Distribución secante hiperbólica

Distribución de probabilidad continua

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución secante hiperbólica es una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad de probabilidad y función característica son proporcionales a la función secante hiperbólica . La función secante hiperbólica es equivalente al coseno hiperbólico recíproco , por lo que esta distribución también se denomina distribución cosh inversa .

La generalización de la distribución da lugar a la distribución Meixner , también conocida como distribución secante hiperbólica generalizada de la familia exponencial natural o distribución NEF-GHS .

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria sigue una distribución secante hiperbólica si su función de densidad de probabilidad se puede relacionar con la siguiente forma estándar de función de densidad mediante una transformación de ubicación y desplazamiento:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {sech} {\frac {\pi x}{2}},}$

donde "sech" denota la función secante hiperbólica.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución estándar es una versión escalada y desplazada de la función de Gudermann ,

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&={\frac {1}{2}}+{{\frac {1}{\pi }}\arctan }{\Bigl (}{\operatorname {sinh} {\frac {\pi x}{2}}}{\Bigr )}\\[8mu]&={{\frac {2}{\pi }}\arctan }{\Bigl (}{\exp {\frac {\pi x}{2}}}{\Bigr )}.\end{aligned}}}$

donde "arctan" es la función tangente inversa (circular) .

Johnson et al. (1995) ^{[1] : 147} ubica esta distribución en el contexto de una clase de formas generalizadas de la distribución logística , pero utiliza una parametrización diferente de la distribución estándar en comparación con la que se presenta aquí. Ding (2014) ^[2] muestra tres apariciones de la distribución secante hiperbólica en el modelado estadístico y la inferencia.

Propiedades

La distribución secante hiperbólica comparte muchas propiedades con la distribución normal estándar : es simétrica con varianza unitaria y media , mediana y moda cero , y su función de densidad de probabilidad es proporcional a su función característica. Sin embargo, la distribución secante hiperbólica es leptocúrtica ; es decir, tiene un pico más agudo cerca de su media y colas más pesadas, en comparación con la distribución normal estándar. Tanto la distribución secante hiperbólica como la distribución logística son casos especiales de la distribución de Champernowne , que tiene colas exponenciales.

La cdf inversa (o función cuantil) para una variable uniforme 0 ≤ p < 1 es

${\displaystyle F^{-1}(p)=-{\frac {2}{\pi }}\,\operatorname {arsinh} \!\left[\cot(\pi \,p)\right]\!,}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\,\ln \!\left[\tan \left({\frac {\pi }{2}}\,p\right)\right]\!.}$

donde "arsinh" es la función seno hiperbólico inverso y "cot" es la función cotangente (circular) .

Generalizaciones

Circunvolución

Considerando la suma (escalada) de variables aleatorias secantes hiperbólicas independientes e idénticamente distribuidas : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle X={\frac {1}{\sqrt {r}}}\;(X_{1}+X_{2}+\;...\;+X_{r})}$

entonces en el límite la distribución de tenderá a la distribución normal , de acuerdo con el teorema del límite central . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(0,1)}$

Esto permite definir una familia conveniente de distribuciones con propiedades intermedias entre la secante hiperbólica y la distribución normal, controladas por el parámetro de forma , que se puede extender a valores no enteros a través de la función característica ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \varphi (t)={\big (}\operatorname {sech} (t/{\sqrt {r}}){\big )}^{r}}$

Los momentos se pueden calcular fácilmente a partir de la función característica. Se ha descubierto que el exceso de curtosis es . ${\displaystyle 2/r}$

Ubicación y escala

La distribución (y sus generalizaciones) también se pueden cambiar y escalar de manera trivial de la forma habitual para obtener una familia de ubicación-escala correspondiente :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

Sesgar

Se puede obtener una forma sesgada de la distribución multiplicando por la exponencial y normalizando, para dar la distribución. ${\displaystyle e^{\theta x},|{\theta }|<{\pi }/2}$

${\displaystyle f(x)=\cos \theta \;{\frac {e^{\theta x}}{2\operatorname {cosh} ({\frac {\pi x}{2}})}}}$

donde el valor del parámetro corresponde a la distribución original. ${\displaystyle \theta =0}$

Curtosis

La distribución de Champernowne tiene un parámetro adicional para dar forma al núcleo o las alas.

Distribución de Meixner

Al permitir los cuatro ajustes anteriores se obtiene una distribución con cuatro parámetros que controlan la forma, la inclinación, la ubicación y la escala respectivamente, llamada distribución de Meixner ^[3] en honor a Josef Meixner , quien investigó por primera vez la familia, o distribución NEF-GHS ( familia exponencial natural - distribución secante hiperbólica generalizada).

En matemáticas financieras, la distribución de Meixner se ha utilizado para modelar el movimiento no gaussiano de los precios de las acciones, con aplicaciones que incluyen la fijación de precios de opciones .

Distribución relacionada

Losev (1989) ha estudiado de forma independiente la curva asimétrica (sesgada) , que utiliza sólo dos parámetros . En ella, es una medida de sesgo hacia la izquierda y una medida de sesgo hacia la derecha, en caso de que ambos parámetros sean positivos. Tienen que ser tanto positivos como negativos, siendo la secante hiperbólica -y por tanto simétrica- y siendo su forma reformada. ^[4] ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{\exp(-ax)+\exp(bx)}}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle h(x)^{r}}$

La constante normalizadora es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {a+b}{\pi }}\sin \left({\frac {b\pi }{a+b}}\right)}$

que se reduce a para la versión simétrica. ${\displaystyle {\frac {2a}{\pi }}}$

Además, para la versión simétrica, se puede estimar como . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a={\frac {\pi }{2\sigma }}}$

Referencias

1. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Distribuciones univariadas continuas . Vol. 2. ISBN 978-0-471-58494-0.
2. Ding, P. (2014). "Tres ocurrencias de la distribución hiperbólica-secante". The American Statistician . 68 : 32–35. CiteSeerX 10.1.1.755.3298 . doi :10.1080/00031305.2013.867902. S2CID  88513895. 
3. MeixnerDistribution, documentación de Wolfram Language . Consultado el 9 de junio de 2020.
4. Losev, A. (1989). "Una nueva forma de línea para ajustar picos de fotoelectrones de rayos X". Análisis de superficie e interfaz . 14 (12): 845–849. doi :10.1002/sia.740141207.

• Baten, WD (1934). "La ley de probabilidad para la suma de n variables independientes, cada una sujeta a la ley ( 2 h ) − 1 sech ⁡ ( π x / 2 h ) {\displaystyle (2h)^{-1}\operatorname {sech} (\pi x/2h)}". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 40 (4): 284–290. doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05852-X .
• Talacko, J. (1956). "Distribuciones de Perks y su papel en la teoría de las variables estocásticas de Wiener". Trabajos de Estadística . 7 (2): 159–174. doi :10.1007/BF03003994. S2CID  120569210.
• Devroye, Luc (1986). Generación de variables aleatorias no uniformes. Nueva York: Springer-Verlag. Sección IX.7.2.
• Smyth, GK (1994). "Una nota sobre el modelado de correlaciones cruzadas: regresión secante hiperbólica" (PDF) . Biometrika . 81 (2): 396–402. doi :10.1093/biomet/81.2.396.
• Matthias J. Fischer (2013), Distribuciones secantes hiperbólicas generalizadas: con aplicaciones a las finanzas , Springer. ISBN 3642451381. Google Books