Domineering (también llamado Stop-Gate o Crosscram ) es un juego matemático que se puede jugar en cualquier conjunto de cuadrados en una hoja de papel cuadriculado . Por ejemplo, se puede jugar en un cuadrado de 6×6, un rectángulo, un poliominó completamente irregular o una combinación de cualquier número de dichos componentes. Dos jugadores tienen una colección de fichas de dominó que colocan en la cuadrícula por turnos, cubriendo los cuadrados. Un jugador coloca las fichas verticalmente, mientras que el otro las coloca horizontalmente. (Tradicionalmente, a estos jugadores se les llama "Izquierda" y "Derecha", respectivamente, o "V" y "H". Ambas convenciones se utilizan en este artículo). Como en la mayoría de los juegos de la teoría de juegos combinatorios , el primer jugador que no puede moverse pierde.
Domineering es un juego partidista , en el que los jugadores utilizan diferentes piezas: la versión imparcial del juego es Cram .
Aparte del juego vacío, donde no hay cuadrícula, el juego más simple es el de una sola casilla.
En este juego, claramente, ningún jugador puede moverse. Como se trata de una victoria del segundo jugador, se trata de un juego de cero .
Este juego es una cuadrícula de 2 por 1. Existe una convención de asignar al juego un número positivo cuando gana la izquierda y uno negativo cuando gana la derecha. En este caso, la izquierda no tiene movimientos, mientras que la derecha puede jugar una ficha de dominó para cubrir todo el tablero, sin dejar nada, lo que claramente es un juego de cero. Por lo tanto, en notación numérica surrealista , este juego es {|0} = −1. Esto tiene sentido, ya que esta cuadrícula es una ventaja de 1 movimiento para la derecha.
Este juego también es {|0} = −1, porque una sola caja no se puede jugar.
Esta cuadrícula es el primer caso de una elección. Derecha podría jugar las dos casillas de la izquierda, dejando −1. Las casillas más a la derecha también dejan −1. También podría jugar las dos casillas del medio, dejando dos casillas individuales. Esta opción deja 0+0 = 0. Por lo tanto, este juego se puede expresar como {|0,−1}. Esto es −2. Si este juego se juega junto con otros juegos, son dos movimientos gratis para Derecha.
Las columnas verticales se evalúan de la misma manera. Si hay una fila de 2 n o 2 n +1 casillas, se cuenta como − n . Una columna de ese tamaño se cuenta como + n .
Este es un juego más complejo. Si la izquierda va primero, cualquiera de los movimientos deja una cuadrícula de 1×2, que es +1. La derecha, por otro lado, puede moverse a −1. Por lo tanto, la notación de números surrealistas es {1|−1}. Sin embargo, este no es un número surrealista porque 1 > −1. Este es un juego, pero no un número. La notación para esto es ±1, y es un juego caliente , porque cada jugador quiere moverse aquí.
Esta es una cuadrícula de 2x3, que es aún más compleja, pero, como cualquier juego de Domineering, se puede desglosar observando cuáles son los distintos movimientos de Izquierda y Derecha. Izquierda puede tomar la columna izquierda (o, equivalentemente, la columna derecha) y moverse a ±1, pero claramente es una mejor idea dividir el medio, dejando dos juegos separados, cada uno con un valor de +1. Por lo tanto, el mejor movimiento de Izquierda es +2. Derecha tiene cuatro movimientos "diferentes", pero todos dejan la siguiente forma en alguna rotación :
Este juego no es un juego caliente (también llamado juego frío ), porque cada movimiento perjudica al jugador que lo realiza, como podemos ver al examinar los movimientos. La izquierda puede moverse a −1, la derecha puede moverse a 0 o +1. Por lo tanto, este juego es {−1|0,1} = {−1|0} = − 1 ⁄ 2 .
Nuestra cuadrícula 2×3, entonces, es {2|− 1 ⁄ 2 }, que también puede representarse por el valor medio, 3 ⁄ 4 , junto con la bonificación por moverse (la "temperatura"), 1+1 ⁄ 4 , por lo tanto:
El Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas organizó un torneo Domineering , con un premio de 500 dólares para el ganador. Este juego se jugó en un tablero de 8x8. El ganador fue el matemático Dan Calistrate, quien derrotó a David Wolfe en la final. El torneo se detalla en Games of No Chance de Richard J. Nowakowski (p. 85).
Un problema de Domineering es calcular la estrategia ganadora para tableros grandes, y particularmente tableros cuadrados. En 2000, Dennis Breuker, Jos Uiterwijk y Jaap van den Herik calcularon y publicaron la solución para el tablero de 8x8. [1] El tablero de 9x9 siguió poco después de algunas mejoras de su programa. Luego, en 2002, Nathan Bullock resolvió el tablero de 10x10, como parte de su tesis sobre Domineering. [2] El tablero de 11x11 fue resuelto por Jos Uiterwijk en 2016. [3]
El dominio es una victoria para el primer jugador en los tableros cuadrados de 2x2, 3x3, 4x4, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9, 10x10 y 11x11, y una victoria para el segundo jugador en los tableros de 1x1 y 5x5. Se pueden encontrar otros valores conocidos para tableros rectangulares en el sitio de Nathan Bullock. [4]
Cram es la versión imparcial de Domineering. La única diferencia en las reglas es que cada jugador puede colocar sus fichas de dominó en cualquier orientación. Parece solo una pequeña variación en las reglas, pero da como resultado un juego completamente diferente que puede analizarse con el teorema de Sprague-Grundy .
