En geometría , los polígonos se asocian en pares llamados duales , donde los vértices de uno corresponden a los bordes del otro.
Los polígonos regulares son autoduales .
El dual de un polígono isogonal (transitivo por vértices) es un polígono isotoxal (transitivo por aristas). Por ejemplo, el rectángulo (isogonal) y el rombo (isotoxal) son duales.
En un polígono cíclico , los lados más largos corresponden a los ángulos exteriores más grandes en el dual (un polígono tangencial ), y los lados más cortos a los ángulos más pequeños. [ cita requerida ] Además, los lados congruentes en el polígono original dan lugar a ángulos congruentes en el dual, y viceversa. Por ejemplo, el dual de un triángulo isósceles muy agudo es un triángulo isósceles obtuso.
En la construcción de Dorman Luke , cada cara de un poliedro dual es el polígono dual de la figura del vértice correspondiente .
Como ejemplo de la dualidad lado-ángulo de los polígonos comparamos las propiedades de los cuadriláteros cíclicos y tangenciales . [1]
Esta dualidad es quizás aún más clara cuando comparamos un trapezoide isósceles con una cometa .
La construcción cualitativa más simple de un polígono dual es una operación de rectificación , en la que los bordes de un polígono se truncan hasta los vértices que se encuentran en el centro de cada borde original. Se forman nuevos bordes entre estos nuevos vértices.
Esta construcción no es reversible, es decir, el polígono que se genera al aplicarla dos veces no suele ser similar al polígono original.
Al igual que con los poliedros duales, se puede tomar un círculo (ya sea el círculo inscrito , el círculo circunscrito o, si ambos existen, su círculo medio ) y realizar una reciprocidad polar en él.
Bajo la dualidad proyectiva , el dual de un punto es una línea, y el dual de una línea es un punto; por lo tanto, el dual de un polígono es un polígono, con aristas del original correspondientes a vértices del dual y viceversa.
Desde el punto de vista de la curva dual , donde a cada punto de una curva se le asocia el punto dual a su recta tangente en ese punto, el dual proyectivo puede interpretarse así:
Combinatoriamente, se puede definir un polígono como un conjunto de vértices, un conjunto de aristas y una relación de incidencia (cuyos vértices y aristas se tocan): dos vértices adyacentes determinan una arista y, dualmente, dos aristas adyacentes determinan un vértice. Entonces, el polígono dual se obtiene simplemente intercambiando los vértices y las aristas.
Así, para el triángulo con vértices {A, B, C} y aristas {AB, BC, CA}, el triángulo dual tiene vértices {AB, BC, CA} y aristas {B, C, A}, donde B conecta AB y BC, y así sucesivamente.
Esta no es una vía particularmente fructífera, ya que combinatoriamente existe una única familia de polígonos (dada por el número de lados); la dualidad geométrica de polígonos es más variada, al igual que los poliedros duales combinatorios .