Fórmulas del factor de fricción de Darcy

Ecuaciones para el cálculo del factor de fricción de Darcy

En dinámica de fluidos , las fórmulas del factor de fricción de Darcy son ecuaciones que permiten el cálculo del factor de fricción de Darcy , una cantidad adimensional utilizada en la ecuación de Darcy-Weisbach , para la descripción de las pérdidas por fricción en el flujo en tuberías así como en el flujo en canal abierto .

El factor de fricción de Darcy también se conoce como factor de fricción de Darcy-Weisbach , coeficiente de resistencia o simplemente factor de fricción ; por definición, es cuatro veces mayor que el factor de fricción de Fanning . ^[1]

Notación

En este artículo se entenderán las siguientes convenciones y definiciones:

• El número de Reynolds Re se toma como Re = V D / ν, donde V es la velocidad media del flujo del fluido, D es el diámetro de la tubería y donde ν es la viscosidad cinemática μ / ρ, con μ la viscosidad dinámica del fluido y ρ la densidad del fluido.
• La rugosidad relativa de la tubería ε / D , donde ε es la altura de rugosidad efectiva de la tubería y D el diámetro (interior) de la tubería.
• f representa el factor de fricción de Darcy . Su valor depende del número de Reynolds del flujo Re y de la rugosidad relativa de la tubería ε / D .
• Se entiende que la función logaritmo es de base 10 (como es habitual en los campos de ingeniería): si x = log( y ), entonces y = 10 ^x .
• La función ln se entiende como base e: si x = ln( y ), entonces y = e ^x .

Régimen de flujo

La fórmula del factor de fricción que se puede aplicar depende del tipo de flujo que exista:

• Flujo laminar
• Transición entre flujo laminar y turbulento
• Flujo completamente turbulento en conductos lisos
• Flujo completamente turbulento en conductos rugosos
• Flujo superficial libre.

Flujo de transición

El flujo de transición (ni totalmente laminar ni totalmente turbulento) ocurre en el rango de números de Reynolds entre 2300 y 4000. El valor del factor de fricción de Darcy está sujeto a grandes incertidumbres en este régimen de flujo.

Flujo turbulento en conductos lisos

La correlación de Blasius es la ecuación más sencilla para calcular el factor de fricción de Darcy. Debido a que la correlación de Blasius no tiene un término para la rugosidad de las tuberías, es válida únicamente para tuberías lisas. Sin embargo, la correlación de Blasius a veces se utiliza en tuberías rugosas debido a su simplicidad. La correlación de Blasius es válida hasta el número de Reynolds 100000.

Flujo turbulento en conductos rugosos

El factor de fricción de Darcy para flujo completamente turbulento (número de Reynolds mayor que 4000) en conductos rugosos se puede modelar mediante la ecuación de Colebrook-White.

Flujo de superficie libre

La última fórmula de la sección de ecuaciones de Colebrook de este artículo es para flujo de superficie libre. Las aproximaciones que aparecen en otras partes de este artículo no son aplicables a este tipo de flujo.

Elegir una fórmula

Antes de elegir una fórmula, conviene saber que en el artículo sobre el diagrama de Moody , Moody afirmó que la precisión es de aproximadamente ±5 % para tuberías lisas y ±10 % para tuberías rugosas. Si se puede aplicar más de una fórmula en el régimen de flujo en consideración, la elección de la fórmula puede verse influenciada por uno o más de los siguientes factores:

• Precisión requerida
• Velocidad de cálculo requerida
• Tecnología computacional disponible:
  • Calculadora (minimiza pulsaciones de teclas)
  • hoja de cálculo (fórmula de una sola celda)
  • lenguaje de programación/script (subrutina).

Ecuación de Colebrook-White

La ecuación fenomenológica de Colebrook-White (o ecuación de Colebrook) expresa el factor de fricción de Darcy f como una función del número de Reynolds Re y la rugosidad relativa de la tubería ε / D _h , ajustando los datos de estudios experimentales de flujo turbulento en tuberías lisas y rugosas . ^{[2] [3]} La ecuación se puede utilizar para resolver (iterativamente) el factor de fricción de Darcy-Weisbach f .

