Transformada de dispersión inversa

En matemáticas , la transformada de dispersión inversa es un método que resuelve el problema del valor inicial para una ecuación diferencial parcial no lineal utilizando métodos matemáticos relacionados con la dispersión de ondas . ^[1]^{: 4960} La transformada de dispersión directa describe cómo una función dispersa ondas o genera estados límite . ^[2]^{: 39–43} La transformada de dispersión inversa utiliza datos de dispersión de ondas para construir la función responsable de la dispersión de ondas. ^[2]^{: 66–67} Las transformadas de dispersión directa e inversa son análogas a las transformadas de Fourier directa e inversa que se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales . ^[2]^{: 66–67}

Utilizando un par de operadores diferenciales , un algoritmo de tres pasos puede resolver ecuaciones diferenciales no lineales ; la solución inicial se transforma en datos de dispersión (transformación de dispersión directa), los datos de dispersión evolucionan hacia adelante en el tiempo (evolución temporal) y los datos de dispersión reconstruyen la solución hacia adelante en el tiempo (transformación de dispersión inversa). ^[2]^{: 66–67}

Este algoritmo simplifica la solución de una ecuación diferencial parcial no lineal a la solución de dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y una ecuación integral ordinaria , un método que en última instancia conduce a soluciones analíticas para muchas ecuaciones diferenciales parciales no lineales que de otro modo serían difíciles de resolver. ^[2]^{: 72}

El problema de dispersión inversa es equivalente a un problema de factorización de Riemann-Hilbert , al menos en el caso de ecuaciones de una dimensión espacial. ^[3] Esta formulación se puede generalizar a operadores diferenciales de orden mayor que dos y también a problemas periódicos. ^[4] En dimensiones espaciales mayores, uno tiene en cambio un problema de factorización de Riemann-Hilbert "no local" (con convolución en lugar de multiplicación) o un problema de barra d.

Historia

La transformación de dispersión inversa surgió del estudio de las ondas solitarias. JS Russell describió una "onda de traslación" u "onda solitaria" que se produce en aguas poco profundas. ^[5] Primero JV Boussinesq y más tarde D. Korteweg y G. deVries descubrieron la ecuación de Korteweg-deVries (KdV) , una ecuación diferencial parcial no lineal que describe estas ondas. ^[5] Más tarde, N. Zabusky y M. Kruskal, utilizando métodos numéricos para investigar el problema de Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou , descubrieron que las ondas solitarias tenían las propiedades elásticas de las partículas en colisión; las amplitudes y velocidades iniciales y finales de las ondas permanecían inalteradas después de las colisiones de ondas. ^[5] Estas ondas similares a partículas se denominan solitones y surgen en ecuaciones no lineales debido a un equilibrio débil entre los efectos dispersivos y no lineales. ^[5]

Gardner, Greene, Kruskal y Miura introdujeron la transformada de dispersión inversa para resolver la ecuación de Korteweg–de Vries . ^[6] Lax, Ablowitz, Kaup, Newell y Segur generalizaron este enfoque que condujo a la resolución de otras ecuaciones no lineales, incluyendo la ecuación no lineal de Schrödinger , la ecuación de seno-Gordon , la ecuación de Korteweg–De Vries modificada , la ecuación de Kadomtsev–Petviashvili , la ecuación de Ishimori , la ecuación reticular de Toda y la ecuación de Dym . ^[5]^[7]^[8] Este enfoque también se ha aplicado a diferentes tipos de ecuaciones no lineales, incluyendo ecuaciones diferenciales-diferenciales, ecuaciones de diferencias parciales, ecuaciones multidimensionales y sistemas no lineales integrables fraccionarios. ^[5]

Descripción

Ecuación diferencial parcial no lineal

Las variables independientes son una variable espacial y una variable temporal . Los subíndices u operadores diferenciales ( ) indican diferenciación. La función es una solución de una ecuación diferencial parcial no lineal, , con condición inicial (valor) . ^[2]^{: 72} ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización t}$ ${\textstyle \partial _ {x}, \partial _ {t}}$ $u(x,t)$ ${\textstyle u_{t}+N(u)=0}$ ${\textstyle u(x,0)}$

Requisitos

La solución de la ecuación diferencial cumple las condiciones de integrabilidad y de Fadeev: ^[2]^{: 40}

Condición de integrabilidad:

\int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty

Estado de Fadeev:

