Distancia de un punto a una línea

Problema de geometría

La distancia (o distancia perpendicular ) de un punto a una línea es la distancia más corta desde un punto fijo a cualquier punto de una línea infinita fija en geometría euclidiana . Es la longitud del segmento de línea que une el punto con la línea y es perpendicular a la línea. La fórmula para calcularla se puede derivar y expresar de varias formas.

Conocer la distancia más corta de un punto a una línea puede ser útil en diversas situaciones; por ejemplo, encontrar la distancia más corta para llegar a una carretera, cuantificar la dispersión en un gráfico, etc. En la regresión de Deming , un tipo de ajuste de curva lineal, si las variables dependientes e independientes tienen la misma varianza, esto da como resultado una regresión ortogonal en la que el grado de imperfección del ajuste se mide para cada punto de datos como la distancia perpendicular del punto desde la línea de regresión.

Coordenadas cartesianas

Línea definida por una ecuación

En el caso de una recta en el plano dado por la ecuación ax + by + c = 0, donde a , b y c son constantes reales con a y b no ambos cero, la distancia desde la recta a un punto ( x ₀ , y ₀ ) es ^{[1] [2] : p.14}

${\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

El punto de esta línea que está más cerca de ( x ₀ , y ₀ ) tiene coordenadas: ^[3]

${\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Líneas horizontales y verticales

En la ecuación general de una línea, ax + by + c = 0, a y b no pueden ser ambos cero a menos que c también sea cero, en cuyo caso la ecuación no define una línea. Si a  = 0 y b  ≠  0, la línea es horizontal y tiene ecuación y = - c / b . La distancia desde ( x ₀ , y ₀ ) a esta línea se mide a lo largo de un segmento de línea vertical de longitud | y ₀ - (- c / b )| = | by ₀ + c | / | b | de acuerdo con la fórmula. De manera similar, para líneas verticales ( b = 0) la distancia entre el mismo punto y la línea es | ax ₀ + c | / | a |, medida a lo largo de un segmento de línea horizontal.

Línea definida por dos puntos

Si la recta pasa por dos puntos P ₁ =( x ₁ , y ₁ ) y P ₂ =( x ₂ , y ₂ ) entonces la distancia de (x ₀ ,y ₀ ) desde la recta es:

${\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}$

El denominador de esta expresión es la distancia entre P ₁ y P ₂ . El numerador es el doble del área del triángulo con sus vértices en los tres puntos (x ₀ ,y ₀ ), P ₁ y P ₂ . Véase: Área de un triángulo § Uso de coordenadas . La expresión es equivalente a , que se puede obtener reorganizando la fórmula estándar para el área de un triángulo: , donde b es la longitud de un lado y h es la altura perpendicular desde el vértice opuesto. ${\textstyle h={\frac {2A}{b}}}$ ${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$

Pruebas

Una prueba algebraica

Esta prueba sólo es válida si la recta no es ni vertical ni horizontal, es decir, suponemos que ni a ni b en la ecuación de la recta son cero.

La recta con ecuación ax + by + c = 0 tiene pendiente - a / b , por lo que cualquier recta perpendicular a ella tendrá pendiente b / a (el recíproco negativo). Sea ( m , n ) el punto de intersección de la recta ax + by + c = 0 y la recta perpendicular a ella que pasa por el punto ( x ₀ , y ₀ ). La recta que pasa por estos dos puntos es perpendicular a la recta original, por lo que

${\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}$

Así, y elevando al cuadrado esta ecuación obtenemos: ${\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}$

${\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}$

Ahora considere,

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})}$

utilizando la ecuación al cuadrado anterior. Pero también tenemos,

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

ya que ( m , n ) está en ax + by + c = 0. Por lo tanto,

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

y obtenemos la longitud del segmento de recta determinado por estos dos puntos,

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$^[4]

Una prueba geométrica

Diagrama para la demostración geométrica

Esta prueba sólo es válida si la línea no es horizontal ni vertical. ^[5]

Traza una perpendicular desde el punto P con coordenadas ( x ₀ , y ₀ ) hasta la línea con ecuación Ax + By + C = 0. Etiqueta el pie de la perpendicular R . Traza la línea vertical a través de P y etiqueta su intersección con la línea dada S . En cualquier punto T en la línea, dibuja un triángulo rectángulo TVU cuyos lados sean segmentos de línea horizontales y verticales con hipotenusa TU en la línea dada y lado horizontal de longitud | B | (ver diagrama). El lado vertical de ∆ TVU tendrá longitud | A | ya que la línea tiene pendiente - A / B .

