Discusión:Estadísticas de Maxwell-Boltzmann

Asignación de curso apoyada por Wiki Education Foundation

Este artículo fue objeto de una tarea de curso apoyada por Wiki Education Foundation, entre el 27 de agosto de 2021 y el 19 de diciembre de 2021. Hay más detalles disponibles en la página del curso . Editor(es) de estudiantes: 0.25cm . Revisores pares: Mumtaziah , Ajp256 , Leolsz .

El mensaje anterior sin fecha fue sustituido por la tarea de Template:Dashboard.wikiedu.org de PrimeBOT ( discusión ) 03:40, 17 de enero de 2022 (UTC) [ responder ]

Derivación

Creo que esta derivación es más completa que la del artículo "derivación de la función de partición". También creo que la derivación pertenece aquí en lugar de en el último artículo porque los artículos sobre las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac contienen cada uno su propia derivación, y los tres artículos son ahora muy similares en su desarrollo. Finalmente, me gustaría eliminar o reducir la derivación del artículo sobre la función de partición y vincularla a este en su lugar. Esto no afectaría al material canónico y gran canónico del artículo sobre la función de partición. PAR 07:16, 29 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

¿Más completo? ¿En qué sentido? ¿Porque es más tedioso? Las derivaciones más largas en los artículos de estadística FD, BE y MB son de la variedad físicamente poco esclarecedora e innecesariamente retorcida. Las funciones de partición son, más o menos, la multiplicidad del sistema. Al exponenciar la entropía y usar funciones de partición, se puede evitar por completo el manejo directo de las multiplicidades. Ningún libro de texto de posgrado que he visto adopta este enfoque poco atractivo. Mct mht 18:00, 27 de abril de 2006 (UTC) [ responder ]

Calificar la derivación como "tediosa", "retorcida" y "poco atractiva" implica que conoces una derivación que lo es menos, sin sacrificar el rigor. Por favor, modifica esta página en consecuencia. PAR 23:39, 13 de mayo de 2006 (UTC) [ responder ]

ESTOY DE ACUERDO CON EL USUARIO :PAR|PAR

Permítanme matizar un poco mi comentario. En mi humilde opinión, el artículo sobre la derivación de la función de partición debe eliminarse o reescribirse. No quise compararlo con ese artículo. Mct mht 23:42, 18 de mayo de 2006 (UTC) [ responder ]

Me gustó mucho la derivación del conjunto microcanónico en este artículo. Está justo en el nivel adecuado para poder entender de dónde provienen la distribución de Boltzman y la entropía. Tuve un pequeño problema para pasar de ln W a dE, pero la prueba fue muy legible y útil. 128.163.8.203 ( discusión ) 14:17 29 feb 2016 (UTC) [ responder ]

No estoy de acuerdo con combinarDistribución de Maxwell-Boltzmanncon este articulo

En general, las distribuciones de probabilidad tienen sus propias páginas. Yo diría que la distribución de Maxwell-Boltzmann no debería ser diferente. Además, el teorema presentado en esta página PUEDE aplicarse al movimiento molecular, pero en realidad se aplica a todos los sistemas químicos (físicos) y es la base de mucho más que la distribución de Maxwell-Boltzmann. Pdbailey 02:35, 18 de abril de 2006 (UTC) [ responder ]

• • • No estoy de acuerdo con combinar [la distribución de Maxwell-Boltzmann] con este artículo ***

Es una cuestión de audiencia y comunicación, no de estética de las matemáticas. Las personas que quieran comprender una introducción simple a este tema leerán los primeros párrafos. Por ejemplo, yo lo utilicé para un niño de 16 años que quería un nivel más de profundidad que la "teoría de colisiones". La comunicación tiene que ver con el contexto y el contenido, por lo que incorporar una introducción simple en un contexto más complejo reducirá el acceso y la utilidad. ([email protected])

