Distribución circular

Tipo de distribución de probabilidad

En probabilidad y estadística , una distribución circular o distribución polar es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyos valores son ángulos, generalmente tomados en el rango [0, 2 π ). ^[1] Una distribución circular es a menudo una distribución de probabilidad continua y, por lo tanto, tiene una densidad de probabilidad , pero tales distribuciones también pueden ser discretas , en cuyo caso se denominan distribuciones reticulares circulares . ^[1] Las distribuciones circulares se pueden utilizar incluso cuando las variables en cuestión no son explícitamente ángulos: la consideración principal es que normalmente no hay ninguna distinción real entre los eventos que ocurren en los extremos opuestos del rango, y la división del rango podría realizarse teóricamente en cualquier punto.

Representación gráfica

Si una distribución circular tiene una densidad

${\displaystyle p(\phi )\qquad \qquad (0\leq \phi <2\pi ),\,}$

Se puede representar gráficamente como una curva cerrada.

${\displaystyle [x(\phi ),y(\phi )]=[r(\phi )\cos \phi ,\,r(\phi )\sin \phi ],\,}$

donde el radio se establece igual a ${\displaystyle r(\phi )\,}$

${\displaystyle r(\phi )=a+bp(\phi ),\,}$

y donde a y b se eligen en función de la apariencia.

Ejemplos

Al calcular la distribución de probabilidad de los ángulos a lo largo de un trazo de tinta manuscrita, surge una distribución polar en forma de lóbulo. La dirección principal del lóbulo en el primer cuadrante corresponde a la inclinación de la escritura a mano (véase: grafonomía ).

Un ejemplo de una distribución reticular circular sería la probabilidad de nacer en un mes determinado del año, donde cada mes del calendario se consideraría como dispuesto alrededor de un círculo, de modo que "enero" estuviera al lado de "diciembre".

Cualquier función de densidad de probabilidad (fdp) en la línea se puede "envolver" alrededor de la circunferencia de un círculo de radio unitario. ^[2] Es decir, la fdp de la variable envuelta es ${\displaystyle \ p(x)}$ $${\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]}$$ $${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$$

Este concepto se puede extender al contexto multivariado mediante una extensión de la suma simple a un número de sumas que cubren todas las dimensiones en el espacio de características: donde es el -ésimo vector base euclidiano. ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle p_{w}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldsymbol {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle k}$

Las siguientes secciones muestran algunas distribuciones circulares relevantes.

Distribución circular de von Mises

La distribución de von Mises es una distribución circular que, como cualquier otra distribución circular, puede considerarse como una envoltura de una determinada distribución de probabilidad lineal alrededor del círculo. La distribución de probabilidad lineal subyacente para la distribución de von Mises es matemáticamente intratable; sin embargo, para fines estadísticos, no hay necesidad de tratar con la distribución lineal subyacente. La utilidad de la distribución de von Mises es doble: es la más matemáticamente manejable de todas las distribuciones circulares, lo que permite un análisis estadístico más simple, y es una aproximación cercana a la distribución normal envuelta , que, análogamente a la distribución normal lineal, es importante porque es el caso límite para la suma de un gran número de pequeñas desviaciones angulares. De hecho, la distribución de von Mises a menudo se conoce como la distribución "normal circular" debido a su facilidad de uso y su estrecha relación con la distribución normal envuelta. ^[3]

La pdf de la distribución de von Mises es: donde es la función de Bessel modificada de orden 0. $${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$$ ${\displaystyle I_{0}}$

Distribución uniforme circular

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución circular uniforme está dada por $${\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$$

También puede considerarse como el von Mises mencionado anteriormente. ${\displaystyle \kappa =0}$

Distribución normal envuelta

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal envuelta (WN) es: donde μ y σ son la media y la desviación estándar de la distribución no envuelta, respectivamente, y es la función theta de Jacobi : donde y $${\displaystyle WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)}$$ ${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}$ $${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}}$$ ${\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta }}$ ${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

Distribución de Cauchy envuelta

La pdf de la distribución de Cauchy envuelta (WC) es: donde es el factor de escala y es la posición del pico. $${\displaystyle WC(\theta ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Distribución de Lévy envuelta

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Lévy envuelta (WL) es: donde el valor del sumando se toma como cero cuando , es el factor de escala y es el parámetro de ubicación. $${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}}$$ ${\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mu }$

Distribución normal proyectada

La distribución normal proyectada es una distribución circular que representa la dirección de una variable aleatoria con distribución normal multivariante, obtenida por proyección radial de la variable sobre la esfera unitaria (n-1). Debido a esto, y a diferencia de otras distribuciones circulares comúnmente utilizadas, no es simétrica ni unimodal .

Véase también

• Media circular
• Distribución uniforme circular
• Distribución de von Mises

Referencias

1. Dodge, Y. (2006). Diccionario Oxford de términos estadísticos . OUP. ISBN 0-19-920613-9.
2. Bahlmann, C., (2006), Características direccionales en el reconocimiento de escritura a mano en línea, Pattern Recognition, 39
3. Fisher 1993.

Fuentes

• Fisher, NI (1993). Análisis estadístico de datos circulares . Cambridge University Press . ISBN 0-521-35018-2.

Enlaces externos

• Matemáticas y estadísticas de valores circulares con C++11, una infraestructura C++11 para matemáticas y estadísticas de valores circulares (ángulos, hora del día, etc.)