\int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|))|u(x)|\ dx\ <\infty

Par de operadores diferenciales

Los operadores diferenciales de Lax , y , son operadores diferenciales ordinarios lineales con coeficientes que pueden contener la función o sus derivadas. El operador autoadjunto tiene una derivada temporal y genera una ecuación de valor propio (espectral) con funciones propias y valores propios constantes en el tiempo ( parámetros espectrales ) . ^[1]^{: 4963}^[2]^{: 98} ${\textstyle L}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle u(x,t)}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L_{t}}$ ${\textstyle \psi}$ ${\textstyle \lambda}$

L(\psi )=\lambda \psi ,\

{\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}

El operador describe cómo evolucionan las funciones propias a lo largo del tiempo y genera una nueva función propia del operador a partir de la función propia de . ^[1]^{: 4963} ${\textstyle M}$ ${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle \psi}$ ${\textstyle L}$

{\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\

Los operadores Lax se combinan para formar un operador multiplicativo, no un operador diferencial, de las funciones propias . ^[1]^{: 4963} ${\textstyle \psi}$

(L_{t}+LM-ML)\psi = 0

Los operadores Lax se eligen para hacer que el operador multiplicativo sea igual a la ecuación diferencial no lineal. ^[1]^{: 4963}

L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0

Los operadores diferenciales AKNS , desarrollados por Ablowitz, Kaup, Newell y Segur, son una alternativa a los operadores diferenciales Lax y logran un resultado similar. ^[1]^{: 4964}^[9]^[10]

Transformación de dispersión directa

La transformación de dispersión directa genera datos de dispersión iniciales; estos pueden incluir los coeficientes de reflexión, el coeficiente de transmisión, los datos de valores propios y las constantes de normalización de las soluciones de funciones propias para esta ecuación diferencial. ^[2]^{: 39–48}

L(\psi )=\lambda \psi

Evolución temporal de los datos de dispersión

Las ecuaciones que describen cómo evolucionan los datos dispersos a lo largo del tiempo se presentan como soluciones a una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden con respecto al tiempo. Utilizando diversos enfoques, esta ecuación diferencial lineal de primer orden puede surgir de los operadores diferenciales lineales (par Lax, par AKNS), una combinación de los operadores diferenciales lineales y la ecuación diferencial no lineal, o mediante operaciones adicionales de sustitución, integración o diferenciación. Las ecuaciones asintóticas espaciales ( ) simplifican la solución de estas ecuaciones diferenciales. ^[1]^{: 4967–4968}^[2]^{: 68–72}^[6] ${\textstyle x\to \pm \infty }$

Transformada de dispersión inversa

La ecuación de Marchenko combina los datos de dispersión en una ecuación integral de Fredholm lineal . La solución de esta ecuación integral conduce a la solución, u(x,t), de la ecuación diferencial no lineal. ^[2]^{: 48–57}

Ejemplo: ecuación de Korteweg-De Vries

La ecuación diferencial no lineal de Korteweg-De Vries es ^[11]^{: 4}

u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0

Operadores laxos

Los operadores Lax son: ^[2]^{: 97–102}

L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\

{\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}

El operador multiplicativo es:

L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0

Transformación de dispersión directa

Las soluciones de esta ecuación diferencial

{\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }

Puede incluir soluciones de dispersión con un rango continuo de valores propios ( espectro continuo ) y soluciones de estado límite con valores propios discretos ( espectro discreto ). Los datos de dispersión incluyen coeficientes de transmisión , coeficiente de reflexión izquierdo , coeficiente de reflexión derecho , valores propios discretos y constantes de normalización (normalización) de estado límite izquierdo y derecho . ^[1]^{: 4960} ${\textstyle T(k,0)}$ ${\textstyle R_{L}(k,0)}$ ${\textstyle R_{R}(k,0)}$ ${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$

c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N

c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N

Evolución temporal de los datos de dispersión

Las funciones de Jost izquierda y derecha asintóticas espacialmente simplifican este paso. ^[1]^{: 4965–4966} ${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$ ${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$

{\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}

Las constantes de dependencia relacionan las funciones de Jost derecha e izquierda y las constantes de normalización derecha e izquierda. ^[1]^{: 4965–4966} ${\textstyle \gamma _{j}(t)}$

\gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}

El operador diferencial Lax genera una función propia que puede expresarse como una combinación lineal dependiente del tiempo de otras funciones propias. ^[1]^{: 4967} ${\textstyle M}$

\partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)

\partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales, determinadas mediante funciones de Jost espacialmente asintóticas de dispersión y estado límite, indican un coeficiente de transmisión constante en el tiempo , pero coeficientes de reflexión y coeficientes de normalización dependientes del tiempo. ^[1]^{: 4967–4968} ${\textstyle T(k,t)}$

{\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}

Transformada de dispersión inversa

El núcleo de Marchenko es . ^[1]^{: 4968–4969} ${\textstyle F(x,t)}$

F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}

La ecuación integral de Marchenko es una ecuación integral lineal resuelta para . ^[1]^{: 4968–4969} ${\textstyle K(x,y,t)}$

K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0

La solución de la ecuación de Marchenko, , genera la solución de la ecuación diferencial parcial no lineal. ^[1]^{: 4969} ${\textstyle K(x,y,t)}$ ${\textstyle u(x,t)}$

u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}

Ejemplos de ecuaciones integrables

Véase también

Citas

^abcdefghijklmno Revista 2009.
^ abcdefghijkl Drazin y Johnson 1989.
^ Ablowitz y Fokas 2003, págs. 604–620.
^ Osborne 1995.
^abcdefAblowitz 2023.
^ desde Gardner y otros 1967.
^ Konopelchenko y Dubrowsky 1991.
^ Oono 1996.
^ Ablowitz y otros 1973.
^ Ablowitz y otros 1974.
^ Ablowitz y Segur 1981.

Referencias

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Ablowitz, MJ; Kaup, DJ; Newell, AC; Segur, H. (1974). "La transformada de dispersión inversa: análisis de Fourier para problemas no lineales". Estudios en matemáticas aplicadas . 53 (4): 249–315. doi :10.1002/sapm1974534249.

Ablowitz, Mark J.; Segur, Harvey (1981). Solitones y la transformada de dispersión inversa. SIAM. ISBN 978-0-89871-477-7.

Ablowitz, Mark J.; Fokas, AS (2003). Variables complejas: Introducción y aplicaciones. Cambridge University Press. pp. 604–620. ISBN 978-0-521-53429-1.

Ablowitz, Mark J. (2023). "Ondas no lineales y la transformada de dispersión inversa". Optik . 278 : 170710. Bibcode :2023Optik.27870710A. doi :10.1016/j.ijleo.2023.170710.

Aktosun, Tuncay (2009). "Transformada de dispersión inversa y teoría de solitones". Enciclopedia de complejidad y ciencia de sistemas . Springer. pp. 4960–4971. doi :10.1007/978-0-387-30440-3_295. ISBN . 978-0-387-30440-3.

Drazin, PG; Johnson, RS (1989). Solitones: una introducción. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33655-0.

Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967). "Método para resolver la ecuación de Korteweg-deVries". Physical Review Letters . 19 (19): 1095–1097. Código Bibliográfico :1967PhRvL..19.1095G. doi :10.1103/PhysRevLett.19.1095.

Konopelchenko, BG; Dubrowsky, VG (1991). "Solitones localizados para la ecuación de Ishimori". En Sattinger, David H.; Tracy, CA; Venakides, Stephanos (eds.). Dispersión inversa y aplicaciones. American Mathematical Soc. págs. 77–90. ISBN 978-0-8218-5129-6.

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Lectura adicional

Ablowitz, Mark J.; Clarkson, PA (12 de diciembre de 1991). Solitones, ecuaciones de evolución no lineal y dispersión inversa. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38730-9.

Bullough, RK; Caudrey, PJ (11 de noviembre de 2013). Solitones. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-81448-8.

Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1974), "Ecuación y generalización de Korteweg-deVries. VI. Métodos para la solución exacta.", Comm. Pure Appl. Math. , 27 : 97–133, doi :10.1002/cpa.3160270108, MR 0336122

Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevich (1955). Sobre la determinación de una ecuación diferencial a partir de su función espectral. American Mathematical Society. págs. 253-304.

Marchenko, Vladimir A. (1986). Operadores de Sturm-Liouville y aplicaciones. Teoría de operadores: avances y aplicaciones. Vol. 22. Basilea: Birkhäuser. doi :10.1007/978-3-0348-5485-6. ISBN 978-3-0348-5486-3.

Shaw, JK (1 de mayo de 2004). Principios matemáticos de la comunicación por fibra óptica. SIAM. ISBN 978-0-89871-556-9.

Enlaces externos

"Artículo matemático introductorio sobre IST" (PDF) . (300 KiB )
Transformada de dispersión inversa y teoría de solitones