Forma normal de Hesse

Distancia del origen O a la recta E calculada con la forma normal de Hesse. Vector normal en rojo, línea en verde, punto O mostrado en azul.

La forma normal de Hesse , que lleva el nombre de Otto Hesse , es una ecuación utilizada en geometría analítica y describe una línea o un plano en el espacio euclidiano o un hiperplano en dimensiones superiores. ^{[1] [2]} Se utiliza principalmente para calcular distancias (ver distancia punto-plano y distancia punto-línea ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Está escrito en notación vectorial como

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

El punto indica el producto escalar o producto escalar . Puntos vectoriales desde el origen del sistema de coordenadas, O , hasta cualquier punto P que se encuentre precisamente en el plano o en la línea E. El vector representa el vector unitario normal del plano o recta E. La distancia es la distancia más corta desde el origen O al plano o línea. ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

Derivación/Cálculo a partir de la forma normal

Nota: Para simplificar, la siguiente derivación analiza el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.

En la forma normal,

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$

un plano está dado por un vector normal y por un vector de posición arbitraria de un punto . La dirección de se elige para satisfacer la siguiente desigualdad ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle A\in E}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

Dividiendo el vector normal por su magnitud , obtenemos el vector normal unitario (o normalizado) ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$

y la ecuación anterior se puede reescribir como

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$

Sustituyendo

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

obtenemos la forma normal de Hesse

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que es válido para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con , según la definición del producto escalar. ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$ ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$

${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,}$

La magnitud de es la distancia más corta desde el origen al plano. ${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$ ${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$

Distancia a una línea

La cuadrancia (distancia al cuadrado) de una recta a un punto es ${\displaystyle ax+by+c=0}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Si tiene una unidad de longitud, entonces esto se convierte en ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (ax+by+c)^{2}.}$

Referencias

1. Bôcher, Maxime (1915), Geometría analítica plana: con capítulos introductorios sobre el cálculo diferencial, H. Holt, p. 44.
2. John Vince: Geometría para gráficos por computadora . Springer, 2005, ISBN 9781852338343 , págs.42, 58, 135, 273 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Forma normal de Hesse". MundoMatemático .