Ley de desplazamiento de Wien

Relation between peak wavelengths of black body radiation and temperature

Radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda para distintas temperaturas. Cada curva de temperatura alcanza su pico en una longitud de onda diferente y la ley de Wien describe el desplazamiento de ese pico.

Existen diversas formas de asociar una longitud de onda o frecuencia característica con el espectro de emisión del cuerpo negro de Planck. Cada una de estas métricas escala de manera similar con la temperatura, un principio conocido como ley de desplazamiento de Wien. Para las diferentes versiones de la ley, la constante de proporcionalidad difiere, por lo que, para una temperatura dada, no existe una longitud de onda o frecuencia característica única.

En física , la ley de desplazamiento de Wien establece que la curva de radiación del cuerpo negro para diferentes temperaturas alcanzará su pico en diferentes longitudes de onda que son inversamente proporcionales a la temperatura. El desplazamiento de ese pico es una consecuencia directa de la ley de radiación de Planck , que describe el brillo espectral o la intensidad de la radiación del cuerpo negro en función de la longitud de onda a una temperatura determinada. Sin embargo, el físico alemán Wilhelm Wien la había descubierto varios años antes de que Max Planck desarrollara esa ecuación más general, y describe el desplazamiento completo del espectro de la radiación del cuerpo negro hacia longitudes de onda más cortas a medida que aumenta la temperatura.

Formalmente, la versión de longitud de onda de la ley de desplazamiento de Wien establece que la radiancia espectral de la radiación del cuerpo negro por unidad de longitud de onda alcanza un máximo en la longitud de onda dada por: donde T es la temperatura absoluta y b es una constante de proporcionalidad llamada constante de desplazamiento de Wien , igual a ${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}}$ $${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}={\frac {b}{T}}}$$2,897 771 955 ... × 10 ⁻³  m⋅K , ^{[1] [2]} o b ≈ 2898 μm ⋅K .

Esta es una relación inversa entre la longitud de onda y la temperatura. Por lo tanto, cuanto mayor sea la temperatura, más corta o más pequeña será la longitud de onda de la radiación térmica. Cuanto menor sea la temperatura, más larga o más grande será la longitud de onda de la radiación térmica. En el caso de la radiación visible, los objetos calientes emiten una luz más azul que los objetos fríos. Si se considera el pico de emisión del cuerpo negro por unidad de frecuencia o por ancho de banda proporcional, se debe utilizar una constante de proporcionalidad diferente. Sin embargo, la forma de la ley sigue siendo la misma: la longitud de onda máxima es inversamente proporcional a la temperatura y la frecuencia máxima es directamente proporcional a la temperatura.

Existen otras formulaciones de la ley de desplazamiento de Wien, que están parametrizadas en relación con otras cantidades. Para estas formulaciones alternativas, la forma de la relación es similar, pero la constante de proporcionalidad, b , difiere.

La ley de desplazamiento de Wien puede denominarse "ley de Wien", término que también se utiliza para la aproximación de Wien .

En la "ley de desplazamiento de Wien", la palabra desplazamiento se refiere a cómo los gráficos de intensidad-longitud de onda aparecen desplazados para diferentes temperaturas.

Ejemplos

Los herreros trabajan el hierro cuando está lo suficientemente caliente como para emitir una radiación térmica claramente visible .

El color de una estrella está determinado por su temperatura, según la ley de Wien. En la constelación de Orión , se pueden comparar Betelgeuse ( T  ≈ 3800 K, arriba a la izquierda), Rigel ( T  = 12100 K, abajo a la derecha), Bellatrix ( T  = 22000 K, arriba a la derecha) y Mintaka ( T  = 31800 K, la más a la derecha de las 3 "estrellas del cinturón" en el medio).

