Distribución de probabilidad que modela un lanzamiento de moneda que no tiene por qué ser justo
En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de Bernoulli , llamada así en honor al matemático suizo Jacob Bernoulli , [1] es la distribución de probabilidad discreta de una variable aleatoria que toma el valor 1 con probabilidad y el valor 0 con probabilidad . De manera menos formal, se puede considerar como un modelo para el conjunto de posibles resultados de cualquier experimento que plantee una pregunta de sí o no . Estas preguntas conducen a resultados con valores booleanos : un solo bit cuyo valor es éxito/ sí / verdadero / uno con probabilidad p y fracaso/no/ falso / cero con probabilidad q . Se puede utilizar para representar un lanzamiento de moneda (posiblemente sesgado) donde 1 y 0 representarían "cara" y "cruz", respectivamente, y p sería la probabilidad de que la moneda caiga en cara (o viceversa, donde 1 representaría cruz). y p sería la probabilidad de que salga cruz). En particular, las monedas injustas tendrían
La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial en el que se realiza una única prueba (por lo que n sería 1 para dicha distribución binomial). También es un caso especial de la distribución de dos puntos , para la cual los resultados posibles no necesitan ser 0 y 1. [2]
Propiedades
Si es una variable aleatoria con distribución de Bernoulli, entonces:
La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con [4]
La curtosis llega al infinito para valores altos y bajos de pero las distribuciones de dos puntos, incluida la distribución de Bernoulli, tienen un exceso de curtosis menor , es decir, −2, que cualquier otra distribución de probabilidad.
Con este resultado es fácil demostrar que, para cualquier distribución de Bernoulli, su varianza tendrá un valor dentro de .
Oblicuidad
La asimetría es . Cuando tomamos la variable aleatoria distribuida estandarizada de Bernoulli encontramos que esta variable aleatoria alcanza con probabilidad y alcanza con probabilidad . Así obtenemos
Momentos superiores y cumulantes
Los momentos crudos son todos iguales debido al hecho de que y .
El momento central de orden está dado por
Los primeros seis momentos centrales son
Los momentos centrales superiores se pueden expresar de manera más compacta en términos de y
^ Uspensky, James Víctor (1937). Introducción a la probabilidad matemática . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 45. OCLC 996937.
^ Dekking, Frederik; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik; Meester, Ludolf (9 de octubre de 2010). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística (1 ed.). Springer Londres. págs. 43–48. ISBN9781849969529.