Ecuación de Ramanujan-Nagell

Tipo de ecuación diofántica en la teoría de números

En matemáticas , en el campo de la teoría de números , la ecuación de Ramanujan-Nagell es una ecuación entre un número cuadrado y un número que es siete menos una potencia de dos . Es un ejemplo de ecuación diofántica exponencial , una ecuación a resolver en números enteros donde una de las variables aparece como exponente .

La ecuación recibe su nombre de Srinivasa Ramanujan , quien conjeturó que solo tiene cinco soluciones enteras, y de Trygve Nagell , quien demostró la conjetura. Implica la inexistencia de códigos binarios perfectos con una distancia de Hamming mínima de 5 o 6.

Ecuación y solución

La ecuación es

${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}\,}$

y las soluciones en los números naturales n y x existen sólo cuando n = 3, 4, 5, 7 y 15 (secuencia A060728 en la OEIS ).

Esta hipótesis fue conjeturada en 1913 por el matemático indio Srinivasa Ramanujan , propuesta de forma independiente en 1943 por el matemático noruego Wilhelm Ljunggren y demostrada en 1948 por el matemático noruego Trygve Nagell . Los valores de n corresponden a los valores de x como:

x = 1, 3, 5, 11 y 181 (secuencia A038198 en la OEIS ). ^[1]

Números triangulares de Mersenne

El problema de encontrar todos los números de la forma 2 ^b  − 1 ( números de Mersenne ) que son triangulares es equivalente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\\[2pt]\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b}-1)=4y(y+1)\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=4y^{2}+4y+1\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}\end{aligned}}}$

Los valores de b son simplemente los de n  − 3, y los números triangulares de Mersenne correspondientes (también conocidos como números de Ramanujan-Nagell ) son:

${\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}}$

para x = 1, 3, 5, 11 y 181, dando 0, 1, 3, 15, 4095 y no más (secuencia A076046 en la OEIS ).

Ecuaciones del tipo Ramanujan-Nagell

Una ecuación de la forma

${\displaystyle x^{2}+D=AB^{n}}$

para D , A , B fijos y x variable , se dice que n es de tipo Ramanujan–Nagell . El resultado de Siegel ^[2] implica que el número de soluciones en cada caso es finito. ^[3] Al representar con y con , la ecuación de tipo Ramanujan–Nagell se reduce a tres curvas de Mordell (indexadas por ), cada una de las cuales tiene un número finito de soluciones enteras: ${\displaystyle n=3m+r}$ ${\displaystyle r\in \{0,1,2\}}$ ${\displaystyle B^{n}=B^{r}y^{3}}$ ${\displaystyle y=B^{m}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=0:\qquad (Ax)^{2}=(Ay)^{3}-A^{2}D}$,

${\displaystyle r=1:\qquad (ABx)^{2}=(ABy)^{3}-A^{2}B^{2}D}$,

${\displaystyle r=2:\qquad (AB^{2}x)^{2}=(AB^{2}y)^{3}-A^{2}B^{4}D}$.

La ecuación con tiene como máximo dos soluciones, excepto en el caso correspondiente a la ecuación de Ramanujan-Nagell. Esto no se cumple para , como por ejemplo , donde tiene las cuatro soluciones . En general, si para un entero existen al menos las cuatro soluciones ${\displaystyle A=1,\ B=2,\ D>0}$ ${\displaystyle D=7}$ ${\displaystyle D<0}$ ${\displaystyle D=-17}$ ${\displaystyle x^{2}-17=2^{n}}$ ${\displaystyle (x,n)=(5,3),(7,5),(9,6),(23,9)}$ ${\displaystyle D=-(4^{k}-3\cdot 2^{k+1}+1)}$ ${\displaystyle k\geqslant 3}$

