Función Jost

En la teoría de dispersión , la función de Jost es el wronskiano de la solución regular y la solución de Jost (irregular) de la ecuación diferencial . Fue introducida por Res Jost . ${\displaystyle -\psi ''+V\psi =k^{2}\psi }$

Fondo

Estamos buscando soluciones a la ecuación radial de Schrödinger en el caso , ${\displaystyle \psi (k,r)}$ ${\displaystyle \ell =0}$

${\displaystyle -\psi ''+V\psi =k^{2}\psi .}$

Soluciones regulares e irregulares

Una solución regular es aquella que satisface las condiciones de contorno, ${\displaystyle \varphi (k,r)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (k,0)&=0\\\varphi _{r}'(k,0)&=1.\end{aligned}}}$

Si la solución se da como una ecuación integral de Volterra , ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r|V(r)|<\infty }$

${\displaystyle \varphi (k,r)=k^{-1}\sin(kr)+k^{-1}\int _{0}^{r}dr'\sin(k(r-r'))V(r')\varphi (k,r').}$

Existen dos soluciones irregulares (a veces llamadas soluciones de Jost) con comportamiento asintótico como . Están dadas por la ecuación integral de Volterra , ${\displaystyle f_{\pm }}$ ${\displaystyle f_{\pm }=e^{\pm ikr}+o(1)}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle f_{\pm }(k,r)=e^{\pm ikr}-k^{-1}\int _{r}^{\infty }dr'\sin(k(r-r'))V(r')f_{\pm }(k,r').}$

Si , entonces son linealmente independientes. Como son soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden, cada solución (en particular ) puede escribirse como una combinación lineal de ellas. ${\displaystyle k\neq 0}$ ${\displaystyle f_{+},f_{-}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Definición de la función Jost

La función Jost es

${\displaystyle \omega (k):=W(f_{+},\varphi )\equiv \varphi _{r}'(k,r)f_{+}(k,r)-\varphi (k,r)f_{+,r}'(k,r)}$,

donde W es el wronskiano . Dado que ambas son soluciones de la misma ecuación diferencial, el wronskiano es independiente de r. Por lo tanto, al evaluar en y usar las condiciones de contorno en se obtiene . ${\displaystyle f_{+},\varphi }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \omega (k)=f_{+}(k,0)}$

Aplicaciones

La función Jost se puede utilizar para construir funciones de Green para

${\displaystyle \left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+V(r)-k^{2}\right]G=-\delta (r-r').}$

De hecho,

${\displaystyle G^{+}(k;r,r')=-{\frac {\varphi (k,r\wedge r')f_{+}(k,r\vee r')}{\omega (k)}},}$

donde y . ${\displaystyle r\wedge r'\equiv \min(r,r')}$ ${\displaystyle r\vee r'\equiv \max(r,r')}$

Referencias

• Newton, Roger G. (1966). Teoría de la dispersión de ondas y partículas . Nueva York: McGraw-Hill. OCLC  362294.
• Yafaev, DR (1992). Teoría de la dispersión matemática . Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4558-6.