La ley de desplazamiento de Wien es relevante para algunas experiencias cotidianas:

• Un trozo de metal calentado con un soplete se pone al rojo vivo, ya que las longitudes de onda visibles más largas aparecen rojas, luego se vuelve más naranja rojizo a medida que aumenta la temperatura y, a temperaturas muy altas, se describiría como "blanco al rojo vivo", ya que las longitudes de onda cada vez más cortas predominan en el espectro de emisión del cuerpo negro. Antes de haber alcanzado la temperatura al rojo vivo, la emisión térmica se producía principalmente en longitudes de onda infrarrojas más largas , que no son visibles; sin embargo, esa radiación se podía sentir al calentar la piel cercana.
• Se pueden observar fácilmente los cambios de color en una bombilla incandescente (que produce luz a través de radiación térmica) a medida que se varía la temperatura de su filamento mediante un regulador de intensidad de luz . A medida que se atenúa la luz y disminuye la temperatura del filamento, la distribución del color se desplaza hacia longitudes de onda más largas y la luz aparece más roja y más tenue.
• Un fuego de leña a 1500 K emite una radiación máxima de unos 2000 nanómetros. El 98% de su radiación corresponde a longitudes de onda superiores a 1000 nm, y solo una pequeña proporción a longitudes de onda visibles (390-700 nanómetros). Por lo tanto, una fogata puede mantenernos calientes, pero es una fuente deficiente de luz visible.
• La temperatura efectiva del Sol es de 5778 Kelvin. Usando la ley de Wien, uno encuentra una emisión pico por nanómetro (de longitud de onda) en una longitud de onda de aproximadamente 500 nm, en la porción verde del espectro cerca de la sensibilidad máxima del ojo humano. ^{[3] [4]} Por otro lado, en términos de potencia por unidad de frecuencia óptica, la emisión pico del Sol está en 343 THz o una longitud de onda de 883 nm en el infrarrojo cercano. En términos de potencia por porcentaje de ancho de banda, el pico está en aproximadamente 635 nm, una longitud de onda roja. Aproximadamente la mitad de la radiación del Sol está en longitudes de onda más cortas que 710 nm, aproximadamente el límite de la visión humana. De eso, aproximadamente el 12% está en longitudes de onda más cortas que 400 nm, longitudes de onda ultravioleta, que son invisibles para un ojo humano sin ayuda. Una gran cantidad de la radiación del Sol cae en el espectro visible bastante pequeño .
• Sin embargo, la preponderancia de la emisión en el rango visible no es el caso en la mayoría de las estrellas . La supergigante caliente Rigel emite el 60% de su luz en el ultravioleta, mientras que la supergigante fría Betelgeuse emite el 85% de su luz en longitudes de onda infrarrojas. Con ambas estrellas prominentes en la constelación de Orión , uno puede apreciar fácilmente la diferencia de color entre la azul-blanca Rigel ( T  = 12100 K) y la roja Betelgeuse ( T  ≈ 3800 K). ^[5] Si bien pocas estrellas son tan calientes como Rigel, las estrellas más frías que el Sol o incluso tan frías como Betelgeuse son muy comunes.
• Los mamíferos con una temperatura de la piel de unos 300 K emiten una radiación máxima de unos 10 μm en el infrarrojo lejano. Por tanto, este es el rango de longitudes de onda infrarrojas que deben detectar las serpientes víboras y las cámaras infrarrojas pasivas .
• Al comparar el color aparente de las fuentes de iluminación (incluidas las luces fluorescentes , la iluminación LED , los monitores de computadora y los flashes fotográficos ), es habitual citar la temperatura de color . Aunque los espectros de dichas luces no se describen con precisión mediante la curva de radiación de cuerpo negro, se cita una temperatura de color (la temperatura de color correlacionada ) para la cual la radiación de cuerpo negro coincidiría más estrechamente con el color subjetivo de esa fuente. Por ejemplo, la luz fluorescente azul-blanca que a veces se usa en una oficina puede tener una temperatura de color de 6500 K, mientras que el tinte rojizo de una luz incandescente atenuada puede tener una temperatura de color (y una temperatura de filamento real) de 2000 K. Tenga en cuenta que la descripción informal del primer color (azulado) como "frío" y el segundo (rojizo) como "cálido" es exactamente opuesta al cambio de temperatura real involucrado en la radiación de cuerpo negro.

