Función exponencial estirada

Figura 1 . Ilustración de un ajuste exponencial ampliado (con β =0,52) a una curva maestra empírica. A modo de comparación, también se muestran un ajuste exponencial simple y doble de mínimos cuadrados . Los datos son anisotropía rotacional del antraceno en poliisobutileno de varias masas moleculares . Las gráficas se superpusieron dividiendo el tiempo ( t ) por la constante de tiempo característica respectiva .

La función exponencial estirada

$${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}}$$

ley de potenciafunción exponencialtβ = 1exponente de estiramiento βft se estirafunción exponencial comprimidaβ > 1β = 2distribución normal

En matemáticas, la exponencial extendida también se conoce como distribución de Weibull acumulativa complementaria . La exponencial estirada es también la función característica , básicamente la transformada de Fourier , de la distribución alfa-estable simétrica de Lévy .

En física, la función exponencial estirada se utiliza a menudo como descripción fenomenológica de la relajación en sistemas desordenados. Fue introducido por primera vez por Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de un condensador; ^[1] por lo que también se la conoce como función de Kohlrausch . En 1970, G. Williams y DC Watts utilizaron la transformada de Fourier de la exponencial estirada para describir los espectros dieléctricos de los polímeros; ^[2] en este contexto, la exponencial extendida o su transformada de Fourier también se denomina función Kohlrausch-Williams-Watts (KWW) . La función Kohlrausch-Williams-Watts (KWW) corresponde a la respuesta de carga en el dominio del tiempo de los principales modelos dieléctricos, como la ecuación de Cole-Cole , la ecuación de Cole-Davidson y la relajación de Havriliak-Negami , para argumentos de tiempo pequeño. ^[3]

En aplicaciones fenomenológicas, a menudo no está claro si la función exponencial ampliada debe usarse para describir la función de distribución diferencial o integral, o ninguna de las dos. En cada caso, se obtiene la misma desintegración asintótica, pero un prefactor de ley de potencia diferente, lo que hace que los ajustes sean más ambiguos que para exponenciales simples. En algunos casos, ^{[4] [5] [6] [7]} se puede demostrar que la desintegración asintótica es una exponencial extendida, pero el prefactor suele ser una potencia no relacionada.

Propiedades matemáticas

Momentos

Siguiendo la interpretación física habitual, interpretamos el argumento de la función t como tiempo, y f _β ( t ) es la distribución diferencial. Por tanto, el área bajo la curva puede interpretarse como un tiempo medio de relajación . uno encuentra

$${\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}}$$

Γfunción gamma⟨ τ ⟩ = τ _K.

Los momentos superiores de la función exponencial estirada son ^[8]

$${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.}$$

Función de distribución

En física, se ha intentado explicar el comportamiento exponencial estirado como una superposición lineal de desintegraciones exponenciales simples. Esto requiere una distribución no trivial de tiempos de relajación, ρ ( u ), que está implícitamente definida por

$${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}$$

Alternativamente, una distribución

$${\displaystyle G=u\rho (u)}$$

ρ se puede calcular a partir de la expansión en serie: ^[9]

$${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}$$

Para valores racionales de β , ρ ( u ) se puede calcular en términos de funciones elementales. Pero la expresión es en general demasiado compleja para ser útil excepto en el caso β = 1/2 donde

$${\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}$$

La Figura 2 muestra los mismos resultados representados tanto en representación lineal como logarítmica . Las curvas convergen a una función delta de Dirac que alcanza su punto máximo en u = 1 cuando β se acerca a 1, correspondiente a la función exponencial simple.

Los momentos de la función original se pueden expresar como

$${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).}$$

El primer momento logarítmico de la distribución de tiempos de relajación exponencial simple es

$${\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right){\rm {Eu}}+\ln \tau _{K}}$$

constante de Euler^[10]

Transformada de Fourier

Para describir los resultados de la espectroscopia o la dispersión inelástica, se necesita la transformada de Fourier seno o coseno de la exponencial estirada. Debe calcularse mediante integración numérica o a partir de una expansión en serie. ^[11] La serie aquí, así como la de la función de distribución, son casos especiales de la función Fox-Wright . ^[12] Para fines prácticos, la transformada de Fourier puede aproximarse mediante la función de Havriliak-Negami , ^[13] aunque hoy en día el cálculo numérico se puede realizar de manera tan eficiente ^[14] que ya no hay razón para no utilizar la transformada de Kohlrausch-Williams. –Los vatios funcionan en el dominio de la frecuencia.

