Superficie reglada

Superficie que contiene una línea que pasa por cada punto

Definición de superficie reglada: cada punto se encuentra en una línea

En geometría , una superficie S en el espacio euclidiano tridimensional es reglada (también llamada pergamino ) si a través de cada punto de S hay una línea recta que se encuentra sobre S. Algunos ejemplos incluyen el plano , la superficie lateral de un cilindro o cono , una superficie cónica con directriz elíptica , el conoide recto , el helicoide y la tangente desarrollable de una curva suave en el espacio.

Una superficie reglada puede describirse como el conjunto de puntos barridos por una línea recta en movimiento. Por ejemplo, un cono se forma manteniendo fijo un punto de una línea mientras se mueve otro punto a lo largo de un círculo . Una superficie es doblemente reglada si a través de cada uno de sus puntos hay dos líneas distintas que se encuentran sobre la superficie. El paraboloide hiperbólico y el hiperboloide de una lámina son superficies doblemente regladas. El plano es la única superficie que contiene al menos tres líneas distintas a través de cada uno de sus puntos (Fuchs y Tabachnikov 2007).

Las propiedades de ser reglado o doblemente reglado se conservan mediante aplicaciones proyectivas y, por lo tanto, son conceptos de geometría proyectiva . En geometría algebraica , las superficies regladas a veces se consideran superficies en un espacio afín o proyectivo sobre un cuerpo , pero también se las considera a veces como superficies algebraicas abstractas sin una incrustación en un espacio afín o proyectivo, en cuyo caso se entiende que "línea recta" significa una línea afín o proyectiva.

Definición y representación paramétrica

Superficie reglada generada por dos curvas de Bézier como directrices (roja, verde)

Una superficie en el espacio euclidiano tridimensional se denomina superficie reglada si es la unión de una familia de líneas diferenciables de un parámetro. Formalmente, una superficie reglada es una superficie que se describe mediante una representación paramétrica de la forma ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$

para variar en un intervalo y abarcar los números reales. ^[1] Se requiere que , y tanto como sean diferenciables. ^[1] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)\neq (0,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Cualquier línea recta con un parámetro fijo se denomina generador . Los vectores describen las direcciones de los generadores. La curva se denomina directriz de la representación. La directriz puede colapsar hasta formar un punto (en el caso de un cono, véase el ejemplo siguiente). ${\displaystyle v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)}$ ${\displaystyle u=u_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$ ${\displaystyle u\mapsto \mathbf {c} (u)}$

La superficie reglada anterior puede describirse alternativamente mediante

${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\mathbf {c} (u)+v\mathbf {d} (u)}$

con la segunda directriz . Para volver a la primera descripción comenzando con dos curvas que no se intersectan como directrices, establezca ${\displaystyle \mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u).}$

La forma geométrica de las directrices y las generadoras es, por supuesto, esencial para la forma de la superficie reglada que generan. Sin embargo, las representaciones paramétricas específicas de las mismas también influyen en la forma de la superficie reglada.

Ejemplos

Cilindro circular recto

cilindro, cono

Un cilindro circular recto se da por la ecuación

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}.}$

Se puede parametrizar como

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)}$

${\displaystyle =(a\cos u,a\sin u,0)+v(0,0,1)}$

${\displaystyle =(1-v)(a\cos u,a\sin u,0)+v(a\cos u,a\sin u,1).}$

con

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0),}$

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(0,0,1),}$

${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1).}$

Cono circular recto

Un cilindro circular recto se da por la ecuación

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}$

Se puede parametrizar como

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)+v(\cos u,\sin u,1)}$

${\displaystyle =(1-v)(\cos u,\sin u,1)+v(2\cos u,2\sin u,2).}$

con

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1),}$

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1),}$

${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2).}$

En este caso se podría haber utilizado el vértice como directriz, es decir

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(0,0,0)}$

y

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)}$

según las direcciones de la línea.

Para cualquier cono se puede elegir el vértice como directriz. Esto demuestra que la directriz de una superficie reglada puede degenerar hasta un punto .

Helicoide

helicoide

Un helicoide se puede parametrizar como

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(v\cos u,v\sin u,ku)}$

${\displaystyle =(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,0)}$

${\displaystyle =(1-v)(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,ku).}$

La directriz

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)}$

es el eje z, las direcciones de las líneas son

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,0)}$,

y la segunda directriz

${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)}$

es una hélice .

El helicoide es un caso especial de los helicoides generalizados reglados .

