Distribución de probabilidad simétrica

Distribución simétrica para distribución de probabilidad continua, específicamente distribución normal estándar, que muestra su perfecta simetría con respecto a la media (0).

Una distribución discreta simétrica, específicamente una distribución binomial con 10 intentos y una probabilidad de éxito de 0,5.

En estadística , una distribución de probabilidad simétrica es una distribución de probabilidad , una asignación de probabilidades a posibles sucesos, que no cambia cuando su función de densidad de probabilidad (para distribución de probabilidad continua) o función de masa de probabilidad (para variables aleatorias discretas) se refleja alrededor de una línea vertical. en algún valor de la variable aleatoria representada por la distribución. Esta línea vertical es el eje de simetría de la distribución. Por lo tanto, la probabilidad de estar a cualquier distancia dada en un lado del valor alrededor del cual ocurre la simetría es la misma que la probabilidad de estar a la misma distancia en el otro lado de ese valor.

Definicion formal

Se dice que una distribución de probabilidad es simétrica si y sólo si existe un valor tal que ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )}$para todos los números reales ${\displaystyle \delta ,}$

donde f es la función de densidad de probabilidad si la distribución es continua o la función de masa de probabilidad si la distribución es discreta .

Distribuciones multivariadas

El grado de simetría, en el sentido de simetría especular, se puede evaluar cuantitativamente para distribuciones multivariadas con el índice quiral, que toma valores en el intervalo [0;1], y que es nulo si y sólo si la distribución es simétrica especular. ^[1] Por lo tanto, una distribución de variable d se define como simétrica en espejo cuando su índice quiral es nulo. La distribución puede ser discreta o continua, y no se requiere la existencia de una densidad, pero la inercia debe ser finita y no nula. En el caso univariante, este índice se propuso como una prueba de simetría no paramétrica. ^[2]

Para esférico simétrico continuo, Mir M. Ali dio la siguiente definición. Denotemos la clase de distribuciones esféricamente simétricas del tipo absolutamente continuo en el espacio euclidiano n-dimensional que tiene una densidad conjunta de la forma dentro de una esfera con centro en el origen con un radio prescrito que puede ser finito o infinito y cero en otros lugares. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})}$

Propiedades

• La mediana y la media (si existe) de una distribución simétrica ocurren en el punto alrededor del cual ocurre la simetría. ^[4] ${\displaystyle x_{0}}$
• Si una distribución simétrica es unimodal , la moda coincide con la mediana y la media.
• Todos los momentos centrales impares de una distribución simétrica son iguales a cero (si existen), porque en el cálculo de tales momentos los términos negativos que surgen de desviaciones negativas de equilibran exactamente los términos positivos que surgen de desviaciones positivas iguales de . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• Cada medida de asimetría es igual a cero para una distribución simétrica.

Caso unimodal

Lista parcial de ejemplos

Las siguientes distribuciones son simétricas para todas las parametrizaciones. (Muchas otras distribuciones son simétricas para una parametrización particular).

Referencias

1. Petitjean, M. (2002). «Mezclas quirales» (PDF) . Revista de Física Matemática . 43 (8): 4147–4157. doi : 10.1063/1.1484559.
2. Petitjean, M (2020). "Tablas de Cuantiles de la Distribución del Índice Quiral Empírico en el Caso de la Ley Uniforme y en el Caso de la Ley Normal". arXiv : 2005.09960 [estadística.ME].
3. Ali, Mir M. (1980). "Caracterización de la distribución normal entre la clase esférica simétrica continua". Revista de la Real Sociedad de Estadística. Serie B (Metodológica) . 42 (2): 162-164. doi :10.1111/j.2517-6161.1980.tb01113.x. JSTOR  2984955.
4. Dekking, FM; Kraaikamp, ​​C.; Lopuhaä, HP; Meester, LE (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: comprender por qué y cómo . Springer-Verlag Londres. pag. 68.ISBN​ 978-1-84628-168-6.