Historia y otras aplicaciones

Como se dijo en la introducción, la exponencial estirada fue introducida por el físico alemán Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de un condensador ( tarro de Leyden ) que utilizaba vidrio como medio dieléctrico. El siguiente uso documentado es el de Friedrich Kohlrausch , hijo de Rudolf, para describir la relajación torsional. A. Werner lo utilizó en 1907 para describir desintegraciones complejas de luminiscencia; Theodor Förster en 1949 como la ley de decadencia de la fluorescencia de los donantes de energía electrónica. ^{[ cita necesaria ]}

Fuera de la física de la materia condensada, la exponencial estirada se ha utilizado para describir las tasas de eliminación de pequeños cuerpos perdidos en el sistema solar, ^[15] la señal de resonancia magnética ponderada por difusión en el cerebro, ^[16] y la producción de pozos de gas no convencionales. ^[17]

En probabilidad

Si la distribución integrada es exponencial extendida, la función de densidad de probabilidad normalizada viene dada por ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }$$

Tenga en cuenta que, de manera confusa, se sabe que algunos autores utilizan el nombre "exponencial extendido" para referirse a la distribución de Weibull . ^[18]

Funciones modificadas

Una función exponencial estirada modificada

$${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}$$

β lentamente dependiente de t^{[19] [20]}

Comunicaciones inalámbricas

En las comunicaciones inalámbricas, se ha demostrado que aparece una versión escalada de la función exponencial extendida en la Transformada de Laplace para la potencia de interferencia cuando las ubicaciones de los transmisores se modelan como un proceso de punto de Poisson 2D sin región de exclusión alrededor del receptor. ^[21] ${\displaystyle I}$

La transformada de Laplace se puede escribir para una distribución de desvanecimiento arbitraria de la siguiente manera:

$${\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)}$$

exponente de pérdida de trayectoria^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [x]}$ ${\displaystyle x}$

La misma referencia también muestra cómo obtener la transformada de Laplace inversa para el exponencial extendido para enteros de orden superior a partir de enteros de orden inferior y . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}$ ${\displaystyle \beta _{a}}$ ${\displaystyle \beta _{b}}$

Transmisión por Internet

La exponencial extendida se ha utilizado para caracterizar los patrones de acceso a los medios de Internet, como YouTube y otros sitios de medios de transmisión estables. ^[22] Los patrones de acceso a las cargas de trabajo web comúnmente acordados según la ley de potencia reflejan principalmente cargas de trabajo web con contenido basado en texto, como los sitios de noticias actualizados diariamente. ^[23]

Referencias

1. Kohlrausch, R. (1854). "Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche". Annalen der Physik und Chemie . 91 (1): 56–82, 179–213. Código bibliográfico : 1854AnP...167...56K. doi : 10.1002/andp.18541670103..
2. Williams, G. y Watts, DC (1970). "Comportamiento de relajación dieléctrica no simétrica que surge de una función de desintegración empírica simple". Transacciones de la Sociedad Faraday . 66 : 80–85. doi :10.1039/tf9706600080. S2CID  95007734..
3. Holm, Sverre (2020). "Caracterización en el dominio del tiempo del modelo dieléctrico de Cole-Cole". Revista de Bioimpedancia Eléctrica . 11 (1): 101-105. doi : 10.2478/joeb-2020-0015. PMC 7851980 . PMID  33584910. 
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5. Takano, H. y Nakanishi, H. y Miyashita, S. (1988). "Decaimiento exponencial extendido de la función de correlación de espín en el modelo cinético de Ising por debajo de la temperatura crítica". Física. Rev. B. 37 (7): 3716–3719. Código bibliográfico : 1988PhRvB..37.3716T. doi : 10.1103/PhysRevB.37.3716. PMID  9944981.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
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enlaces externos

• J. Wuttke: biblioteca libkww C para calcular la transformada de Fourier de la función exponencial extendida