Divisor

Entero que es factor de otro entero

Los divisores de 10 ilustrados con barras de Cuisenaire : 1, 2, 5 y 10

En matemáticas , un divisor de un número entero , también llamado factor de, es un número entero que puede multiplicarse por algún número entero para producir ^[1] En este caso, también se dice que es un múltiplo de Un número entero es divisible o divisible de manera uniforme por otro número entero si es divisor de ; esto implica que dividir por no deja resto. ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Definición

Un número entero es divisible por un número entero distinto de cero si existe un número entero tal que Esto se escribe como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n=km.}$

${\displaystyle m\mid n.}$

Esto puede leerse como que divide es un divisor de es un factor de o es un múltiplo de Si no divide entonces la notación es ^{[2] [3]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m\not \mid n.}$

Hay dos convenciones, que se distinguen según si se permite que sea cero: ${\displaystyle m}$

• Con la convención sin restricción adicional para cada entero ^{[2] [3]} ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m\mid 0}$ ${\displaystyle m.}$
• Con la convención de que sea distinto de cero, para cada entero distinto de cero ^{[4] [5]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\mid 0}$ ${\displaystyle m.}$

General

Los divisores pueden ser tanto negativos como positivos, aunque a menudo el término se limita a los divisores positivos. Por ejemplo, hay seis divisores de 4: 1, 2, 4, −1, −2 y −4, pero normalmente solo se mencionarían los positivos (1, 2 y 4).

1 y −1 dividen (son divisores de) todo número entero. Todo número entero (y su negación) es divisor de sí mismo. Los números enteros divisibles por 2 se denominan pares y los números enteros no divisibles por 2 se denominan impares .

1, −1 y se conocen como divisores triviales de Un divisor de que no es un divisor trivial se conoce como divisor no trivial (o divisor estricto ^[6] ). Un entero distinto de cero con al menos un divisor no trivial se conoce como número compuesto , mientras que las unidades −1 y 1 y los números primos no tienen divisores no triviales. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$

Existen reglas de divisibilidad que permiten reconocer ciertos divisores de un número a partir de los dígitos del número.

Ejemplos

Gráfico del número de divisores de números enteros del 1 al 1000. Los números primos tienen exactamente 2 divisores y los números altamente compuestos están en negrita.

• 7 es divisor de 42 porque entonces podemos decir También se puede decir que 42 es divisible por 7, 42 es múltiplo de 7, 7 divide a 42 o 7 es un factor de 42. ${\displaystyle 7\times 6=42,}$ ${\displaystyle 7\mid 42.}$
• Los divisores no triviales de 6 son 2, −2, 3, −3.
• Los divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• El conjunto de todos los divisores positivos de 60, parcialmente ordenados por divisibilidad, tiene el diagrama de Hasse : ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$

Más nociones y hechos

Hay algunas reglas elementales:

• Si y entonces es decir, la divisibilidad es una relación transitiva . ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid c,}$ ${\displaystyle a\mid c;}$
• Si y entonces o ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid a,}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=-b.}$
• Si y entonces se cumple, como también ^[a] Sin embargo, si y entonces no siempre se cumple (por ejemplo, y pero 5 no divide a 6). ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid c,}$ ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ ${\displaystyle a\mid (b-c).}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle c\mid b,}$ ${\displaystyle (a+c)\mid b}$ ${\displaystyle 2\mid 6}$ ${\displaystyle 3\mid 6}$

Si y entonces ^[b] Esto se llama lema de Euclides . ${\displaystyle a\mid bc,}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$ ${\displaystyle a\mid c.}$

Si es un número primo y entonces o ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\mid ab}$ ${\displaystyle p\mid a}$ ${\displaystyle p\mid b.}$

Un divisor positivo de que es diferente de se llama ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$divisor propio o unparte alícuota de(por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3). Un número que no se divide de manera uniforme, pero que deja un resto, a veces se denomina ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$parte aliquant de ${\displaystyle n.}$

Un número entero cuyo único divisor propio es 1 se llama número primo . De manera equivalente, un número primo es un número entero positivo que tiene exactamente dos factores positivos: 1 y él mismo. ${\displaystyle n>1}$

Cualquier divisor positivo de es un producto de divisores primos de elevado a alguna potencia. Esto es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Se dice que un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que y abundante si esta suma excede ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n.}$

El número total de divisores positivos de es una función multiplicativa, lo que significa que cuando dos números y son primos entre sí , entonces Por ejemplo, ; los ocho divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Sin embargo, el número de divisores positivos no es una función totalmente multiplicativa: si los dos números y comparten un divisor común, entonces podría no ser cierto que La suma de los divisores positivos de es otra función multiplicativa (por ejemplo, ). Ambas funciones son ejemplos de funciones divisoras . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n),}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ ${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

Si la factorización prima de está dada por ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

entonces el número de divisores positivos de es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

y cada uno de los divisores tiene la forma

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

donde para cada uno ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Para cada natural ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

Además, ^[7]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . Una interpretación de este resultado es que un entero positivo elegido al azar n tiene un número promedio de divisores de aproximadamente Sin embargo, este es un resultado de las contribuciones de números con "una cantidad anormal" de divisores . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ln n.}$

En álgebra abstracta

Teoría de anillos

Red de división

En las definiciones que permiten que el divisor sea 0, la relación de divisibilidad convierte al conjunto de números enteros no negativos en un conjunto parcialmente ordenado que es un retículo distributivo completo . El elemento más grande de este retículo es 0 y el más pequeño es 1. La operación de encuentro ∧ está dada por el máximo común divisor y la operación de unión ∨ por el mínimo común múltiplo . Este retículo es isomorfo al dual del retículo de subgrupos del grupo cíclico infinito Z. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Véase también

• Funciones aritméticas
• Algoritmo euclidiano
• Fracción (matemáticas)
• Factorización de números enteros
• Tabla de divisores : tabla de divisores primos y no primos del 1 al 1000
• Tabla de factores primos – Tabla de factores primos para 1–1000
• Divisor unitario

Notas

1. De manera similar, ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b+c).}$ ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b-c).}$
2. se refiere al máximo común divisor . ${\displaystyle \gcd }$

Citas

1. Tanton 2005, pág. 185
2. Hardy & Wright 1960, pág. 1
3. Niven, Zuckerman y Montgomery 1991, pág. 4
4. Sims 1984, pág. 42
5. Durbin (2009), pág. 57, Capítulo III Sección 10
6. "FoCaLiZe y Dedukti al rescate de la interoperabilidad de pruebas por Raphael Cauderlier y Catherine Dubois" (PDF) .
7. Hardy & Wright 1960, pág. 264, Teorema 320

Referencias

• Durbin, John R. (2009). Álgebra moderna: una introducción (6.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
• Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Springer Verlag , ISBN 0-387-20860-7; sección B
• Hardy, GH ; Wright, EM (1960). Introducción a la teoría de números (4ª ed.). Oxford University Press.
• Herstein, IN (1986), Álgebra abstracta , Nueva York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). Introducción a la teoría de números (quinta edición). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-62546-9.
• Øystein Ore , Teoría de números y su historia, McGraw–Hill, NY, 1944 (y reimpresiones de Dover).
• Sims, Charles C. (1984), Álgebra abstracta: un enfoque computacional , Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9
• Tanton, James (2005). Enciclopedia de matemáticas. Nueva York: Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0.OCLC 56057904  .