Descubrimiento

La ley recibe su nombre de Wilhelm Wien , quien la derivó en 1893 basándose en un argumento termodinámico. ^[6] Wien consideró la expansión adiabática de una cavidad que contiene ondas de luz en equilibrio térmico. Utilizando el principio de Doppler , demostró que, bajo una expansión o contracción lenta, la energía de la luz que se refleja en las paredes cambia exactamente de la misma manera que la frecuencia. Un principio general de la termodinámica es que un estado de equilibrio térmico, cuando se expande muy lentamente, permanece en equilibrio térmico.

El propio Wien dedujo esta ley teóricamente en 1893, siguiendo el razonamiento termodinámico de Boltzmann. Ya la había observado, al menos de forma semicuantitativa, un astrónomo estadounidense, Langley . Este desplazamiento ascendente de la radiación es familiar para todos: cuando se calienta un hierro en el fuego, la primera radiación visible (a unos 900 K) es de color rojo oscuro, la frecuencia más baja de la luz visible. Un aumento posterior de la radiación hace que el color cambie a naranja, luego a amarillo y, finalmente, a azul a temperaturas muy altas (10.000 K o más), para las cuales el pico de intensidad de la radiación se ha movido más allá del visible hacia el ultravioleta. ^[7] ${\displaystyle \nu _{\mathrm {peak} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

El principio adiabático permitió a Wien concluir que, para cada modo, el invariante adiabático energía/frecuencia es sólo una función del otro invariante adiabático, la frecuencia/temperatura. A partir de esto, derivó la "versión fuerte" de la ley de desplazamiento de Wien: la afirmación de que la radiancia espectral del cuerpo negro es proporcional a alguna función F de una sola variable. Una variante moderna de la derivación de Wien se puede encontrar en el libro de texto de Wannier ^[8] y en un artículo de E. Buckingham ^[9]. ${\displaystyle \nu ^{3}F(\nu /T)}$

La consecuencia es que la forma de la función de radiación del cuerpo negro (que aún no se entendía) cambiaría proporcionalmente en frecuencia (o inversamente proporcionalmente en longitud de onda) con la temperatura. Cuando Max Planck formuló posteriormente la función de radiación del cuerpo negro correcta , no incluyó explícitamente la constante de Wien . En lugar de eso, se creó la constante de Planck y se la introdujo en su nueva fórmula. A partir de la constante de Planck y la constante de Boltzmann , se puede obtener la constante de Wien . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$

El pico difiere según la parametrización

Los resultados de las tablas anteriores resumen los resultados de otras secciones de este artículo. Los percentiles son percentiles del espectro de cuerpo negro de Planck. ^[10] Solo el 25 por ciento de la energía en el espectro de cuerpo negro está asociada con longitudes de onda más cortas que el valor dado por la versión de longitud de onda pico de la ley de Wien.

Espectro de cuerpo negro de Planck parametrizado por longitud de onda, ancho de banda fraccional (longitud de onda logarítmica o frecuencia logarítmica) y frecuencia, para una temperatura de 6000 K.

Obsérvese que, para una temperatura dada, distintas parametrizaciones implican distintas longitudes de onda máximas. En particular, la curva de intensidad por unidad de frecuencia alcanza su pico en una longitud de onda diferente a la de la curva de intensidad por unidad de longitud de onda. ^[11]