Para un conducto que fluye completamente lleno de fluido con números de Reynolds mayores a 4000, se expresa como:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{3.7D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{14.8R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

• Diámetro hidráulico , (m, ft) – Para conductos circulares llenos de fluido, = D = diámetro interior ${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$
• Radio hidráulico , (m, ft) – Para conductos circulares llenos de fluido, = D/4 = (diámetro interior)/4 ${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$

Nota: Algunas fuentes utilizan una constante de 3,71 en el denominador para el término de rugosidad en la primera ecuación anterior. ^[4]

Resolviendo

La ecuación de Colebrook suele resolverse numéricamente debido a su naturaleza implícita. Recientemente, se ha empleado la función W de Lambert para obtener una reformulación explícita de la ecuación de Colebrook. ^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt {f}}},b={\frac {\varepsilon }{14.8R_{h}}},a={\frac {2.51}{Re}}}$

${\displaystyle x=-2\log(ax+b)}$

o

${\displaystyle 10^{-{\frac {x}{2}}}=ax+b}$

${\displaystyle p=10^{-{\frac {1}{2}}}}$

obtendrá:

${\displaystyle p^{x}=ax+b}$

${\displaystyle x=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln p}{a}}\,p^{-{\frac {b}{a}}}\right)}{\ln p}}-{\frac {b}{a}}}$

entonces:

${\displaystyle f={\frac {1}{\left({\dfrac {2W\left({\frac {\ln 10}{2a}}\,10^{\frac {b}{2a}}\right)}{\ln 10}}-{\dfrac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

Formas expandidas

Otras formas matemáticamente equivalentes de la ecuación de Colebrook son:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.7384\ldots -2\log \left({\frac {2\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {18.574}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

1,7384... = 2 logaritmo (2 × 3,7) = 2 logaritmo (7,4)

18,574 = 2,51 × 3,7 × 2

y

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots +2\log \left(D_{\mathrm {h} }/\varepsilon \right)-2\log \left(1+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} (\varepsilon /D_{\mathrm {h} }){\sqrt {f}}}}\right)}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots -2\log \left({\frac {\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

1,1364... = 1,7384... − 2 logaritmo (2) = 2 logaritmo (7,4) − 2 logaritmo (2) = 2 logaritmo (3,7)

9,287 = 18,574 / 2 = 2,51 × 3,7.

Las formas equivalentes adicionales anteriores suponen que las constantes 3,7 y 2,51 de la fórmula que aparece en la parte superior de esta sección son exactas. Las constantes son probablemente valores que Colebrook redondeó durante su ajuste de curvas ; pero se las trata efectivamente como exactas cuando se comparan (con varios decimales) los resultados de fórmulas explícitas (como las que se encuentran en otras partes de este artículo) con el factor de fricción calculado a través de la ecuación implícita de Colebrook.

Se pueden encontrar ecuaciones similares a las formas adicionales anteriores (con las constantes redondeadas a menos decimales o quizás ligeramente desplazadas para minimizar los errores de redondeo generales) en varias referencias. Puede resultar útil observar que son esencialmente la misma ecuación.

Flujo de superficie libre

Existe otra forma de la ecuación de Colebrook-White para superficies libres. Esta condición puede darse en una tubería que fluye parcialmente llena de fluido. Para el flujo de superficie libre:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{12R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right).}$

La ecuación anterior es válida únicamente para flujo turbulento. Otro enfoque para estimar f en flujos de superficie libre, que es válido en todos los regímenes de flujo (laminar, de transición y turbulento), es el siguiente: ^[8]

${\displaystyle f=\left({\frac {24}{Re_{h}}}\right)\left[{\frac {0.86e^{W(1.35Re_{h})}}{Re_{h}}}\right]^{2(1-a)b}\left\{{\frac {1.34}{\left[\ln {12.21\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}\right]^{2}}}\right\}^{(1-a)(1-b)}}$

donde a es:

${\displaystyle a={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{678}}\right)^{8.4}}}}$

y b es:

