Ecuación de Reynolds

Ecuación diferencial que describe la distribución de presión de fluidos delgados y viscosos

En mecánica de fluidos (específicamente, teoría de lubricación ), la ecuación de Reynolds es una ecuación diferencial parcial que rige la distribución de presión de películas delgadas de fluido viscoso . Fue derivada por primera vez por Osborne Reynolds en 1886. ^[1] La ecuación clásica de Reynolds se puede utilizar para describir la distribución de presión en casi cualquier tipo de cojinete de película de fluido ; un tipo de cojinete en el que los cuerpos limítrofes están completamente separados por una capa delgada de líquido o gas.

Uso general

La ecuación general de Reynolds es: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(u_{a}+u_{b}\right)}{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h\left(v_{a}+v_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho u_{a}{\frac {\partial h}{\partial x}}-\rho v_{a}{\frac {\partial h}{\partial y}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

Dónde:

• ${\displaystyle p}$Es la presión de la película del fluido.
• ${\displaystyle x}$y son las coordenadas de ancho y largo del rodamiento. ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle z}$es la coordenada del espesor de la película del fluido.
• ${\displaystyle h}$es el espesor de la película del fluido.
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad del fluido.
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido.
• ${\displaystyle u,v,w}$son las velocidades del cuerpo limitante en respectivamente. ${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle a,b}$son subíndices que denotan los cuerpos delimitadores superior e inferior respectivamente.

La ecuación puede utilizarse con unidades consistentes o no dimensionalizadas .

La ecuación de Reynolds supone:

• El fluido es newtoniano .
• Las fuerzas viscosas del fluido predominan sobre las fuerzas de inercia del fluido. Este es el principio del número de Reynolds .
• Las fuerzas del cuerpo fluido son despreciables.
• La variación de presión a través de la película de fluido es despreciablemente pequeña (es decir ) ${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}=0}$
• El espesor de la película de fluido es mucho menor que el ancho y la longitud y, por lo tanto, los efectos de curvatura son insignificantes. (es decir, y ). ${\displaystyle h\ll l}$ ${\displaystyle h\ll w}$

Para algunas geometrías de cojinetes y condiciones de contorno simples, la ecuación de Reynolds se puede resolver analíticamente. Sin embargo, a menudo la ecuación debe resolverse numéricamente. Con frecuencia, esto implica discretizar el dominio geométrico y luego aplicar una técnica finita, a menudo FDM , FVM o FEM .

Derivación de Navier-Stokes

Se puede encontrar una derivación completa de la ecuación de Reynolds a partir de la ecuación de Navier-Stokes en numerosos libros de texto sobre lubricación. ^{[2] [3]}

Solución de la ecuación de Reynolds

En general, la ecuación de Reynolds debe resolverse mediante métodos numéricos como el de diferencias finitas o el de elementos finitos. Sin embargo, en ciertos casos simplificados se pueden obtener soluciones analíticas o aproximadas. ^[4]

Para el caso de una esfera rígida en geometría plana, un caso de estado estable y una condición de contorno de cavitación de medio Sommerfeld, la ecuación de Reynolds 2-D se puede resolver analíticamente. Esta solución fue propuesta por el ganador del Premio Nobel Pyotr Kapitsa . Se demostró que la condición de contorno de medio Sommerfeld es inexacta y esta solución debe usarse con cuidado.

En el caso de la ecuación de Reynolds 1-D, existen varias soluciones analíticas o semianalíticas. En 1916, Martin obtuvo una solución de forma cerrada ^[5] para un espesor de película y una presión mínimos para un cilindro rígido y una geometría plana. Esta solución no es precisa para los casos en los que la deformación elástica de las superficies contribuye considerablemente al espesor de la película. En 1949, Grubin obtuvo una solución aproximada ^[6] para el llamado problema de contacto de línea de lubricación elastohidrodinámica (EHL), donde combinó tanto la deformación elástica como el flujo hidrodinámico del lubricante. En esta solución se asumió que el perfil de presión sigue la solución de Hertz . Por lo tanto, el modelo es preciso con cargas elevadas, cuando la presión hidrodinámica tiende a estar cerca de la presión de contacto de Hertz. ^[7]

Aplicaciones

La ecuación de Reynolds se utiliza para modelar la presión en muchas aplicaciones. Por ejemplo:

• Rodamientos de bolas
• Cojinetes de aire
• Cojinetes de deslizamiento
• Amortiguadores de película de compresión en turbinas de gas de aeronaves
• Articulaciones de cadera y rodilla humanas
• Contactos de engranajes lubricados

Adaptaciones de la ecuación de Reynolds: modelo de caudal promedio

En 1978, Patir y Cheng introdujeron un modelo de flujo promedio ^{[8] [9]} que modifica la ecuación de Reynolds para considerar los efectos de la rugosidad de la superficie en los contactos lubricados. El modelo de flujo promedio abarca los regímenes de lubricación en los que las superficies están muy juntas y/o en contacto. El modelo de flujo promedio aplicó "factores de flujo" para ajustar la facilidad con la que el lubricante fluye en la dirección de deslizamiento o perpendicular a ella. También presentaron términos para ajustar el cálculo del esfuerzo cortante de contacto. En estos regímenes, la topografía de la superficie actúa para dirigir el flujo de lubricante, lo que se ha demostrado que afecta la presión del lubricante y, por lo tanto, la separación de la superficie y la fricción de contacto. ^[10]