Por ejemplo, utilizando = 6000 K (5730 °C; 10 340 °F) y parametrización por longitud de onda, la longitud de onda para la radiancia espectral máxima es = 482,962 nm con una frecuencia correspondiente = 620,737 THz . Para la misma temperatura, pero parametrizando por frecuencia, la frecuencia para la radiancia espectral máxima es = 352,735 THz con una longitud de onda correspondiente = 849,907 nm . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Estas funciones son funciones de densidad de radiancia , que son funciones de densidad de probabilidad escaladas para dar unidades de radiancia. La función de densidad tiene diferentes formas para diferentes parametrizaciones, dependiendo del estiramiento o compresión relativa de la abscisa, que mide el cambio en la densidad de probabilidad en relación con un cambio lineal en un parámetro dado. Dado que la longitud de onda y la frecuencia tienen una relación recíproca, representan cambios significativamente no lineales en la densidad de probabilidad en relación entre sí.

La radiancia total es la integral de la distribución sobre todos los valores positivos, y es invariable para una temperatura dada bajo cualquier parametrización. Además, para una temperatura dada, la radiancia que consiste en todos los fotones entre dos longitudes de onda debe ser la misma independientemente de la distribución que se utilice. Es decir, la integración de la distribución de longitudes de onda de a dará como resultado el mismo valor que la integración de la distribución de frecuencia entre las dos frecuencias que corresponden a y , es decir, de a . ^[12] Sin embargo, la forma de la distribución depende de la parametrización, y para una parametrización diferente, la distribución normalmente tendrá una densidad de pico diferente, como demuestran estos cálculos. ^[11] ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle c/\lambda _{2}}$ ${\displaystyle c/\lambda _{1}}$

Sin embargo, el punto importante de la ley de Wien es que cualquier marcador de longitud de onda, incluida la longitud de onda mediana (o, alternativamente, la longitud de onda por debajo de la cual se produce cualquier porcentaje especificado de la emisión) es proporcional al recíproco de la temperatura. Es decir, la forma de la distribución para una parametrización dada se escala con la temperatura y se traduce de acuerdo con ella, y se puede calcular una vez para una temperatura canónica y luego desplazarla y escalarla adecuadamente para obtener la distribución para otra temperatura. Esto es una consecuencia del enunciado fuerte de la ley de Wien.

Formulación dependiente de la frecuencia

Para el flujo espectral considerado por unidad de frecuencia (en hercios ), la ley de desplazamiento de Wien describe una emisión pico en la frecuencia óptica dada por: ^[13] o equivalentemente donde = ${\displaystyle d\nu }$ ${\displaystyle \nu _{\text{peak}}}$ $${\displaystyle \nu _{\text{peak}}={x \over h}k\,T\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T}$$ $${\displaystyle h\nu _{\text{peak}}=x\,k\,T\approx (2.431\times 10^{-4}\ \mathrm {eV/K} )\cdot T}$$ ${\displaystyle x}$2.821 439 372 122 078 893 ... ^[14] es una constante resultante de la ecuación de maximización, k es la constante de Boltzmann , h es la constante de Planck y T es la temperatura absoluta. Con la emisión ahora considerada por unidad de frecuencia, este pico ahora corresponde a una longitud de onda aproximadamente un 76% más larga que el pico considerado por unidad de longitud de onda. Los cálculos relevantes se detallan en la siguiente sección.

Derivación de la ley de Planck

Parametrización por longitud de onda

La ley de Planck para el espectro de radiación de cuerpo negro predice la ley de desplazamiento de Wien y puede utilizarse para evaluar numéricamente la constante que relaciona la temperatura y el valor del parámetro pico para cualquier parametrización particular. Comúnmente se utiliza una parametrización de longitud de onda y en ese caso la radiancia espectral del cuerpo negro (potencia por área de emisión por ángulo sólido) es: $${\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}$$

Derivando con respecto a y haciendo la derivada igual a cero se obtiene: que se puede simplificar para dar: ${\displaystyle u(\lambda ,T)}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}$$ $${\displaystyle {hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}$$

Al definir: la ecuación se convierte en una en la única variable x : lo que equivale a: $${\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},}$$ $${\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.}$$ $${\displaystyle x=5(1-e^{-x})\,.}$$

