singularidad de du val

Concepto matemático que describe la singularidad aislada de una superficie algebraica

En geometría algebraica , una singularidad de Du Val , también llamada singularidad simple de superficie , singularidad kleiniana o doble punto racional , es una singularidad aislada de una superficie compleja que se modela sobre una cubierta doblemente ramificada del plano, con resolución mínima obtenida al reemplazar el punto singular por un árbol de curvas racionales suaves, con patrón de intersección dual a un diagrama de Dynkin de tipo singularidad ADE . Son las singularidades canónicas (o, equivalentemente, singularidades racionales de Gorenstein) en dimensión 2. Fueron estudiadas por Patrick du Val ^{[1] [2] [3]} y Felix Klein .

Las singularidades de Du Val también aparecen como cocientes de por un subgrupo finito de SL 2 ; equivalentemente, un subgrupo finito de SU(2) , que se conocen como grupos poliédricos binarios . ^[4] Los anillos de polinomios invariantes de estas acciones de grupo finito fueron calculados por Klein, y son esencialmente los anillos de coordenadas de las singularidades; este es un resultado clásico en la teoría invariante . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} )}$

Clasificación

Las singularidades de Du Val se clasifican mediante diagramas de Dynkin simplemente enlazados , una forma de clasificación ADE .

Las posibles singularidades de Du Val son (salvo isomorfismo analítico):

• ${\displaystyle A_{n}:\quad w^{2}+x^{2}+y^{n+1}=0}$
• ${\displaystyle D_{n}:\quad w^{2}+y(x^{2}+y^{n-2})=0\qquad (n\geq 4)}$
• ${\displaystyle E_{6}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{4}=0}$
• ${\displaystyle E_{7}:\quad w^{2}+x(x^{2}+y^{3})=0}$
• ${\displaystyle E_{8}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{5}=0.}$

Véase también

• Resolución de Brieskorn-Grothendieck
• Conjetura general sobre el elefante

Referencias

1. du Val, Patrick (1934a). "Sobre singularidades aisladas de superficies que no afectan las condiciones de adjunción, Entrada I". Actas de la Cambridge Philosophical Society . 30 (4): 453–459. doi :10.1017/S030500410001269X. S2CID  251095858. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2022.
2. du Val, Patrick (1934b). "Sobre singularidades aisladas de superficies que no afectan las condiciones de adjunción, Entrada II". Actas de la Cambridge Philosophical Society . 30 (4): 460–465. doi :10.1017/S0305004100012706. S2CID  197459819. Archivado desde el original el 13 de mayo de 2022.
3. du Val, Patrick (1934c). «Sobre singularidades aisladas de superficies que no afectan las condiciones de adjunción, Entrada III». Actas de la Cambridge Philosophical Society . 30 (4): 483–491. doi :10.1017/S030500410001272X. S2CID  251095521. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2022.
4. Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonio (2004). Superficies complejas compactas. Ergebnisse der Mathematik und ihre Grenzbereiche. 3. Teil (Resultados de las matemáticas y sus zonas fronterizas. 3ª Parte). vol. 4. Springer-Verlag, Berlín. págs. 197-200. ISBN 978-3-540-00832-3. MR  2030225. OCLC  642357691. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2022. Consultado el 9 de mayo de 2022 .
5. Artin, Michael (1966). "Sobre singularidades racionales aisladas de superficies". American Journal of Mathematics . 88 (1): 129–136. doi :10.2307/2373050. ISSN  0002-9327. JSTOR  2373050. MR  0199191.
6. Durfee, Alan H. (1979). «Quince caracterizaciones de puntos dobles racionales y puntos críticos simples». L'Enseignement mathématique . IIe Série. 25 (1). European Mathematical Society Publishing House : 131–163. doi :10.5169/seals-50375. ISSN  0013-8584. MR  0543555. Archivado desde el original el 2022-05-09 . Consultado el 2022-05-09 .

Enlaces externos

• Reid, Miles , Las singularidades de Du Val An, Dn, E6, E7, E8 (PDF)
• Burban, Igor, Du Val Singularidades (PDF)