Distancia angular

Ángulo entre dos líneas de visión o dos objetos vistos desde un observador

La distancia angular o separación angular es la medida del ángulo entre la orientación de dos líneas rectas , rayos o vectores en el espacio tridimensional , o el ángulo central subtendido por los radios que pasan por dos puntos de una esfera . Cuando los rayos son líneas de visión desde un observador hacia dos puntos del espacio, se conoce como distancia aparente o separación aparente .

La distancia angular aparece en matemáticas (en particular en geometría y trigonometría ) y en todas las ciencias naturales (por ejemplo, cinemática , astronomía y geofísica ). En la mecánica clásica de objetos giratorios, aparece junto con la velocidad angular , la aceleración angular , el momento angular , el momento de inercia y el par .

Usar

El término distancia angular (o separación ) es técnicamente sinónimo de ángulo en sí, pero pretende sugerir la distancia lineal entre objetos (por ejemplo, un par de estrellas observadas desde la Tierra ).

Medición

Dado que la distancia angular (o separación) es conceptualmente idéntica a un ángulo, se mide en las mismas unidades , como grados o radianes , utilizando instrumentos como goniómetros o instrumentos ópticos especialmente diseñados para apuntar en direcciones bien definidas y registrar los ángulos correspondientes (como los telescopios ).

Formulación

Separación angular entre los puntos A y B vistos desde O ${\displaystyle \theta }$

Para derivar la ecuación que describe la separación angular de dos puntos ubicados en la superficie de una esfera vistos desde el centro de la esfera, utilizamos el ejemplo de dos objetos astronómicos y observados desde la Tierra. Los objetos y se definen por sus coordenadas celestes , es decir, sus ascensiones rectas (RA) , ; y declinaciones (dec) , . Sea , el observador en la Tierra, que se supone que está ubicado en el centro de la esfera celeste . El producto escalar de los vectores y es igual a: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbf {OA} }$ ${\displaystyle \mathbf {OB} }$

${\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }$

que es equivalente a:

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta }$

En el marco, los dos vectores unitarios se descomponen en: Por lo tanto, entonces: ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta }$$

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]}$

Aproximación de distancia angular pequeña

La expresión anterior es válida para cualquier posición de A y B en la esfera. En astronomía, a menudo sucede que los objetos considerados están muy cerca en el cielo: estrellas en el campo de visión de un telescopio, estrellas binarias, los satélites de los planetas gigantes del sistema solar, etc. En el caso en que radianes, lo que implica y , podemos desarrollar la expresión anterior y simplificarla. En la aproximación de ángulo pequeño , en segundo orden, la expresión anterior se convierte en: ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}$

significado

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

por eso

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$.

Dado que y , en un desarrollo de segundo orden resulta que , de modo que ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}$

Distancia angular pequeña: aproximación planar

Aproximación planar de la distancia angular en el cielo

Si consideramos un detector que genera imágenes de un pequeño campo del cielo (dimensión mucho menor que un radián) con el eje apuntando hacia arriba, paralelo al meridiano de ascensión recta , y el eje a lo largo del paralelo de declinación , la separación angular se puede escribir como: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}$

donde y . ${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}$ ${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}$

Nótese que el eje es igual a la declinación, mientras que el eje es la ascensión recta modulada por porque la sección de una esfera de radio en declinación (latitud) es (ver Figura). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos \delta _{A}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}$

Véase también

• Miliradián
• Gradián
• Angulo horario
• Angulo central
• Ángulo de rotación
• Diámetro angular
• Desplazamiento angular
• Distancia del círculo máximo
• Semejanza de coseno § Distancia angular y similitud

Referencias

• CASTOR, autor Michael A. Earl. "La trigonometría esférica frente al análisis vectorial".
• Weisstein, Eric W. "Distancia angular". MathWorld .