Esta ecuación se resuelve mediante donde es la rama principal de la función W de Lambert , y da $${\displaystyle x=5+W_{0}(-5e^{-5})}$$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle x=}$ 4.965 114 231 744 276 303 ... . ^[15] Resolviendo la longitud de ondaen milímetros y usando kelvins para la temperatura obtenemos: ^{[16] [2]} ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;}$(2,897 771 955 185 172 661 ... mm⋅K ) . ${\displaystyle /T}$

Parametrización por frecuencia

Otra parametrización común es la frecuencia . La derivación que da como resultado el valor pico del parámetro es similar, pero comienza con la forma de la ley de Planck en función de la frecuencia : ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}$$

El proceso anterior que utiliza esta ecuación produce: El resultado neto es: Esto se resuelve de manera similar con la función W de Lambert: ^[17] dando = $${\displaystyle -{h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.}$$ $${\displaystyle x=3(1-e^{-x})\,.}$$ $${\displaystyle x=3+W_{0}(-3e^{-3})}$$ ${\displaystyle x}$2.821 439 372 122 078 893 ... . ^[14]

Resolviendo para produce: ^[13] ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu _{\mathrm {peak} }=xkT/h=}$(0,058 789 257 576 468 249 46 ... THz⋅K ⁻¹ ) . ${\displaystyle \cdot T}$

Parametrización por logaritmo de longitud de onda o frecuencia

Usando la ecuación implícita se obtiene el pico en la función de densidad de radiancia espectral expresada en el parámetro radiancia por ancho de banda proporcional . (Es decir, la densidad de irradiancia por ancho de banda de frecuencia proporcional a la frecuencia misma, que se puede calcular considerando intervalos infinitesimales de (o equivalentemente ) en lugar de la frecuencia misma.) Esta es quizás una forma más intuitiva de presentar la "longitud de onda de emisión máxima". Esto produce = ${\displaystyle x=4(1-e^{-x})}$ ${\displaystyle \ln \nu }$ ${\displaystyle \ln \lambda }$ ${\displaystyle x}$3.920 690 394 872 886 343 ... . ^[18]

Energía media del fotón como caracterización alternativa

Otra forma de caracterizar la distribución de la radiancia es a través de la energía media del fotón ^[11] donde es la función zeta de Riemann . La longitud de onda correspondiente a la energía media del fotón viene dada por $${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T\approx (\mathrm {3.7294\times 10^{-23}\,J/K} )\cdot T\;,}$$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle \lambda _{\langle E\rangle }\approx (\mathrm {0.532\,65\,cm{\cdot }K} )/T\,.}$$

Crítica

Marr y Wilkin (2012) sostienen que la enseñanza generalizada de la ley de desplazamiento de Wien en cursos introductorios no es deseable y que sería mejor reemplazarla por material alternativo. Argumentan que enseñar la ley es problemático porque:

1. La curva de Planck es demasiado amplia para que el pico destaque o se considere significativo;
2. la ubicación del pico depende de la parametrización, y citan varias fuentes que coinciden en que "la designación de cualquier pico de la función no es significativa y, por lo tanto, se le debe restar importancia";
3. En la práctica, la ley no se utiliza para determinar temperaturas, sino que se utiliza directamente la función de Planck .

Sugieren que la energía fotónica promedio se presente en lugar de la ley de desplazamiento de Wien, como un indicador físicamente más significativo de los cambios que ocurren con el cambio de temperatura. En relación con esto, recomiendan que el número promedio de fotones por segundo se discuta en relación con la ley de Stefan-Boltzmann . Recomiendan que el espectro de Planck se trace como una "distribución de densidad de energía espectral por ancho de banda fraccional", utilizando una escala logarítmica para la longitud de onda o la frecuencia. ^[11]

Véase también

• Aproximación de Viena
• Emisividad
• Ecuación de Sakuma-Hattori
• Ley de Stefan-Boltzmann
• Termómetro
• Catástrofe ultravioleta

