Distribución t no central

Distribución de probabilidad

La distribución t no central generaliza la distribución t de Student utilizando un parámetro de no centralidad . Mientras que la distribución de probabilidad central describe cómo se distribuye una estadística de prueba t cuando la diferencia probada es nula, la distribución no central describe cómo se distribuye t cuando la hipótesis nula es falsa. Esto conduce a su uso en estadística, especialmente en el cálculo de potencia estadística . La distribución t no central también se conoce como distribución t no central simple y, además de su uso principal en inferencia estadística , también se utiliza en el modelado robusto de datos .

Definiciones

Si Z es una variable aleatoria normal estándar y V es una variable aleatoria distribuida mediante chi-cuadrado con ν grados de libertad que es independiente de Z , entonces

${\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}}$

es una variable aleatoria distribuida t no central con ν grados de libertad y parámetro de no centralidad μ ≠ 0. Tenga en cuenta que el parámetro de no centralidad puede ser negativo.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución t no central con ν grados de libertad y parámetro de no centralidad μ se puede expresar como ^[1]

${\displaystyle F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],}$

${\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)}$es la función beta incompleta regularizada ,

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},}$

${\displaystyle p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

${\displaystyle q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

y Φ es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar .

Alternativamente, la distribución t no central CDF se puede expresar como ^{[ cita requerida ]} :

${\displaystyle F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}}$

donde Γ es la función gamma e I es la función beta incompleta regularizada .

Aunque existen otras formas de la función de distribución acumulativa, la primera forma presentada anteriormente es muy fácil de evaluar a través del cálculo recursivo . ^[1] En el software estadístico R , la función de distribución acumulativa se implementa como pt .

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) para la distribución t no central con ν > 0 grados de libertad y parámetro de no centralidad μ se puede expresar de varias formas.

La forma hipergeométrica confluente de la función de densidad es

${\displaystyle f(x)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{StudentT}}(x\,;\,\mu =0)}\exp {\big (}-{\tfrac {\mu ^{2}}{2}}{\big )}{\Big \{}A_{\nu }(x\,;\,\mu )+B_{\nu }(x\,;\,\mu ){\Big \}},}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\nu }(x\,;\,\mu )&={_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}}\,;\,{\frac {1}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\\B_{\nu }(x\,;\,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}{_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}}$

y donde ₁ F ₁ es una función hipergeométrica confluente .

Una forma integral alternativa es ^[2]

${\displaystyle f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\exp \left(-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})2^{\frac {\nu -1}{2}}(x^{2}+\nu )^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right)dy.}$

Una tercera forma de la densidad se obtiene utilizando sus funciones de distribución acumulativa, como sigue.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\nu }{x}}\left\{F_{\nu +2,\mu }\left(x{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(x)\right\},&{\mbox{if }}x\neq 0;\\{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}x=0.\end{cases}}}$

Este es el enfoque implementado por la función dt en R.

Propiedades

Momentos de lo no centrala-distribución

En general, el k -ésimo momento bruto de la distribución t no central es ^[3]

${\displaystyle {\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}\nu >k;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq k.\\\end{cases}}}$

En particular, la media y la varianza de la distribución t no central son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{E}}\left[T\right]&={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}},&{\mbox{if }}\nu >1;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\{\mbox{Var}}\left[T\right]&={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2},&{\mbox{if }}\nu >2;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Una excelente aproximación a es , que se puede utilizar en ambas fórmulas. ^{[4] [5]} ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}}$ ${\displaystyle \left(1-{\frac {3}{4\nu -1}}\right)^{-1}}$

Asimetría

La distribución t no central es asimétrica a menos que μ sea cero, es decir, una distribución t central . Además, la asimetría se vuelve más pequeña cuanto mayor es el grado de libertad. La cola derecha será más pesada que la izquierda cuando μ > 0, y viceversa. Sin embargo, la asimetría habitual no suele ser una buena medida de asimetría para esta distribución, porque si los grados de libertad no son mayores que 3, el tercer momento no existe en absoluto. Incluso si los grados de libertad son mayores que 3, la estimación muestral de la asimetría sigue siendo muy inestable a menos que el tamaño de la muestra sea muy grande.

Modo

La distribución t no central es siempre unimodal y tiene forma de campana, pero la moda no está disponible analíticamente, aunque para μ ≠ 0 tenemos ^[6]

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +(5/2)}}}<{\frac {\mathrm {mode} }{\mu }}<{\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}}$

En particular, la moda siempre tiene el mismo signo que el parámetro de no centralidad μ. Además, el negativo de la moda es exactamente la moda para una distribución t no central con el mismo número de grados de libertad ν pero parámetro de no centralidad −μ.