Cilindro, cono e hiperboloides

hiperboloide de una hoja para ${\displaystyle \varphi =63^{\circ }}$

La representación paramétrica

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)+v(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)}$

tiene dos círculos horizontales como directrices. El parámetro adicional permite variar las representaciones paramétricas de los círculos. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =0}$uno consigue el cilindro , ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle \varphi =\pi /2}$Uno se lleva el cono , ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2}$Se obtiene un hiperboloide de una hoja con ecuación y los semiejes . ${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ ${\displaystyle a=\cos \varphi ,c=\cot \varphi }$

Un hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada.

Paraboloide hiperbólico

Paraboloide hiperbólico

Si las dos directrices en (CD) son las rectas

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$

Uno consigue

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}+v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}}$,

que es el paraboloide hiperbólico que interpola los 4 puntos bilinealmente. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2}}$

La superficie está doblemente reglada, porque cualquier punto se encuentra sobre dos líneas de la superficie.

Para el ejemplo que se muestra en el diagrama:

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=(0,0,0),\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0),\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0),\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1).}$

El paraboloide hiperbólico tiene la ecuación . ${\displaystyle z=xy}$

Banda de Möbius

Banda de Möbius

La superficie reglada

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$

con

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)}$(círculo como directriz),

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)\quad 0\leq u<\pi ,}$

Contiene una cinta de Möbius.

El diagrama muestra la banda de Möbius para . ${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$

Un cálculo sencillo muestra (ver la siguiente sección) que la realización dada de una banda de Möbius no es desarrollable . Pero existen bandas de Möbius desarrollables. ^[3] ${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0),\mathbf {\dot {r}} (0),\mathbf {r} (0))\neq 0}$

Más ejemplos

• Conoide
• Superficie catalana
• Rodillos desarrollables ( oloides , esféricos )
• Tangente desarrollable

Superficies desarrollables

Para la determinación del vector normal en un punto se necesitan las derivadas parciales de la representación : ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\mathbf {\dot {r}} (u)}$,

${\displaystyle \mathbf {x} _{v}=\mathbf {r} (u)}$.

Por lo tanto el vector normal es

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} ).}$

Como (Un producto mixto de dos vectores iguales es siempre 0), es un vector tangente en cualquier punto . Los planos tangentes a lo largo de esta línea son todos iguales, si es un múltiplo de . Esto es posible solo si los tres vectores se encuentran en un plano, es decir, si son linealmente dependientes. La dependencia lineal de tres vectores se puede comprobar utilizando el determinante de estos vectores: ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} }$

Los planos tangentes a lo largo de la línea son iguales, si ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\mathbf {r} (u_{0})}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0}),\mathbf {\dot {r}} (u_{0}),\mathbf {r} (u_{0}))=0}$.

Una superficie lisa con curvatura gaussiana cero se llama desarrollable en un plano o simplemente desarrollable . La condición determinante se puede utilizar para demostrar la siguiente afirmación:

Una superficie reglada es desarrollable si y sólo si ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} )=0}$

en cada punto. ^[4]

Las generatrices de cualquier superficie reglada se fusionan con una familia de sus líneas asintóticas. En el caso de superficies desarrollables, también forman una familia de sus líneas de curvatura . Se puede demostrar que cualquier superficie desarrollable es un cono, un cilindro o una superficie formada por todas las tangentes de una curva espacial. ^[5]

Conexión desarrollable de dos elipses y su desarrollo

La condición determinante de superficies desarrollables se utiliza para determinar numéricamente conexiones desarrollables entre curvas espaciales (directrices). El diagrama muestra una conexión desarrollable entre dos elipses contenidas en planos diferentes (uno horizontal, el otro vertical) y su desarrollo. ^[6]

En Diseño interactivo de superficies desarrollables se ofrece una impresión del uso de superficies desarrollables en el diseño asistido por ordenador ( CAD ) . ^[7]

Se puede encontrar un estudio histórico sobre superficies desarrollables en Superficies desarrollables: su historia y aplicación . ^[8]

Superficies regladas en geometría algebraica

En geometría algebraica , las superficies regladas se definieron originalmente como superficies proyectivas en el espacio proyectivo que contienen una línea recta a través de cualquier punto dado. Esto implica inmediatamente que hay una línea proyectiva en la superficie a través de cualquier punto dado, y esta condición se usa ahora a menudo como la definición de una superficie reglada: las superficies regladas se definen como superficies proyectivas abstractas que satisfacen esta condición de que hay una línea proyectiva a través de cualquier punto. Esto es equivalente a decir que son biracionales al producto de una curva y una línea proyectiva. A veces, una superficie reglada se define como una que satisface la condición más fuerte de que tiene una fibración sobre una curva con fibras que son líneas proyectivas. Esto excluye el plano proyectivo, que tiene una línea proyectiva a través de cada punto pero no puede escribirse como tal fibración.

