Distribución seminormal

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución seminormal es un caso especial de la distribución normal plegada .

Sea que sigue una distribución normal ordinaria , . Luego, sigue una distribución seminormal. Por lo tanto, la distribución seminormal es un pliegue en la media de una distribución normal ordinaria con media cero. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y=|X|}$

Propiedades

Utilizando la parametrización de la distribución normal, la función de densidad de probabilidad (PDF) de la seminormal está dada por ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

dónde . ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

Alternativamente, utilizando una parametrización de precisión escalada (inversa de la varianza) (para evitar problemas si es cercana a cero), obtenida al establecer , la función de densidad de probabilidad se da por ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,}$

dónde . ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$

La función de distribución acumulativa (CDF) está dada por

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

Utilizando el cambio de variables , la CDF se puede escribir como ${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

donde erf es la función de error , una función estándar en muchos paquetes de software matemático.

La función cuantil (o CDF inversa) se escribe:

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$

donde y es la función de error inversa ${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$

La expectativa entonces viene dada por

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},}$

La varianza viene dada por

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

Dado que esto es proporcional a la varianza σ ² de X , σ puede verse como un parámetro de escala de la nueva distribución.

La entropía diferencial de la distribución seminormal es exactamente un bit menos que la entropía diferencial de una distribución normal de media cero con el mismo segundo momento en torno a 0. Esto se puede entender intuitivamente, ya que el operador de magnitud reduce la información en un bit (si la distribución de probabilidad en su entrada es par). Alternativamente, dado que una distribución seminormal es siempre positiva, el bit que se necesitaría para registrar si una variable aleatoria normal estándar fuera positiva (por ejemplo, un 1) o negativa (por ejemplo, un 0) ya no es necesario. Por lo tanto,

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.}$

Aplicaciones

La distribución seminormal se utiliza comúnmente como una distribución de probabilidad previa para parámetros de varianza en aplicaciones de inferencia bayesiana . ^{[1] [2]}

Estimación de parámetros

Dados los números extraídos de una distribución seminormal, el parámetro desconocido de esa distribución se puede estimar mediante el método de máxima verosimilitud , dando ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

El sesgo es igual a

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}}$

que produce el estimador de máxima verosimilitud corregido por sesgo

${\displaystyle {\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.}$

Distribuciones relacionadas

• La distribución es un caso especial de la distribución normal plegada con μ  = 0.
• También coincide con una distribución normal de media cero truncada desde abajo en cero (ver distribución normal truncada )
• Si Y tiene una distribución seminormal, entonces ( Y / σ ) ² tiene una distribución de chi cuadrado con 1 grado de libertad, es decir, Y / σ tiene una distribución de chi con 1 grado de libertad.
• La distribución seminormal es un caso especial de la distribución gamma generalizada con d  = 1, p  = 2, a  =  . ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$
• Si Y tiene una distribución seminormal, Y ^-2 tiene una distribución de Lévy
• La distribución de Rayleigh es una generalización escalada e inclinada por momentos de la distribución seminormal.
• La distribución seminormal modificada ^[3] con la función de densidad de probabilidad activada se da como , donde denota la función Psi de Fox–Wright . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Véase también

• Distribución t- media
• Distribución normal truncada
• Distribución normal plegada
• Distribución gaussiana rectificada

Referencias

1. Gelman, A. (2006), "Distribuciones previas para parámetros de varianza en modelos jerárquicos", Bayesian Analysis , 1 (3): 515–534, doi : 10.1214/06-ba117a
2. Röver, C.; Bender, R.; Dias, S.; Schmid, CH; Schmidli, H.; Sturtz, S.; Weber, S.; Friede, T. (2021), "Sobre distribuciones previas débilmente informativas para el parámetro de heterogeneidad en el metanálisis bayesiano de efectos aleatorios", Research Synthesis Methods , 12 (4): 448–474, arXiv : 2007.08352 , doi : 10.1002/jrsm.1475, PMID  33486828, S2CID  220546288
3. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente". Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

Lectura adicional

• Leone, FC; Nelson, LS; Nottingham, RB (1961), "La distribución normal plegada", Technometrics , 3 (4): 543–550, doi :10.2307/1266560, hdl : 2027/mdp.39015095248541 , JSTOR  1266560

Enlaces externos

• Distribución seminormal en MathWorld

(tenga en cuenta que MathWorld utiliza el parámetro ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}}$