El problema no tiene nada que ver con la "estética de las matemáticas". Las estadísticas de MB y la distribución de MB son cosas completamente diferentes. Es como fusionar la carpintería con el martillo . Capefeather ( discusión ) 20:53 23 abr 2009 (UTC) [ responder ]

• NO ESTOY DE ACUERDO con la combinación. Puedes usar las estadísticas MB para derivar la distribución MB, que es un caso especial de E=mv^2/2. Hay muchos otros grados de libertad, muchas otras expresiones para su energía. La distribución MB es inútil para ellos, pero las estadísticas MB te darán la respuesta. PAR ( discusión ) 17:22 5 mar 2010 (UTC) [ responder ]

Error en el conteo de Boltzmann

El razonamiento dado en el conteo de Boltzmann no es del todo correcto. Un cálculo directo muestra que la multiplicidad "corregida" W todavía no alcanza la entropía aditiva dada. Por ejemplo, multiplica cada uno por 2 y la entropía no se duplica. Algo está mal. ${\displaystyle N_{i}}$

El contexto en el que se plantea este problema también parece ser inusual. El enfoque común es calcular la entropía para un gas ideal, calculando directamente el volumen disponible del espacio de fases, y luego viendo que se requiere una reducción ad hoc por un factor de. Se llama ad hoc precisamente porque es exacta solo si el valor esperado de los números de distribución es mucho menor que 1. Esto define el límite clásico, y el factor de reducción de Gibbs solo fija el conteo en el límite clásico. Este podría ser el problema aquí, ya que no se hicieron tales suposiciones, de que el sistema está en el límite clásico, en la primera derivación del artículo. Por lo tanto, el uso de la expresión obtenida en la derivación conduce a la incorrección en el conteo de Boltzmann. ${\displaystyle N!}$ ${\displaystyle N_{i}}$

Si no se justifica ni se hacen cambios, se debe eliminar esa sección. Mct mht 05:09, 24 de mayo de 2006 (UTC) [ responder ]

De hecho, obviamente no tiene sentido utilizar el factor de reducción de Gibbs aquí. Supongamos que no hay degeneración y para todo i, si se divide por el factor de Gibbs , esto lleva a una entropía que siempre es no positiva, claramente sin sentido. La sección será eliminada. Mct mht 05:52, 24 de mayo de 2006 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle g_{i}=1}$ ${\displaystyle N!}$

Pregunta: ¿es correcto el término final de la ecuación W? ¿Debería ser (N - N1 - . . . - Nk-1)! en el numerador? [12:31, 11 de julio de 2006 (AGS)]

En la "Derivación de la distribución de Maxwell-Boltzmann" hay una etiqueta de "aclaración necesaria" que he estado pensando en eliminar. se puede derivar fácilmente de W y la segunda ley, pero la derivación de requiere un conteo de Boltzmann correcto, es decir, dividir la ecuación actual para W por N! (es decir, eliminar N! de delante del producto). El conteo de Boltzmann correcto supone que por lo que el ejemplo para no es una crítica válida. También supone lo mencionado anteriormente. No entiendo por qué reemplazar por debería duplicar la entropía. La conclusión es que dividir la ecuación actual para W por N! equivale a un conteo de Boltzmann correcto en las condiciones especificadas, y permitiría una fácil identificación de , y la etiqueta de aclaración podría eliminarse. PAR ( discusión ) 04:40, 3 de noviembre de 2011 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle \beta =1/kT}$ ${\displaystyle S=k\ln W}$ ${\displaystyle \alpha =\mu }$ ${\displaystyle g_{i}>>n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}=1}$ ${\displaystyle n_{i}<<N}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle 2n_{i}}$ ${\displaystyle \alpha =\mu }$

¿Error en la ecuación principal?

¿Es realmente correcta la ecuación principal?

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}}$

¿No debería ser:

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {N}{Z}}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}$

En la primera derivación una línea dice:

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}}$

Esta línea entra en conflicto directo con la ecuación principal.