Las superficies regladas aparecen en la clasificación de Enriques de superficies complejas proyectivas, porque toda superficie algebraica de dimensión Kodaira es una superficie reglada (o un plano proyectivo, si se utiliza la definición restrictiva de superficie reglada). Toda superficie reglada proyectiva mínima distinta del plano proyectivo es el fibrado proyectivo de un fibrado vectorial bidimensional sobre alguna curva. Las superficies regladas con curva base de género 0 son las superficies de Hirzebruch . ${\displaystyle -\infty }$

Superficies regladas en arquitectura

Las superficies doblemente regladas son la inspiración para las estructuras hiperboloides curvas que se pueden construir con una red de elementos rectos, a saber:

• Paraboloides hiperbólicos, como tejados a dos aguas .
• Hiperboloides de una sola hoja, como las torres de refrigeración y algunos contenedores de basura .

El motor de cohete RM-81 Agena empleaba canales de enfriamiento rectos que estaban dispuestos en una superficie reglada para formar la garganta de la sección de la boquilla .

• 
  Torres hiperbólicas de enfriamiento en la central eléctrica de Didcot , Reino Unido; la superficie puede ser doblemente gobernada.
• 
  Torre de agua de doble pared con depósito toroidal , obra de Jan Bogusławski en Ciechanów , Polonia
• 
  Una torre hiperboloide del puerto de Kobe , Kobe , Japón, con doble rayado.
• 
  Torre de agua hiperboloide, 1896 en Nizhny Novgorod .
• 
  La estructura reticular de la Torre Shújov en Moscú, cuyas secciones están doblemente regladas.
• 
  Una escalera de caracol helicoidal reglada en el interior del Torrazzo de Cremona .
• 
  Iglesia del pueblo de Selo, Eslovenia: tanto el techo (cónico) como la pared (cilíndrica) son superficies regladas.
• 
  Un techo paraboloide hiperbólico de la estación de tren Warszawa Ochota en Varsovia , Polonia.
• 
  Un sombrero cónico reglado .
• 
  Tejas onduladas regidas por líneas paralelas en una dirección y sinusoidales en la dirección perpendicular
• 
  Construcción de una superficie plana mediante reglaje ( enrasado ) de hormigón

Referencias

Notas

1. do Carmo 1976, pág. 188.
2. G. Farin: Curvas y superficies para diseño geométrico asistido por computadora , Academic Press, 1990, ISBN  0-12-249051-7 , pág. 250
3. W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband , Monatshefte für Mathematik 66, 1962, págs. 276-289.
4. W. Kühnel: Geometría diferencial , p. 58–60
5. G. Farin: pág. 380
6. E. Hartmann: Geometría y algoritmos para CAD, nota de clase, TU Darmstadt, pág. 113
7. Tang, Bo, Wallner, Pottmann: Diseño interactivo de superficies desarrollables, ACM Trans. Graph. (MES DE 2015), DOI: 10.1145/2832906
8. Snezana Lawrence : Superficies desarrollables: su historia y aplicación, en Nexus Network Journal 13(3) · Octubre de 2011, doi :10.1007/s00004-011-0087-z

Fuentes

• do Carmo, Manfredo P. (1976), Geometría diferencial de curvas y superficies (1.ª ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0132125895
• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, Sr.  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , London Mathematical Society Student Texts, vol. 34 (2.ª ed.), Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3, Sr.  1406314
• Edge, WL (1931), La teoría de superficies regladas, Cambridge University Press – vía Internet ArchiveReseña: Boletín de la Sociedad Matemática Americana 37 (1931), 791-793, doi :10.1090/S0002-9904-1931-05248-4
• Fuchs, D.; Tabachnikov, Serge (2007), "16.5 No existen superficies no planas con triple regla", Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, pág. 228, ISBN 9780821843161.
• Li, Ta-tsien, ed. (2011), Problemas y soluciones en matemáticas, 3103 (2.ª ed.), World Scientific Publishing Company , ISBN 9789810234805.
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría y la imaginación (2.ª ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Superficie reglada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sharp, John (2008), D-Forms: nuevas y sorprendentes formas 3-D a partir de formas curvas planas , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3Reseña: Séquin, Carlo H. (2009), Revista de Matemáticas y Artes 3: 229–230, doi :10.1080/17513470903332913

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Superficie reglada". MathWorld .
• Imágenes de superficies regladas de la Universidad de Arizona
• Ejemplos de superficies desarrollables en el sitio web de Rhino3DE