Colisión elástica

Colisión en la que se conserva la energía cinética

Mientras la radiación del cuerpo negro (no se muestra) no escape de un sistema, los átomos en agitación térmica experimentan colisiones esencialmente elásticas. En promedio, dos átomos rebotan entre sí con la misma energía cinética que antes de la colisión. Cinco átomos están coloreados en rojo para que sus trayectorias de movimiento sean más fáciles de ver.

En física , una colisión elástica es un encuentro ( colisión ) entre dos cuerpos en el que la energía cinética total de los dos cuerpos permanece igual. En una colisión ideal, perfectamente elástica, no hay conversión neta de energía cinética en otras formas como calor , ruido o energía potencial .

Durante la colisión de objetos pequeños, la energía cinética se convierte primero en energía potencial asociada a una fuerza repulsiva o atractiva entre las partículas (cuando las partículas se mueven contra esta fuerza, es decir, el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad relativa es obtuso), luego esta energía potencial se convierte nuevamente en energía cinética (cuando las partículas se mueven con esta fuerza, es decir, el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad relativa es agudo).

Las colisiones de átomos son elásticas, por ejemplo la retrodispersión de Rutherford .

Un caso especial útil de colisión elástica es cuando los dos cuerpos tienen la misma masa, en cuyo caso simplemente intercambiarán sus momentos .

Las moléculas de un gas o un líquido , a diferencia de los átomos , rara vez experimentan colisiones perfectamente elásticas porque en cada colisión se intercambia energía cinética entre el movimiento de traslación de las moléculas y sus grados de libertad internos. En cualquier instante, la mitad de las colisiones son, en mayor o menor medida, colisiones inelásticas (el par posee menos energía cinética en sus movimientos de traslación después de la colisión que antes) y la otra mitad podría describirse como “superelásticas” (poseen más energía cinética después de la colisión que antes). Si se promedian las colisiones moleculares en toda la muestra, se pueden considerar esencialmente elásticas siempre que la ley de Planck prohíba que los fotones del cuerpo negro se lleven energía.

En el caso de los cuerpos macroscópicos, las colisiones perfectamente elásticas son un ideal nunca plenamente realizado, pero al que se aproximan las interacciones de objetos como las bolas de billar .

Al considerar las energías, la posible energía rotacional antes y/o después de una colisión también puede jugar un papel.

Ecuaciones

Newtoniano unidimensional

El profesor Walter Lewin explica las colisiones elásticas unidimensionales

En cualquier colisión, el momento se conserva; pero en una colisión elástica, también se conserva la energía cinética. ^[1] Considérense las partículas A y B con masas m _A , m _B , y velocidades v _A1 , v _B1 antes de la colisión, v _A2 , v _B2 después de la colisión. La conservación del momento antes y después de la colisión se expresa por: ^[1] $${\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}\ =\ m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}$$

Asimismo, la conservación de la energía cinética total se expresa mediante: ^[1] $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}.}$$

Estas ecuaciones se pueden resolver directamente para encontrar cuando se conocen: ^[2] ${\displaystyle v_{A2},v_{B2}}$ ${\displaystyle v_{A1},v_{B1}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{A2}&=&{\dfrac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}\\[.5em]v_{B2}&=&{\dfrac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}.\end{array}}}$$

Alternativamente, la velocidad final de una partícula, v ₂ (v _A2 o v _B2 ) se expresa mediante:

${\displaystyle v=(1+e)v_{CoM}-eu,v_{CoM}={\dfrac {m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}}{m_{A}+m_{B}}}}$

Dónde:

• e es el coeficiente de restitución .
• v _CoM es la velocidad del centro de masa del sistema de dos partículas.
• v ₁ (v _A1 o v _B1 ) es la velocidad inicial de la partícula.

Si ambas masas son iguales, tenemos una solución trivial: esto simplemente corresponde a que los cuerpos intercambian sus velocidades iniciales entre sí. ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}.\end{aligned}}}$$

Como era de esperar, la solución es invariante si se añade una constante a todas las velocidades ( relatividad galileana ), lo que equivale a utilizar un marco de referencia con velocidad de traslación constante. De hecho, para derivar las ecuaciones, primero se puede cambiar el marco de referencia de modo que una de las velocidades conocidas sea cero, determinar las velocidades desconocidas en el nuevo marco de referencia y volver a convertir al marco de referencia original.

Ejemplos

Antes de la colisión

Pelota A: masa = 3 kg, velocidad = 4 m/s

Pelota B: masa = 5 kg, velocidad = 0 m/s

Después de la colisión

Pelota A: velocidad = −1 m/s

Pelota B: velocidad = 3 m/s

Otra situación:

Colisión elástica de masas desiguales.