Respuesta: la ecuación a la que haces referencia en la introducción parece correcta. Ni _es el número de ocupación para el estado i-ésimo y N es el número total de partículas. Por lo tanto, Ni _/ N es esencialmente la probabilidad de que un miembro del conjunto elegido al azar esté en el estado i-ésimo, que debe dividirse por la constante normalizadora Z. Por otro lado, como señalaste, algo no encaja del todo con la ecuación . Esa sección necesita una revisión cuidadosa. Tal vez se le debería agregar una etiqueta de limpieza. Mct mht 15:29, 21 de febrero de 2007 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}$ ${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}}$

Respuesta: Estoy de acuerdo con el mensaje original. es correcto, pero es incorrecto. Debería ser (nótese que ya no hay un en el denominador del LHS), como se dijo en el mensaje original. Si no hay refutaciones, haré el cambio pronto. 27 de junio de 2009 —Comentario anterior sin firmar agregado por 18.100.0.121 (discusión) 16:05, 27 de junio de 2009 (UTC) ${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}}$ ${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}}$ ${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}}$ ${\displaystyle N}$[ responder ]

No tan rapido

<Traumantischer 18:33, 26 de febrero de 2007 (UTC)> No me gustó que, después de tantos detalles al principio de la presentación, se sacara a relucir la estadística de Maxwell-Boltzmann. Por eso propongo de alguna manera desfigurar la siguiente derivación, reemplazando la forma corta: [ responder ]

Usando la aproximación de Stirling para los factoriales y tomando la derivada con respecto a , y fijando el resultado en cero y resolviendo para se obtienen los números de población de Maxwell-Boltzmann: ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$

por lo siguiente (por favor revise):

Con la aproximación de Stirling en la forma

${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$

y descuidando algunas constantes, obtenemos

${\displaystyle f(N_{i})\approx N\ln N-\sum N_{i}\ln N_{i}+\sum N_{i}\ln g_{i}+\alpha (N-\sum N_{i})+\beta (E-\sum N_{i}E_{i})}$

Buscamos ahora extremos estableciendo

${\displaystyle {\frac {\partial f(N_{i})}{\partial N_{i}}}=\ln {N_{i}}+\ln {g_{i}}-1-\alpha -\beta E_{i}=0}$

Para mayor comodidad podemos sustituir la expresión por y obtener soluciones ${\displaystyle (-1-\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle N_{i}=g_{i}e^{\alpha -\beta E_{i}}}$

Sin embargo, todavía queda por determinar. Ya que tenemos ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle N=\sum N_{i}=e^{\alpha }\sum g_{i}e^{-\beta E_{i}}}$

Es fácil ver que

${\displaystyle e^{\alpha }={\frac {N}{\sum g_{i}e^{-\beta E_{i}}}}}$

Así que uno obtiene:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}e^{-\beta E_{i}}}{\sum _{j}g_{j}e^{-\beta E_{j}}}}}$

fin de inserción

<Traumantischer 18:33, 26 de febrero de 2007 (UTC)> [ responder ]

¿Cuantización?

Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por el índice i, cada nivel con energía εi y que contiene un total de partículas Ni. Para empezar, ignoremos el problema de degeneración. Supongamos que solo hay una forma de colocar partículas Ni en el nivel de energía i.

¿Un número de niveles de energía significa que la energía no es continua, sino más bien cuantizada? Por ejemplo, restringirse a niveles de energía de 1,2, 2,4, 3,6, 4,8, 6,0... implicaría que un cuanto de energía térmica transporta 1,2 unidades de energía.

Si es continua, significaría que siempre puedo encontrar otro estado entre estados, pero eso llevaría a la integración de la probabilidad de que todos los estados lleguen al infinito, ¿no es así?

Y hay otro problema: se trata de que ponemos partículas distinguibles en niveles de energía.

Pero si la cuantificación de la energía térmica es correcta, ¿por qué no poner cuantos de energía distinguibles en partículas distinguibles y luego contar su número de formas y luego encontrar la distribución con el valor más alto?