∆ PRS y ∆ TVU son triángulos semejantes , ya que ambos son triángulos rectángulos y ∠ PSR ≅ ∠ TUV ya que son ángulos correspondientes de una transversal a las líneas paralelas PS y UV (ambas son líneas verticales). ^[6] Los lados correspondientes de estos triángulos están en la misma proporción, por lo que:

${\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}$

Si el punto S tiene coordenadas ( x ₀ , m ) entonces | PS | = | y ₀ - m | y la distancia de P a la recta es:

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Como S está en la línea, podemos encontrar el valor de m,

${\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}$

y finalmente obtenemos: ^[7]

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Una variación de esta prueba es colocar V en P y calcular el área del triángulo ∆ UVT de dos maneras para obtener donde D es la altura de ∆ UVT trazada hasta la hipotenusa de ∆ UVT desde P. La fórmula de la distancia puede entonces usarse para expresar , , y en términos de las coordenadas de P y los coeficientes de la ecuación de la línea para obtener la fórmula indicada. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}$ ${\displaystyle |{\overline {TU}}|}$ ${\displaystyle |{\overline {VU}}|}$ ${\displaystyle |{\overline {VT}}|}$

Una prueba de proyección vectorial

Diagrama para la demostración de proyección vectorial

Sea P el punto con coordenadas ( x ₀ , y ₀ ) y sea la recta dada con ecuación ax + by + c = 0. Además, sea Q = ( x ₁ , y ₁ ) cualquier punto sobre esta recta y n el vector ( a , b ) que comienza en el punto Q . El vector n es perpendicular a la recta, y la distancia d desde el punto P hasta la recta es igual a la longitud de la proyección ortogonal de sobre n . La longitud de esta proyección está dada por: ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}}$

${\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}$

Ahora,

${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}$así y ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}$ ${\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

de este modo

${\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Como Q es un punto en la línea, , y por lo tanto, ^[8] ${\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}$

${\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Otra fórmula

Es posible elaborar otra expresión para hallar la distancia más corta de un punto a una línea. Esta derivación también requiere que la línea no sea vertical ni horizontal.

El punto P se da con coordenadas ( ). La ecuación de una recta se da por . La ecuación de la normal de esa recta que pasa por el punto P se da por . ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ ${\displaystyle y=mx+k}$ ${\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}$

El punto en el que se intersecan estas dos líneas es el punto más cercano de la línea original al punto P. Por lo tanto:

${\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}$

Podemos resolver esta ecuación para x ,

${\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}$

La coordenada y del punto de intersección se puede encontrar sustituyendo este valor de x en la ecuación de la línea original,

${\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}$

Utilizando la ecuación para encontrar la distancia entre 2 puntos, , podemos deducir que la fórmula para encontrar la distancia más corta entre una recta y un punto es la siguiente: ${\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}$

${\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}$

Recordando que m = - a / b y k = - c / b para la recta con ecuación ax + by + c = 0, una pequeña simplificación algebraica reduce esto a la expresión estándar. ^[9]

Formulación vectorial

Ilustración de la formulación vectorial.

La ecuación de una recta se puede dar en forma vectorial :

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }$

Aquí a es la posición de un punto en la línea y n es un vector unitario en la dirección de la línea. Entonces, cuando el escalar t varía, x da el lugar geométrico de la línea.

La distancia de un punto arbitrario p a esta línea está dada por

${\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}$

Esta fórmula se puede derivar de la siguiente manera: es un vector desde p hasta el punto a en la línea. Entonces es la longitud proyectada sobre la línea y así ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ ${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

es un vector que es la proyección de sobre la línea. Por lo tanto ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

es el componente de la perpendicular a la línea. La distancia desde el punto a la línea es entonces simplemente la norma de ese vector. ^[10] Esta fórmula más general no está restringida a dos dimensiones. ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$

Otra formulación vectorial

Si la recta ( l  ) pasa por el punto A y tiene un vector de dirección , la distancia entre el punto P y la recta ( l ) es ${\displaystyle {\vec {u}}}$

${\displaystyle d(\mathrm {P} ,(l))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}$

donde es el producto vectorial de los vectores y y donde es la norma vectorial de . ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle \|{\vec {u}}\|}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Nótese que los productos cruzados solo existen en las dimensiones 3 y 7 y, trivialmente, en las dimensiones 0 y 1 (donde el producto cruzado es constante 0).

Véase también

• Forma normal de Hesse
• Intersección de línea con línea
• Distancia entre dos lineas
• Distancia de un punto a un plano
• Líneas oblicuas#Distancia

Notas

1. Larson y Hostetler 2007, pág. 452
2. España 2007
3. Larson y Hostetler 2007, pág. 522
4. Entre la certeza y la incertidumbre: estadística y probabilidad en cinco unidades con notas sobre los orígenes históricos y ejemplos numéricos ilustrativos
5. Ballantine & Jerbert 1952 no mencionan esta restricción en su artículo
6. Si los dos triángulos están en lados opuestos de la línea, estos ángulos son congruentes porque son ángulos internos alternos.
7. Ballantine y Jerbert 1952
8. Anton 1994, págs. 138-9
9. Larson y Hostetler 2007, pág. 522
10. Domingo, Dan. "Líneas y distancia de un punto a una línea". softSurfer . Consultado el 6 de diciembre de 2013 .

Referencias

• Anton, Howard (1994), Álgebra lineal elemental (7.ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Ballantine, JP; Jerbert, AR (1952), "Distancia desde una línea o plano a un punto", American Mathematical Monthly , 59 : 242–243, doi :10.2307/2306514
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precálculo: un curso conciso , Houghton Mifflin Co., ISBN 0-618-62719-7
• España, Barry (2007) [1957], Cónicas analíticas , Dover Publications, ISBN 0-486-45773-7

Lectura adicional

• Deza, Michel Marie ; Deza, Elena (2013), Enciclopedia de distancias (2.ª ed.), Springer, pág. 86, ISBN 9783642309588