A continuación se ilustra el caso de masa igual, . ${\displaystyle m_{A}=m_{B}}$

Colisión elástica de masas iguales

Colisión elástica de masas en un sistema con un marco de referencia móvil

En el caso límite donde es mucho mayor que , como una paleta de ping-pong que golpea una pelota de ping-pong o un todoterreno que golpea un bote de basura, la masa más pesada apenas cambia de velocidad, mientras que la masa más ligera rebota, invirtiendo su velocidad más aproximadamente el doble de la de la pesada. ^[3] ${\displaystyle m_{A}}$ ${\displaystyle m_{B}}$

En el caso de un gran , el valor de es pequeño si las masas son aproximadamente las mismas: golpear una partícula mucho más ligera no cambia mucho la velocidad, golpear una partícula mucho más pesada hace que la partícula rápida rebote con alta velocidad. Es por esto que un moderador de neutrones (un medio que ralentiza los neutrones rápidos , convirtiéndolos así en neutrones térmicos capaces de sostener una reacción en cadena ) es un material lleno de átomos con núcleos ligeros que no absorben fácilmente neutrones: los núcleos más ligeros tienen aproximadamente la misma masa que un neutrón . ${\displaystyle v_{A1}}$ ${\displaystyle v_{A2}}$

Derivación de la solución

Para derivar las ecuaciones anteriores, reordenar las ecuaciones de energía cinética y momento: ${\displaystyle v_{A2},v_{B2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}(v_{A2}^{2}-v_{A1}^{2})&=m_{B}(v_{B1}^{2}-v_{B2}^{2})\\m_{A}(v_{A2}-v_{A1})&=m_{B}(v_{B1}-v_{B2})\end{aligned}}}$$

Dividiendo cada lado de la ecuación superior por cada lado de la ecuación inferior y usando se obtiene: ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{(a-b)}}=a+b,}$

$${\displaystyle v_{A2}+v_{A1}=v_{B1}+v_{B2}\quad \Rightarrow \quad v_{A2}-v_{B2}=v_{B1}-v_{A1}}$$

Es decir, la velocidad relativa de una partícula con respecto a la otra se invierte por la colisión.

Ahora bien, las fórmulas anteriores se deducen de la solución de un sistema de ecuaciones lineales considerando como constantes: Una vez determinado, se puede encontrar por simetría. ${\displaystyle v_{A2},v_{B2},}$ ${\displaystyle m_{A},m_{B},v_{A1},v_{B1}}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{A2}&-&v_{B2}&=&v_{B1}-v_{A1}\\m_{A}v_{A1}&+&m_{B}v_{B1}&=&m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.\end{array}}\right.}$$ ${\displaystyle v_{A2}}$ ${\displaystyle v_{B2}}$

Marco del centro de masa

Con respecto al centro de masa, ambas velocidades se invierten por la colisión: una partícula pesada se mueve lentamente hacia el centro de masa y rebota con la misma velocidad baja, y una partícula ligera se mueve rápidamente hacia el centro de masa y rebota con la misma velocidad alta.

La velocidad del centro de masa no cambia con la colisión. Para comprobarlo, considere el centro de masa en el momento anterior a la colisión y en el momento posterior a la misma: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&={\frac {m_{A}x_{A}(t)+m_{B}x_{B}(t)}{m_{A}+m_{B}}}\\{\bar {x}}(t')&={\frac {m_{A}x_{A}(t')+m_{B}x_{B}(t')}{m_{A}+m_{B}}}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, las velocidades del centro de masa antes y después de la colisión son: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\bar {x}}&={\frac {m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}}{m_{A}+m_{B}}}\\v_{\bar {x}}'&={\frac {m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}}{m_{A}+m_{B}}}.\end{aligned}}}$$

Los numeradores de y son los momentos totales antes y después de la colisión. Como el momento se conserva, tenemos ${\displaystyle v_{\bar {x}}}$ ${\displaystyle v_{\bar {x}}'}$ ${\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'\,.}$

Relativismo unidimensional

Según la relatividad especial , donde p denota el momento de cualquier partícula con masa, v denota la velocidad y c es la velocidad de la luz. $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

En el centro del marco de momento donde el momento total es igual a cero, $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}$$

Aquí se representan las masas en reposo de los dos cuerpos en colisión, se representan sus velocidades antes de la colisión, sus velocidades después de la colisión, sus momentos, es la velocidad de la luz en el vacío y denota la energía total, la suma de las masas en reposo y las energías cinéticas de los dos cuerpos. ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E}$

Dado que la energía y el momento totales del sistema se conservan y sus masas en reposo no cambian, se demuestra que el momento del cuerpo en colisión está determinado por las masas en reposo de los cuerpos en colisión, la energía total y el momento total. En relación con el marco del centro de momento , el momento de cada cuerpo en colisión no cambia de magnitud después de la colisión, sino que invierte su dirección de movimiento.

