Curva de Mordell

Curva elíptica

y ² = x ³ + 1, con soluciones en (-1, 0), (0, 1) y (0, -1)

En álgebra , una curva de Mordell es una curva elíptica de la forma y ² = x ³ + n , donde n es un entero fijo distinto de cero . ^[1]

Estas curvas fueron estudiadas de cerca por Louis Mordell ^[2] , desde el punto de vista de la determinación de sus puntos enteros. Demostró que cada curva de Mordell contiene sólo un número finito de puntos enteros ( x , y ). En otras palabras, las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos tienden al infinito. La cuestión de la velocidad se resolvió en principio mediante el método de Baker . Hipotéticamente, esta cuestión se resuelve mediante la conjetura de Marshall Hall .

Propiedades

• Si ( x , y ) es un punto entero en una curva de Mordell, entonces también lo es ( x , − y ).
• Si ( x , y ) es un punto racional en una curva de Mordell con y ≠ 0, entonces también lo es ( ⁠x ⁴ − 8 nx/4 y ²⁠ , ⁠− x ⁶ − 20 n x ³ + 8 n ²/8 y ³⁠ ) ​​. Además, si xy ≠ 0 y n no es 1 o −432, se puede generar de esta manera un número infinito de soluciones racionales. Esta fórmula se conoce como fórmula de duplicación de Bachet . ^[3]
• Cuando n ≠ 0, la curva de Mordell sólo tiene un número finito de soluciones enteras (véase el teorema de Siegel sobre puntos integrales ).
• Hay ciertos valores de n para los cuales la curva de Mordell correspondiente no tiene soluciones enteras; ^[1] estos valores son:

6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... (secuencia A054504 en la OEIS ).

−3, −5, −6, −9, −10, −12, −14, −16, −17, −21, −22, ... (secuencia A081121 en la OEIS ).

• El caso específico donde n = −2 también se conoce como Teorema del Sándwich de Fermat . ^[4]

Lista de soluciones

La siguiente es una lista de soluciones para la curva de Mordell y ² = x ³ + n para | n | ≤ 25. Solo se muestran las soluciones con y ≥ 0.

En 1998, J. Gebel, A. Pethö, HG Zimmer encontraron todos los puntos enteros para 0 < | n | ≤ 10 ⁴ . ^{[5] [6]}

En 2015, MA Bennett y A. Ghadermarzi calcularon puntos enteros para 0 < | n | ≤ 10 ⁷ . ^[7]

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Curva de Mordell". MundoMatemático .
2. Louis Mordell (1969). Ecuaciones diofánticas .
3. Silverman, Joseph ; Tate, John (1992). "Introducción". Puntos racionales en curvas elípticas (2.ª ed.). págs. xvi.
4. Weisstein, Eric W. "Teorema del sándwich de Fermat". MathWorld . Consultado el 24 de marzo de 2022 .
5. Gebel, J.; Pethö, A.; Zimmer, HG (1998). "Sobre la ecuación de Mordell". Composición Matemática . 110 (3): 335–367. doi : 10.1023/A:1000281602647 .
6. Secuencias OEIS : A081119 y OEIS : A081120 .
7. MA Bennett, A. Ghadermarzi (2015). "Ecuación de Mordell: un enfoque clásico" (PDF) . LMS Journal of Computation and Mathematics . 18 : 633–646. arXiv : 1311.7077 . doi :10.1112/S1461157015000182.

Enlaces externos

• J. Gebel, Datos sobre las curvas de Mordell para –10000 ≤ n ≤ 10000
• M. Bennett, Datos sobre curvas de Mordell para –107 ≤ n ≤ 107