Referencias

1. "Valor CODATA 2022: constante de la ley de desplazamiento de longitud de onda de Wien". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
2. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A081819 (Expansión decimal de la constante de la ley de desplazamiento de longitud de onda de Wien)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
3. Walker, J. Fundamentos de física, 8.ª ed., John Wiley and Sons, 2008, pág. 891. ISBN 9780471758013 . 
4. Feynman, R; Leighton, R; Sands, M. Las conferencias Feynman sobre física, vol. 1, págs. 35-2 – 35-3. ISBN 0201510030 . 
5. Neuhäuser, R; Torres, G; Mugrauer, M; Neuhäuser, DL; Chapman, J; Luge, D; Cosci, M (29 de julio de 2022). "Evolución del color de Betelgeuse y Antares a lo largo de dos milenios, derivada de registros históricos, como una nueva restricción sobre la masa y la edad". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 516 (1): 693–719. arXiv : 2207.04702 . doi : 10.1093/mnras/stac1969 . ISSN  0035-8711.
6. Mehra, J .; Rechenberg, H. (1982). El desarrollo histórico de la teoría cuántica . Nueva York: Springer-Verlag. Capítulo 1. ISBN 978-0-387-90642-3.
7. "1.1: La radiación del cuerpo negro no puede explicarse de forma clásica". 18 de marzo de 2020.
8. Wannier, GH (1987) [1966]. Física estadística . Publicaciones de Dover . Capítulo 10.2. ISBN 978-0-486-65401-0.OCLC 15520414  .
9. Buckingham, E. (1912). "Sobre la deducción de la ley de desplazamiento de Wien" (PDF) . Boletín de la Oficina de Normas . 8 (3): 545–557. doi :10.6028/bulletin.196. Archivado desde el original (PDF) el 6 de diciembre de 2020 . Consultado el 18 de octubre de 2020 .
10. Lowen, AN; Blanch, G. (1940). "Tablas de funciones de radiación y fotón de Planck". Revista de la Sociedad Óptica de América . 30 (2): 70. Bibcode :1940JOSA...30...70L. doi :10.1364/JOSA.30.000070.
11. Marr, Jonathan M.; Wilkin, Francis P. (2012). "Una mejor presentación de la ley de radiación de Planck". American Journal of Physics . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Código Bibliográfico :2012AmJPh..80..399M. doi :10.1119/1.3696974. S2CID  10556556.
12. King, Frank (2003). "Probability 2003-04, Capítulo 11, FUNCIONES DE DENSIDAD TRANSFORMADORAS". Universidad de Cambridge.
13. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A357838 (Expansión decimal de la constante de la ley de desplazamiento de frecuencia de Wien)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
14. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A194567". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
15. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A094090". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
16. Das, Biman (2002). "Obtención de la ley de desplazamiento de Wien a partir de la ley de radiación de Planck". The Physics Teacher . 40 (3): 148–149. Bibcode :2002PhTea..40..148D. doi :10.1119/1.1466547.
17. Williams, Brian Wesley (2014). "Una forma matemática específica para la ley de desplazamiento de Wien cuando νmax/T = constante". Revista de educación química . 91 (5): 623. Bibcode :2014JChEd..91..623W. doi : 10.1021/ed400827f .
18. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A256501". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

Lectura adicional

• Soffer, BH; Lynch, DK (1999). "Algunas paradojas, errores y resoluciones relativas a la optimización espectral de la visión humana". American Journal of Physics . 67 (11): 946–953. Bibcode :1999AmJPh..67..946S. doi :10.1119/1.19170. S2CID  16025855.
• Heald, MA (2003). "¿Dónde está el 'pico de Wien'?". American Journal of Physics . 71 (12): 1322–1323. Bibcode :2003AmJPh..71.1322H. doi :10.1119/1.1604387.

Enlaces externos

• El mundo de la física de Eric Weisstein