En comparación con la mecánica clásica , que ofrece resultados precisos al tratar objetos macroscópicos que se mueven mucho más lento que la velocidad de la luz , el momento total de los dos cuerpos en colisión depende del marco de referencia. En el centro del marco de referencia del momento , según la mecánica clásica,

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}$$

Esto concuerda con el cálculo relativista a pesar de otras diferencias. ${\displaystyle u_{1}=-v_{1},}$

Uno de los postulados de la relatividad especial establece que las leyes de la física, como la conservación del momento, deberían ser invariantes en todos los marcos de referencia inerciales. En un marco inercial general donde el momento total podría ser arbitrario,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}$$Podemos considerar los dos cuerpos en movimiento como un sistema cuyo momento total es la energía total y su velocidad es la velocidad de su centro de masa. En relación con el marco del centro de momento, el momento total es igual a cero. Se puede demostrar que está dado por: Ahora, las velocidades antes de la colisión en el marco del centro de momento y son: ${\displaystyle p_{T},}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle v_{c}}$ $${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$$ ${\displaystyle u_{1}'}$ ${\displaystyle u_{2}'}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

Cuando y ${\displaystyle u_{1}\ll c}$ ${\displaystyle u_{2}\ll c\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, el cálculo clásico es válido cuando la velocidad de ambos cuerpos en colisión es mucho menor que la velocidad de la luz (~300.000 kilómetros por segundo).

Derivación relativista utilizando funciones hiperbólicas

Utilizando el llamado parámetro de velocidad (normalmente llamado rapidez ), ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh(s),}$$Nosotros conseguimos $${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s).}$$

La energía y el momento relativistas se expresan de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones de la suma de la energía y el momento de las masas en colisión ( las velocidades corresponden a los parámetros de velocidad ), después de dividir por la potencia adecuada son las siguientes: ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})&=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})\\m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})&=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})\end{aligned}}}$$

y ecuación dependiente, la suma de las ecuaciones anteriores: $${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$$

restamos cuadrados de ambos lados de la ecuación "momento" de "energía" y usamos la identidad después de simplificar, obtenemos: ${\textstyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1,}$ $${\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}$$

Para masa distinta de cero, utilizando la identidad trigonométrica hiperbólica obtenemos: ${\textstyle \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(b)\sinh(a),}$ $${\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}$$

como las funciones son pares obtenemos dos soluciones: de la última ecuación, que conduce a una solución no trivial, resolvemos y sustituimos en la ecuación dependiente, obtenemos y entonces tenemos: ${\displaystyle \cosh(s)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}-s_{2}&=s_{3}-s_{4}\\s_{1}-s_{2}&=-s_{3}+s_{4}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle e^{s_{1}}}$ ${\displaystyle e^{s_{2}},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{s_{1}}&=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\\e^{s_{2}}&=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\end{aligned}}}$$

Es una solución del problema, pero expresada por los parámetros de velocidad. La sustitución de retorno para obtener la solución de velocidades es: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}/c&=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}\\v_{2}/c&=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}\end{aligned}}}$$

Sustituimos las soluciones anteriores y reemplazamos: y después de una larga transformación, sustituyendo: obtenemos: ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$ ${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}},}$ ${\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\\v_{2}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

Bidimensional

En el caso de dos cuerpos que chocan sin girar en dos dimensiones, el movimiento de los cuerpos está determinado por las tres leyes de conservación del momento, la energía cinética y el momento angular. La velocidad total de cada cuerpo debe dividirse en dos velocidades perpendiculares: una tangente a las superficies normales comunes de los cuerpos que chocan en el punto de contacto, la otra a lo largo de la línea de colisión. Dado que la colisión solo imparte fuerza a lo largo de la línea de colisión, las velocidades que son tangentes al punto de colisión no cambian. Las velocidades a lo largo de la línea de colisión se pueden utilizar en las mismas ecuaciones que una colisión unidimensional. Las velocidades finales se pueden calcular a partir de las dos nuevas velocidades componentes y dependerán del punto de colisión. Se realizan estudios de colisiones bidimensionales para muchos cuerpos en el marco de un gas bidimensional .