La moda aumenta estrictamente con μ (siempre se mueve en la misma dirección en la que se ajusta μ). En el límite, cuando μ → 0, la moda se aproxima mediante

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)}}\mu ;\,}$

y cuando μ → ∞, la moda se aproxima mediante

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}\mu .}$

Distribuciones relacionadas

• Distribución t central : la distribución t central se puede convertir en una familia de ubicación / escala . Esta familia de distribuciones se utiliza en el modelado de datos para capturar diversos comportamientos de cola. La generalización de ubicación/escala de la distribución t central es una distribución diferente de la distribución t no central analizada en este artículo. En particular, esta aproximación no respeta la asimetría de la distribución t no central . Sin embargo, la distribución t central se puede utilizar como una aproximación a la distribución t no central . ^[7]
• Si T tiene una distribución t no central con ν grados de libertad y un parámetro de no centralidad μ y F = T ² , entonces F tiene una distribución F no central con 1 grado de libertad en el numerador, ν grados de libertad en el denominador y un parámetro de no centralidad μ ² .
• Si T tiene una distribución t no central con ν grados de libertad y un parámetro de no centralidad μ y , entonces Z tiene una distribución normal con media μ y varianza unitaria. ${\displaystyle Z=\lim _{\nu \rightarrow \infty }T}$
• Cuando el parámetro de no centralidad del denominador de una distribución t doblemente no central es cero, entonces se convierte en una distribución t no central .

Casos especiales

• Cuando μ = 0, la distribución t no central se convierte en la distribución t central (de Student) con los mismos grados de libertad.

Ocurrencia y aplicaciones

Uso en análisis de potencia

Supongamos que tenemos una muestra independiente e idénticamente distribuida X ₁ , ..., X _{n ,} cada una de las cuales se distribuye normalmente con media θ y varianza σ ² , y estamos interesados ​​en probar la hipótesis nula θ = 0 frente a la hipótesis alternativa θ ≠ 0. Podemos realizar una prueba t de una muestra utilizando la estadística de prueba

${\displaystyle T={\frac {\bar {X}}{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\bar {X}}-\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}+{\frac {\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}}{\sqrt {\left.\left({\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}/(n-1)}}\right)\right/(n-1)}}}}$

donde es la media de la muestra y es la varianza de la muestra no sesgada . Dado que el lado derecho de la segunda igualdad coincide exactamente con la caracterización de una distribución t no central como se describió anteriormente, T tiene una distribución t no central con n −1 grados de libertad y parámetro de no centralidad . ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}\,\!}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}\theta /\sigma \,\!}$

Si el procedimiento de prueba rechaza la hipótesis nula siempre que , donde es el cuartil α/2 superior de la distribución t de Student (central) para un α ∈ (0, 1) preespecificado, entonces la potencia de esta prueba está dada por ${\displaystyle |T|>t_{1-\alpha /2}\,\!}$ ${\displaystyle t_{1-\alpha /2}\,\!}$

${\displaystyle 1-F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(t_{1-\alpha /2})+F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(-t_{1-\alpha /2}).}$

Se pueden encontrar aplicaciones similares de la distribución t no central en el análisis de potencia de los modelos lineales de la teoría normal general , que incluye la prueba t de una muestra mencionada anteriormente como un caso especial.

Utilizar en intervalos de tolerancia

Los intervalos de tolerancia normales unilaterales tienen una solución exacta en términos de la media de la muestra y la varianza de la muestra basada en la distribución t no central . ^[8] Esto permite el cálculo de un intervalo estadístico dentro del cual, con cierto nivel de confianza, cae una proporción específica de una población muestreada.

Véase también

• Distribución F no central

Referencias

1. distribución t no central ". Revista de la Royal Statistical Society, Serie C . 38 (1): 185–189. JSTOR  2347693.
2. L. Scharf, Procesamiento estadístico de señales, (Massachusetts: Addison-Wesley, 1991), pág. 177.
3. distribución t no central ". Biometrika . 48 (3–4): 465–468. doi :10.1093/biomet/48.3-4.465. hdl : 2027/coo.31924001119068 . JSTOR  2332772.
4. Hedges, Larry V. (junio de 1981). "Teoría de la distribución para el estimador de Glass del tamaño del efecto y estimadores relacionados". Journal of Educational Statistics . 6 (2): 107–128. doi :10.3102/2F10769986006002107.
5. Tothfalusi, Laszlo; Endrenyi, Laszlo (1 de marzo de 2016). "Un procedimiento exacto para la evaluación de la bioequivalencia promedio en escala de referencia". The AAPS Journal . 18 (2): 476–489. doi : 10.1208/s12248-016-9873-6 . PMC 4779113 . 
6. van Aubel, A; Gawronski, W (2003). "Propiedades analíticas de distribuciones no centrales". Matemáticas Aplicadas y Computación . 141 : 3–12. doi :10.1016/S0096-3003(02)00316-8.
7. Helena Chmura Kraemer; Minja Paik (1979). "Una aproximación t central a la distribución t no central". Technometrics . 21 (3): 357–360. doi :10.1080/00401706.1979.10489781. JSTOR  1267759.
8. Derek S. Young (agosto de 2010). «tolerancia: un paquete R para estimar intervalos de tolerancia». Journal of Statistical Software . 36 (5): 1–39. ISSN  1548-7660 . Consultado el 19 de febrero de 2013 ., pág. 23

Enlaces externos

• Eric W. Weisstein. "Distribución t de Student no central". De MathWorld, un recurso web de Wolfram
• Cálculo de alta precisión para la vida o la ciencia: Distribución t no central de la compañía Casio.