${\displaystyle (x,n)={\begin{cases}(2^{k}-3,3)\\(2^{k}-1,k+2)\\(2^{k}+1,k+3)\\(3\cdot 2^{k}-1,2k+3)\end{cases}}}$

y estos son los únicos cuatro si . ^[4] Hay infinitos valores de D para los cuales hay exactamente dos soluciones, incluyendo . ^[1] ${\displaystyle D>-10^{12}}$ ${\displaystyle D=2^{m}-1}$

Ecuaciones del tipo Lebesgue-Nagell

Una ecuación de la forma

${\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}$

para D , A fijos y x , y , n variables se dice que es de tipo Lebesgue–Nagell . Esto recibe su nombre de Victor-Amédée Lebesgue , quien demostró que la ecuación

${\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}$

no tiene soluciones no triviales. ^[5]

Los resultados de Shorey y Tijdeman ^[6] implican que el número de soluciones en cada caso es finito. ^[7] Bugeaud, Mignotte y Siksek ^[8] resolvieron ecuaciones de este tipo con A = 1 y 1 ≤ D ≤ 100. En particular, la siguiente generalización de la ecuación de Ramanujan-Nagell:

${\displaystyle y^{n}-7=x^{2}\,}$

tiene soluciones enteras positivas sólo cuando x = 1, 3, 5, 11 o 181.

Véase también

• La conjetura de Pillai
• Ecuaciones científicas que llevan nombres de personas

Notas

1. Saradha y Srinivasan 2008, pág. 208.
2. Siegel 1929.
3. Saradha y Srinivasan 2008, pág. 207.
4. Beukers 1981, págs. 401-403.
5. Lebesgue 1850.
6. Shorey y Tijdeman 1986.
7. Saradha y Srinivasan 2008, pág. 211.
8. Bugeaud, Mignotte y Siksek 2006.

Referencias

• Beukers, F. (1981). "Sobre la ecuación I generalizada de Ramanujan-Nagell" (PDF) . Acta Aritmética . 38 (4): 401–403. doi :10.4064/aa-38-4-389-410.
• Bugeaud, Y.; Mignotte, M.; Siksek, S. (2006). "Enfoques clásicos y modulares de las ecuaciones diofánticas exponenciales II. La ecuación de Lebesgue-Nagell". Composición Matemática . 142 : 31–62. arXiv : matemáticas/0405220 . doi :10.1112/S0010437X05001739. S2CID  18534268.
• Lebesgue (1850). "Sobre la imposibilidad, en nombres enteros, de la ecuación xm = y2 + 1". Nuevo. Ana. Matemáticas . Serie 1. 9 : 178–181.
• Ljunggren, W. (1943). "Opp dio el número 2". Estera norsk. Tidsskr . 25 : 29.
• Nagell, T. (1948). "Løsning hasta la opción número 2". Estera norsk. Tidsskr . 30 : 62–64.
• Nagell, T. (1961). "La ecuación diofántica x2 + 7 = 2n". Ark. Mat . 30 (2–3): 185–187. Bibcode :1961ArM.....4..185N. doi : 10.1007/BF02592006 .
• Ramanujan, S. (1913). "Pregunta 464". J. Indian Math. Soc . 5 : 130.
• Saradha, N.; Srinivasan, Anitha (2008). "Ecuaciones generalizadas de Lebesgue-Ramanujan-Nagell". En Saradha, N. (ed.). Ecuaciones diofánticas . Narosa. págs. 207–223. ISBN 978-81-7319-898-4.
• Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986). Ecuaciones diofánticas exponenciales . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87. Cambridge University Press . Págs. 137-138. ISBN. 0-521-26826-5.Zbl 0606.10011  .
• Siegel, CL (1929). "Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen". Abh. Preuss. Akád. Wiss. Física. Matemáticas. Kl . 1 : 41–69.

Enlaces externos

• "Valores de X correspondientes a N en la ecuación de Ramanujan-Nagell". Wolfram MathWorld . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
• ¿Puede N2 + N + 2 ser una potencia de 2?, discusión en foro de matemáticas