Colisión elástica bidimensional

En un sistema de referencia con centro de momento, en cualquier instante las velocidades de los dos cuerpos tienen direcciones opuestas, con magnitudes inversamente proporcionales a las masas. En una colisión elástica, estas magnitudes no cambian. Las direcciones pueden cambiar dependiendo de las formas de los cuerpos y del punto de impacto. Por ejemplo, en el caso de las esferas, el ángulo depende de la distancia entre las trayectorias (paralelas) de los centros de los dos cuerpos. Es posible cualquier cambio de dirección distinto de cero: si esta distancia es cero, las velocidades se invierten en la colisión; si es cercana a la suma de los radios de las esferas, los dos cuerpos se desvían solo ligeramente.

Suponiendo que la segunda partícula está en reposo antes de la colisión, los ángulos de deflexión de las dos partículas, y , están relacionados con el ángulo de deflexión en el sistema del centro de masa por ^[4] Las magnitudes de las velocidades de las partículas después de la colisión son: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \tan \theta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \theta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1}&=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}}\\v'_{2}&=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

Colisión bidimensional entre dos objetos en movimiento

Los componentes finales de las velocidades x e y de la primera bola se pueden calcular como: ^[5] donde v ₁ y v ₂ son los tamaños escalares de las dos velocidades originales de los objetos, m ₁ y m ₂ son sus masas, θ ₁ y θ ₂ son sus ángulos de movimiento, es decir, (lo que significa que moverse directamente hacia abajo a la derecha es un ángulo de −45° o un ángulo de 315°), y phi minúscula ( φ ) es el ángulo de contacto. (Para obtener las velocidades x e y de la segunda bola, uno necesita intercambiar todos los subíndices '1' con subíndices '2'). $${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$

Esta ecuación se deriva del hecho de que la interacción entre los dos cuerpos se calcula fácilmente a lo largo del ángulo de contacto, lo que significa que las velocidades de los objetos se pueden calcular en una dimensión rotando los ejes x e y para que sean paralelos al ángulo de contacto de los objetos, y luego rotando nuevamente a la orientación original para obtener los verdaderos componentes x e y de las velocidades. ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]}

En una representación sin ángulos, las velocidades modificadas se calculan utilizando los centros x ₁ y x ₂ en el momento del contacto como donde los corchetes angulares indican el producto interno (o producto escalar ) de dos vectores. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$$

Otras cantidades conservadas

En el caso particular de partículas que tienen masas iguales, se puede verificar mediante cálculo directo a partir del resultado anterior que el producto escalar de las velocidades antes y después de la colisión son las mismas, es decir, aunque este producto no es un invariante aditivo de la misma manera que lo son el momento y la energía cinética para las colisiones elásticas, parece que la preservación de esta cantidad puede, no obstante, usarse para derivar leyes de conservación de orden superior. ^[12] ${\displaystyle \langle \mathbf {v} '_{1},\mathbf {v} '_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle .}$

Véase también

• Colisión
• Colisión inelástica
• Coeficiente de restitución

Referencias

1. Serway y Jewett 2014, pág. 257
2. Serway y Jewett, 2014, pág. 258
3. Serway y Jewett 2014, págs. 258-259
4. Landau y Lifshitz 1976, pág. 46
5. Craver, William E. (13 de agosto de 2013). «Elastic Collisions» (Colisiones elásticas) . Consultado el 4 de marzo de 2023 .^{[ fuente autopublicada ]}
6. Parkinson, Stephen (1869) "Un tratado elemental sobre mecánica" (4.ª ed.) pág. 197. Londres. MacMillan
7. Love, AEH (1897) "Principios de dinámica", pág. 262. Cambridge. Cambridge University Press
8. Routh, Edward J. (1898) "Tratado sobre dinámica de partículas", pág. 39. Cambridge. Cambridge University Press
9. Glazebrook, Richard T. (1911) "Dinámica" (2.ª ed.) pág. 217. Cambridge. Cambridge University Press
10. Osgood, William F. (1949) "Mecánica", pág. 272. Londres. MacMillan
11. Stephenson, Reginald J. (1952) "Mecánica y propiedades de la materia", pág. 40. Nueva York. Wiley
12. Chliamovitch, G.; Malaspinas, O.; Chopard, B. (2017). "Teoría cinética más allá del Stosszahlansatz". Entropía . 19 (8): 381. Bibcode :2017Entrp..19..381C. doi : 10.3390/e19080381 .

Referencias generales

• Landau, LD; Lifshitz, EM (1976). Mecánica (3.ª ed.). Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8.
• Raymond, David J. "10.4.1 Colisiones elásticas". Un enfoque radicalmente moderno de la física introductoria . Vol. 1: Principios fundamentales. Socorro, Nuevo México: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2014). "9: Momento lineal y colisiones". Física para científicos e ingenieros con física moderna (novena edición). Boston. ISBN 978-1-133-95405-7.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Enlaces externos

• Resolución de colisiones de cuerpos rígidos en tres dimensiones, incluida una derivación utilizando las leyes de conservación