Me preguntaba si he puesto esta pregunta en el lugar correcto. Infórmeme dónde publicarla si existe. Recuerdo que había un servicio de asistencia técnica, pero no pude encontrarlo. ¿Es más apropiado? Usuario:Tikai 16:22, 2 de mayo de 2008 (UTC) [ responder ]

Trabajo modificado basado en "Física", de Alonso y Finn. Siéntete libre de adoptarlo. SÍ a la propuesta de fusión para aumentar la coherencia.

Modelado de la termodinámica estadística: la distribución de Maxwell-Boltzmann

Sea un sistema aislado compuesto por un gran número de partículas, cada una de las cuales puede asumir varios estados de energía . ^[1] Si en un momento determinado las partículas están distribuidas de tal manera que tienen energía , tienen energía y así sucesivamente, entonces ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {{E}_{1}},{\text{ }}{{E}_{2}},...}$ ${\displaystyle {{n}_{1}}}$ ${\displaystyle {{E}_{1}}}$ ${\displaystyle {{n}_{2}}}$ ${\displaystyle {{E}_{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&N=\sum \limits _{i}{{n}_{i}}\\&U=\sum \limits _{i}{{n}_{i}}{{E}_{i}}{\text{ (total energy of system)}}\\&{{E}_{\text{average}}}={\frac {U}{N}}\\\end{aligned}}}$

El conjunto constituye una partición que determina un microestado del sistema. El macroestado determinado por puede corresponder a varias particiones diferentes (microestados). ^[2] Sin embargo, es lógico afirmar que para un macroestado específico existe una clase de microestados relacionados con mayor probabilidad de ocurrencia, en cuyo caso se dice que el sistema está en equilibrio estadístico . El sistema no se desviará de dicha estabilidad (excepto por fluctuaciones estadísticas menores) a menos que sea perturbado por un factor externo. ${\displaystyle \left\{{{n}_{1}},{{n}_{2}},...\right\}}$ ${\displaystyle N,U}$

Bajo ciertos supuestos se puede demostrar que para la partición más probable o de equilibrio es

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{n}_{i}}=\alpha {{g}_{i}}{{e}^{-\beta {{E}_{i}}}}=\underbrace {{\frac {N}{Z}}{{g}_{i}}{{e}^{-\beta {{E}_{i}}}}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Maxwell - Boltzmann}}\\{\text{distribution law}}\end{smallmatrix}}\\&\underbrace {Z=\sum \limits _{i}{{{g}_{i}}{{e}^{-\beta {{E}_{i}}}}}} _{\begin{smallmatrix}{\text{parition function:}}\\{\text{indicates structure of system}}\end{smallmatrix}}\\\end{aligned}}}$

donde es un parámetro relacionado con la temperatura, es una constante que depende de la estructura del sistema y es la probabilidad intrínseca del estado energético , también llamada degeneración del nivel de energía . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {{g}_{i}}{\text{ }}\left({{\text{J}}^{-1}}\right)}$ ${\displaystyle i}$

Siempre que el sistema esté en equilibrio estadístico, se cumplen las siguientes relaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\beta ={\frac {1}{kT}}\\&U={\frac {N}{Z}}\sum \limits _{i}{{{g}_{i}}{{E}_{i}}{{e}^{-\beta {{E}_{i}}}}=kN{{T}^{2}}{\frac {d\ln \left(Z\right)}{dT}}}\\&{{E}_{\text{average}}}=-{\frac {d\ln \left(Z\right)}{d\beta }}=k{{T}^{2}}{\frac {d\ln \left(Z\right)}{dT}}\\\end{aligned}}}$

donde es la constante de Boltzmann y es la temperatura del sistema. Se puede demostrar que si dos sistemas de partículas que interactúan están en equilibrio estadístico, entonces están en equilibrio térmico, es decir, tienen la misma temperatura. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$

