Ecuación adjunta

Una ecuación adjunta es una ecuación diferencial lineal , que se deriva generalmente de su ecuación primaria mediante integración por partes . Los valores de gradiente con respecto a una cantidad particular de interés se pueden calcular de manera eficiente resolviendo la ecuación adjunta. Los métodos basados ​​en la solución de ecuaciones adjuntas se utilizan en la optimización de la forma de las alas , el control del flujo de fluidos y la cuantificación de la incertidumbre .

Ejemplo: EDP de advección-difusión

Consideremos la siguiente ecuación de advección-difusión lineal y escalar para la solución primaria , en el dominio con condiciones de contorno de Dirichlet : ${\displaystyle u({\vec {x}})}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)&=f,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\u&=b,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}}$

Sea la salida de interés la siguiente función lineal:

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }gu\ dV.}$

Derive la forma débil multiplicando la ecuación primal con una función de ponderación y realizando la integración por partes: ${\displaystyle w({\vec {x}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B(u,w)&=L(w),\end{aligned}}}$

dónde,

${\displaystyle {\begin{aligned}B(u,w)&=\int _{\Omega }w\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV\\&=\int _{\partial \Omega }w\left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla w\cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV,\qquad {\text{(Integration by parts)}}\\L(w)&=\int _{\Omega }wf\ dV.\end{aligned}}}$

Luego, considere una perturbación infinitesimal que produce un cambio infinitesimal en como sigue: ${\displaystyle L(w)}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)\\B(u',w)&=L'(w).\end{aligned}}}$

Nótese que la perturbación de la solución debe desaparecer en el límite, ya que la condición de límite de Dirichlet no admite variaciones en . ${\displaystyle u'}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Usando la forma débil anterior y la definición del adjunto que se da a continuación: ${\displaystyle \psi ({\vec {x}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L'(\psi )&=J(u')\\B(u',\psi )&=J(u'),\end{aligned}}}$

obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV&=\int _{\Omega }gu'\ dV.\end{aligned}}}$

A continuación, utilice la integración por partes para transferir las derivadas de en derivadas de : ${\displaystyle u'}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\Omega }\nabla u'\cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }u'\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\qquad {\text{(Repeating integration by parts on diffusion volume term)}}\\\int _{\Omega }u'\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]dV+\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA&=0.\end{aligned}}}$

La ecuación diferencial parcial adjunta y sus condiciones de contorno se pueden deducir de la última ecuación anterior. Dado que generalmente no es cero dentro del dominio , se requiere que sea cero en , para que el término de volumen se anule. De manera similar, dado que el flujo primario generalmente no es cero en el límite, requerimos que sea cero allí para que el primer término de contorno se anule. El segundo término de contorno se anula trivialmente ya que la condición de contorno primaria requiere en el límite. ${\displaystyle u'}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle u'=0}$

Por lo tanto, el problema adjunto viene dado por:

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)&=g,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\\psi &=0,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}}$

Nótese que el término de advección invierte el signo de la velocidad convectiva en la ecuación adjunta, mientras que el término de difusión permanece autoadjunto. ${\displaystyle {\vec {c}}}$

Véase también

• Método de estados adjuntos
• Ecuaciones de costata

Referencias

• Jameson, Antony (1988). "Diseño aerodinámico mediante teoría de control". Revista de informática científica . 3 (3): 233–260. doi :10.1007/BF01061285. hdl : 2060/19890004037 . S2CID  7782485.