${\displaystyle \mathbf {C} =-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}}$

Mientras que la fuerza de gravedad es reversible, la fuerza de fricción no lo es. Por tanto, el trabajo virtual asociado a un desplazamiento virtual dependerá de C. Podemos resumir las tres fuerzas (externa, restricción ideal y restricción no ideal) de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{ext}}=\mathbf {Q} =-mg{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{c,i}=-\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} \mathbf {Q} =mg\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}=mg{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \cos \alpha \\\cos ^{2}\alpha \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{c,ni}=(\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} )\mathbf {C} =-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}\right]=-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\alpha \\\sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}}}$

Combinando lo anterior, encontramos que las ecuaciones de movimiento son

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {F} _{\text{ext}}+\mathbf {F} _{c,i}+\mathbf {F} _{c,ni}\right)=-g\left(\sin \alpha +\mu \cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}\right){\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}}$

Esto es como una aceleración constante hacia abajo debido a la gravedad con una ligera modificación. Si el bloque se mueve hacia arriba en el plano inclinado, entonces la fricción aumenta la aceleración hacia abajo. Si el bloque se mueve hacia abajo en el plano inclinado, entonces la fricción reduce la aceleración hacia abajo.

Referencias

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