Se han realizado varios intentos notables para tener en cuenta detalles adicionales del contacto en la simulación de películas de fluidos en contactos. Leighton et al. ^[10] presentó un método para determinar los factores de flujo necesarios para el modelo de flujo promedio a partir de cualquier superficie medida. Harp y Salent ^[11] ampliaron el modelo de flujo promedio considerando la cavitación entre asperezas. Chengwei y Linqing ^[12] utilizaron un análisis de la distribución de probabilidad de la altura de la superficie para eliminar uno de los términos más complejos de la ecuación de Reynolds promedio y reemplazarlo con un factor de flujo denominado factor de flujo de contacto, . Knoll et al. calcularon los factores de flujo, teniendo en cuenta la deformación elástica de las superficies. Meng et al. ^[13] también consideraron la deformación elástica de las superficies de contacto. ${\displaystyle d{\bar {h_{T}}}/dh}$ ${\displaystyle \phi _{h}}$

El trabajo de Patir y Cheng fue precursor de las investigaciones sobre la texturización de superficies en contactos lubricados, demostrando cómo las características de superficie a gran escala generaban una elevación microhidrodinámica para separar las películas y reducir la fricción, pero solo cuando las condiciones de contacto lo permitían. ^[14]

El modelo de flujo promedio de Patir y Cheng, ^{[8] [9]} a menudo se combina con el modelo de interacción de superficies rugosas de Greenwood y Tripp ^[15] para modelar la interacción de superficies rugosas en contactos cargados. ^{[10] [16]}

Referencias

1. Reynolds, O. (1886). "Sobre la teoría de la lubricación y su aplicación a los experimentos del señor Beauchamp Tower, incluida una determinación experimental de la viscosidad del aceite de oliva". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 177 . Royal Society: 157–234. doi :10.1098/rstl.1886.0005. JSTOR  109480. S2CID  110829869.
2. Hamrock, Bernard J.; Schmid, Steven R.; Jacobson, Bo O. (2004). Fundamentos de la lubricación por película de fluido. Taylor & Francis. ISBN 978-0-8247-5371-9.
3. Szeri, Andras Z. (2010). Lubricación por película fluida. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89823-2.
4. "Ecuación de Reynolds: Derivación y solución". tribonet.org . 12 de noviembre de 2016 . Consultado el 10 de septiembre de 2019 .
5. Akchurin, Aydar (18 de febrero de 2016). «Solución analítica de la ecuación de Reynolds unidimensional». tribonet.org . Consultado el 10 de septiembre de 2019 .
6. Akchurin, Aydar (22 de febrero de 2016). "Solución semianalítica de la ecuación de Reynolds transitoria unidimensional (aproximación de Grubin)". tribonet.org . Consultado el 10 de septiembre de 2019 .
7. Akchurin, Aydar (4 de enero de 2017). «Calculadora de contactos de Hertz». tribonet.org . Consultado el 10 de septiembre de 2019 .
8. Patir, Nadir; Cheng, HS (1978). "Un modelo de flujo promedio para determinar los efectos de la rugosidad tridimensional en la lubricación hidrodinámica parcial". Revista de tecnología de lubricación . 100 (1): 12. doi :10.1115/1.3453103. ISSN  0022-2305.
9. Patir, Nadir; Cheng, HS (1979-04-01). "Aplicación del modelo de flujo promedio a la lubricación entre superficies deslizantes rugosas". Revista de tecnología de lubricación . 101 (2): 220–229. doi :10.1115/1.3453329. ISSN  0022-2305.
10. Leighton; et al. (2016). "Factores de flujo específicos de la superficie para la predicción de la fricción de superficies rayadas". Topografía de superficies: metrología y propiedades . 4 (2): 025002. doi : 10.1088/2051-672x/4/2/025002 . S2CID  111631084.
11. Harp, Susan R.; Salant, Richard F. (17 de octubre de 2000). "Un modelo de flujo promedio de lubricación de superficies rugosas con cavitación entre asperezas". Revista de tribología . 123 (1): 134–143. doi :10.1115/1.1332397. ISSN  0742-4787.
12. Wu, Chengwei; Zheng, Linqing (1 de enero de 1989). "Una ecuación de Reynolds promedio para lubricación de película parcial con un factor de contacto". Revista de tribología . 111 (1): 188–191. doi :10.1115/1.3261872. ISSN  0742-4787.
13. Meng, FM; Wang, WZ; Hu, YZ; Wang, H (1 de julio de 2007). "Análisis numérico de las influencias combinadas de la cavitación entre asperezas y la deformación elástica en los factores de flujo". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos, Parte C: Revista de Ciencias de la Ingeniería Mecánica . 221 (7): 815–827. doi :10.1243/0954406jmes525. ISSN  0954-4062. S2CID  137022386.
14. Morris, N; Leighton, M; De la Cruz, M; Rahmani, R; Rahnejat, H; Howell-Smith, S (17 de noviembre de 2014). "Investigación numérica y experimental combinada de la microhidrodinámica de patrones texturizados basados ​​en chevrones que influyen en la fricción conjuntiva de contactos deslizantes". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos, Parte J: Revista de Tribología de Ingeniería . 229 (4): 316–335. doi : 10.1177/1350650114559996 . ISSN  1350-6501. S2CID  53586245.
15. Greenwood, JA; Tripp, JH (junio de 1970). "El contacto de dos superficies rugosas nominalmente planas". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos . 185 (1): 625–633. doi :10.1243/pime_proc_1970_185_069_02. ISSN  0020-3483.
16. Leighton, M; Nicholls, T; De la Cruz, M; Rahmani, R; Rahnejat, H (12 de diciembre de 2016). "Perspectiva del sistema combinado lubricante-superficie: investigación numérica-experimental multiescala". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos, Parte J: Revista de Tribología de Ingeniería . 231 (7): 910–924. doi : 10.1177/1350650116683784 . ISSN  1350-6501. S2CID  55438508.