${\displaystyle b={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{150\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}}\right)^{1.8}}}}$

donde Re _h es el número de Reynolds, donde h es la longitud hidráulica característica (radio hidráulico para flujos 1D o profundidad del agua para flujos 2D) y R _h es el radio hidráulico (para flujos 1D) o la profundidad del agua (para flujos 2D). La función W de Lambert se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle W(1.35Re_{h})=\ln {1.35Re_{h}}-\ln {\ln {1.35Re_{h}}}+\left({\frac {\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}{\ln {1.35Re_{h}}}}\right)+\left({\frac {\ln {[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}-2\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}}{2[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}}}\right)}$

Aproximaciones de la ecuación de Colebrook

Ecuación de Haaland

La ecuación de Haaland fue propuesta en 1983 por el profesor SE Haaland del Instituto Noruego de Tecnología . ^[9] Se utiliza para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular de flujo completo. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White, pero la discrepancia con los datos experimentales está dentro de la precisión de los datos.

La ecuación de Haaland ^[10] se expresa:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-1.8\log \left[\left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}\right)^{1.11}+{\frac {6.9}{\mathrm {Re} }}\right]}$

Ecuación de Swamee-Jain

La ecuación de Swamee-Jain se utiliza para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular de flujo completo. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. ^[11]

${\displaystyle f={\frac {0.25}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$

La solución de Serghides

La solución de Serghides se utiliza para calcular directamente el factor de fricción Darcy-Weisbach f para una tubería circular de flujo completo. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. Se obtuvo utilizando el método de Steffensen . ^[12]

La solución implica calcular tres valores intermedios y luego sustituir esos valores en una ecuación final.

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{12 \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 0,0023 % para un conjunto de prueba con una matriz de 70 puntos que constaba de diez valores de rugosidad relativa (en el rango de 0,00004 a 0,05) por siete números de Reynolds (2500 a 10 ⁸ ).

Ecuación de Goudar-Sonnad

La ecuación de Goudar es la aproximación más precisa para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular de flujo completo. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. La ecuación tiene la siguiente forma ^[13]

${\displaystyle a={2 \over \ln(10)}}$

${\displaystyle b={\frac {\varepsilon /D}{3.7}}}$

${\displaystyle d={\ln(10)\mathrm {Re} \over 5.02}}$

${\displaystyle s={bd+\ln(d)}}$

${\displaystyle q={{s}^{s/(s+1)}}}$

${\displaystyle g={bd+\ln {d \over q}}}$

${\displaystyle z={\ln {q \over g}}}$

${\displaystyle D_{LA}=z{g \over {g+1}}}$

${\displaystyle D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}={a\left[\ln \left(d/q\right)+D_{CFA}\right]}}$

Solución de Brkić

Brkić muestra una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la función W de Lambert ^[14]

${\displaystyle S=\ln {\frac {\mathrm {Re} }{\mathrm {1.816\ln {\frac {1.1\mathrm {Re} }{\ln \left(1+1.1\mathrm {Re} \right)}}} }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.71}}+{2.18S \over \mathrm {Re} }\right)}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 3,15%.

Solución Brkić-Praks

Brkić y Praks muestran una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la función de Wright, un cognado de la función W de Lambert ^[15] ${\displaystyle \omega }$

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8686\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {1.038\cdot C}{\mathrm {0.332+} \,x}}\right]\,}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0884}}}$, , , y ${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.7794}$ ${\textstyle C=}$ ${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$ ${\textstyle x=A+B}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 0,0497%.

Solución Praks-Brkić

Praks y Brkić muestran una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la función de Wright, un cognado de la función W de Lambert ^[16] ${\displaystyle \omega }$

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8685972\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {C}{x-0.5588\cdot C+1.2079}}\,\right]}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0897}}}$, , , y ${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.779626}$ ${\textstyle C=}$ ${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$ ${\textstyle x=A+B}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 0,0012%.

La solución de Niazkar

Dado que se encontró que la solución de Serghides era una de las aproximaciones más precisas de la ecuación implícita de Colebrook-White, Niazkar modificó la solución de Serghides para resolver directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular de flujo completo. ^[17]

La solución de Niazkar se muestra a continuación:

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{4.5547 \over \mathrm {Re^{0.8784}} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

Se determinó que la solución de Niazkar era la correlación más precisa según un análisis comparativo realizado en la literatura entre 42 ecuaciones explícitas diferentes para estimar el factor de fricción de Colebrook. ^[17]

Correlaciones de Blasius

Las primeras aproximaciones para tuberías lisas ^[18] realizadas por Paul Richard Heinrich Blasius en términos del factor de fricción Darcy-Weisbach se dan en un artículo de 1913: ^[19]

${\displaystyle f=0.3164\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}}$.