Para un gas ideal , y ${\displaystyle {{\left\{{{E}_{i}}\right\}}_{i\in \mathbb {R} }}=E}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dN}{dE}}={\frac {2\pi N}{{\left(\pi kT\right)}^{3/2}}}{{E}^{1/2}}{{e}^{-{\frac {E}{kT}}}}\\&{\frac {dN}{dv}}=4\pi N{\frac {m}{{\left(2\pi kT\right)}^{3/2}}}{{v}^{2}}{{e}^{-{\frac {m{{v}^{2}}}{2kT}}}}\\\end{aligned}}}$

Con las nociones anteriores, la primera ley de la termodinámica para un sistema no aislado queda

${\displaystyle dU=d\left(\sum \limits _{i}{{{n}_{i}}{{E}_{i}}}\right)=\underbrace {\sum \limits _{i}{\left(d{{n}_{i}}\right){{E}_{i}}}} _{\begin{smallmatrix}{\text{change due to }}\\{\text{redistribution of}}\\{\text{molecules}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\sum \limits _{i}{{{n}_{i}}\left(d{{E}_{i}}\right)}} _{\begin{smallmatrix}{\text{change due to reestablishment}}\\{\text{of energy levels (structure -}}\\{\text{size of system)}}\end{smallmatrix}}=dQ+d{{W}_{\text{ext}}}}$

Mientras que la segunda ley de la termodinámica se expresa como ^[3]

${\displaystyle S=k\ln \left(P\right)}$

donde es la probabilidad de la partición correspondiente al estado del sistema y es la entropía . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

Notas

1. Las “partículas” pueden ser partículas fundamentales, átomos o moléculas. En cualquier caso, se supone que son idénticas. Los estados de energía pueden estar cuantizados o variar continuamente.
2. El macroestado también está determinado por la estructura de las partículas y algunos otros parámetros externos. Hasta ahora se ha asumido tácitamente que todas las partículas interactúan de manera despreciable (como en un gas), de modo que se puede asignar una energía bien definida a cada una. En casos especiales se puede evaluar la energía potencial promedio que surge de una interacción promedio entre partículas.
3. Incluso si el sistema no está en equilibrio estadístico.

Rickproser ( discusión ) 00:11 2 ene 2010 (UTC) [ responder ]

¿Es correcta la expresión de Bose-Einstein para W?

¿Es correcta la expresión que aparece a continuación?

${\displaystyle W=\prod _{i}{\frac {(N_{i}+g_{i}-1)!}{N_{i}!(g_{i}-1)!}}}$

Sospeché que no, ya que asumí

${\displaystyle g_{i}=1}$

conduce a

${\displaystyle W=1}$

Pensándolo bien, puede que esto sea cierto: ¡solo hay una configuración si las partículas son indistinguibles! — Comentario anterior sin firmar agregado por Maajdl ( discusión • contribuciones ) 06:56, 11 de diciembre de 2017 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle N_{i}}$

Editar en el texto entre distinguible/indistinguible

Por favor, evalúa si mi última edición es correcta o no, ya que esas dos letras cambian el sentido del párrafo. Gracias. Bcpicao ( discusión ) 22:45 25 ene 2023 (UTC) [ responder ]

No, la versión original era correcta. Evgeny ( discusión ) 21:01 30 ene 2023 (UTC) [ responder ]

¿Partículas de oxígeno?

En el pie de figura se mencionan 'partículas de oxígeno'. Debería especificarse si se trata de átomos, moléculas, ozono o trozos de oxígeno congelado 😀. Si no son átomos, entran en juego la rotación y la vibración. Si lo son, ¿qué les impide formar dímeros? Aoosten ( discusión ) 11:59 6 mar 2024 (UTC) [ responder ]

Cierto, era ambiguo. Lo cambié por "moléculas". En cuanto a tu segundo comentario, ¿por qué un grado de libertad interno (rotacional o vibracional) tendría algún impacto en la distribución de velocidad? Evgeny ( discusión ) 12:48, 6 de marzo de 2024 (UTC) [ responder ]