En 1932, Johann Nikuradse propuso que esto corresponde a una correlación de ley de potencia para el perfil de velocidad del fluido. ^[20]

En 1979, Mishra y Gupta propusieron una corrección para tubos curvados o enrollados helicoidalmente, teniendo en cuenta el radio de curvatura equivalente, R _c : ^[21]

${\displaystyle f=0.316\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}+0.0075{\sqrt {\frac {D}{2R_{c}}}}}$,

con,

${\displaystyle R_{c}=R\left[1+\left({\frac {H}{2\pi R}}\right)^{2}\right]}$

donde f es una función de:

• Diámetro de la tubería, D (m, pies)
• Radio de curva, R (m, ft)
• Paso helicoidal, H (m, ft)
• Número de Reynolds , Re (adimensional)

Válido para:

• Retr < Re < ₁₀ ⁵
• 6,7 < 2Rc _/ D < 346,0
• 0 < altura/profundidad < 25,4

Ecuación de Swamee

La ecuación de Swamee se utiliza para resolver directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach ( f ) para una tubería circular de flujo completo para todos los regímenes de flujo (laminar, transicional, turbulento). Es una solución exacta para la ecuación de Hagen-Poiseuille en el régimen de flujo laminar y una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White en el régimen turbulento con una desviación máxima de menos del 2,38 % en el rango especificado. Además, proporciona una transición suave entre los regímenes laminar y turbulento para que sea válida como una ecuación de rango completo, 0 < Re < 10 ⁸ . ^[22]

${\displaystyle f=\left\lbrace \left({\frac {64}{\mathrm {Re} }}\right)^{8}+9.5\left[\ln \left({\frac {\varepsilon }{{3.7}{D}}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)-\left({\frac {2500}{\mathrm {Re} }}\right)^{6}\right]^{-16}\right\rbrace ^{\frac {1}{8}}}$

Tabla de aproximaciones

La siguiente tabla enumera aproximaciones históricas a la relación de Colebrook-White ^[23] para flujo impulsado por presión. La ecuación de Churchill ^[24] (1977) es la única ecuación que se puede evaluar para flujo muy lento (número de Reynolds < 1), pero las ecuaciones de Cheng (2008), ^[25] y Bellos et al. (2018) ^[8] también devuelven un valor aproximadamente correcto para el factor de fricción en la región de flujo laminar (número de Reynolds < 2300). Todas las demás son solo para flujo transicional y turbulento.

Referencias

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Lectura adicional

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• Brkić, Dejan; Ćojbašić, Žarko (2017). "Optimización evolutiva de las aproximaciones de fricción de flujo turbulento de Colebrook". Fluidos . 2 (2): 15. Bibcode :2017Fluid...2...15B. doi : 10.3390/fluids2020015 . ISSN  2311-5521.
• Brkić, Dejan; Praks, Pavel (2019). "Aproximaciones explícitas precisas y eficientes de la ecuación de fricción de flujo de Colebrook basadas en la función ω de Wright". Matemáticas 7 (1): artículo 34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
• Praks, Pavel; Brkić, Dejan (2020). "Revisión de nuevas ecuaciones de fricción de flujo: construcción precisa de las correlaciones explícitas de Colebrook". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): artículo 41. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001. ISSN 1886-158X (versión en línea) - ISSN 0213-1315 (versión impresa)
• Niazkar, Majid (2019). "Revisión de la estimación del factor de fricción de Colebrook: una comparación entre modelos de inteligencia artificial y ecuaciones explícitas basadas en CW". Revista KSCE de ingeniería civil . 23 (10): 4311–4326. doi :10.1007/s12205-019-2217-1. S2CID  203040860.

Enlaces externos

• Calculadora web de factores de fricción de Darcy mediante la solución de Serghides.
• Calculadora de fricción de tuberías de código abierto.