Discretización

Proceso de transferencia de funciones continuas a contrapartes discretas.

Una solución a una ecuación diferencial parcial discretizada, obtenida con el método de los elementos finitos .

En matemáticas aplicadas , la discretización es el proceso de transferir funciones, modelos, variables y ecuaciones continuas a contrapartes discretas. Este proceso generalmente se lleva a cabo como un primer paso para hacerlos adecuados para la evaluación numérica y su implementación en computadoras digitales. La dicotomización es el caso especial de discretización en el que el número de clases discretas es 2, lo que puede aproximar una variable continua como una variable binaria (creando una dicotomía con fines de modelado , como en la clasificación binaria ).

La discretización también está relacionada con las matemáticas discretas y es un componente importante de la computación granular . En este contexto, la discretización también puede referirse a la modificación de la granularidad de la variable o categoría , como cuando se agregan múltiples variables discretas o se fusionan múltiples categorías discretas.

Siempre que se discretizan datos continuos , siempre hay cierta cantidad de error de discretización . El objetivo es reducir la cantidad a un nivel considerado insignificante para los propósitos del modelo que nos ocupa.

Los términos discretización y cuantificación suelen tener la misma denotación pero no siempre connotaciones idénticas . (Específicamente, los dos términos comparten un campo semántico ). Lo mismo ocurre con el error de discretización y el error de cuantificación .

Los métodos matemáticos relacionados con la discretización incluyen el método de Euler-Maruyama y la retención de orden cero .

Discretización de modelos de espacio de estados lineales.

La discretización también se ocupa de la transformación de ecuaciones diferenciales continuas en ecuaciones en diferencias discretas , adecuadas para la computación numérica .

El siguiente modelo de espacio de estados de tiempo continuo

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)}$

donde v y w son fuentes continuas de ruido blanco de media cero con densidades espectrales de potencia

${\displaystyle \mathbf {w} (t)\sim N(0,\mathbf {Q} )}$

${\displaystyle \mathbf {v} (t)\sim N(0,\mathbf {R} )}$

se puede discretizar, suponiendo que se mantenga el orden cero para la entrada u y la integración continua para el ruido v , para

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]}$

${\displaystyle \mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]}$

con covarianzas

${\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})}$

${\displaystyle \mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} }$, si es no singular ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {R} _{d}=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}}$

y es el tiempo de muestra, aunque es la matriz transpuesta de . La ecuación para el ruido de medición discretizado es consecuencia de que el ruido de medición continuo se define con una densidad espectral de potencia. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Un truco inteligente para calcular A _d y B _d en un solo paso es utilizar la siguiente propiedad: ^{[2] : p. 215}

${\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Donde y son las matrices de espacio de estados discretizadas. ${\displaystyle \mathbf {A} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{d}}$

Discretización del ruido del proceso.

La evaluación numérica de es un poco más complicada debido a la integral exponencial de la matriz. Sin embargo, se puede calcular construyendo primero una matriz y calculando su exponencial ^[3] ${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}$

${\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}$

Luego, el ruido del proceso discretizado se evalúa multiplicando la transpuesta de la partición inferior derecha de G por la partición superior derecha de G :

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}$

Derivación

Comenzando con el modelo continuo

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

sabemos que la matriz exponencial es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$

y premultiplicando el modelo obtenemos

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

que reconocemos como

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

y al integrar...

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

que es una solución analítica al modelo continuo.

Ahora queremos discretizar la expresión anterior. Suponemos que u es constante durante cada paso de tiempo.

${\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

Reconocemos la expresión entre corchetes como , y el segundo término se puede simplificar sustituyéndolo por la función . Tenga en cuenta que . También suponemos que es constante durante la integral , lo que a su vez produce ${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$ ${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$ ${\displaystyle d\tau =-dv}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}$

que es una solución exacta al problema de discretización.

Cuando es singular, la última expresión aún se puede usar reemplazándola por su expansión de Taylor , ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}}$

${\displaystyle e^{{\mathbf {A} }T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}.}$

Esto produce

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{{\mathbf {A} }T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{{\mathbf {A} }v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\mathbf {A} }^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k],\end{matrix}}}$

que es la forma utilizada en la práctica.

Aproximaciones

La discretización exacta a veces puede ser intratable debido a las pesadas operaciones matriciales exponenciales e integrales involucradas. Es mucho más fácil calcular un modelo discreto aproximado, basado en el de pequeños pasos de tiempo . La solución aproximada entonces queda: ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]}$

Esto también se conoce como método de Euler , que también se conoce como método de Euler directo. Otras aproximaciones posibles son el método de Euler hacia atrás y la transformada bilineal o transformada de Tustin. Cada una de estas aproximaciones tiene diferentes propiedades de estabilidad. La transformada bilineal preserva la inestabilidad del sistema de tiempo continuo. ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}$ ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}$

Discretización de características continuas.

En estadística y aprendizaje automático, la discretización se refiere al proceso de convertir características o variables continuas en características discretizadas o nominales. Esto puede resultar útil al crear funciones de masa de probabilidad.

Discretización de funciones suaves.

En la teoría de funciones generalizadas , la discretización surge como un caso particular del teorema de convolución en distribuciones templadas.

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*\operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot \operatorname {III} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\alpha \cdot \operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*\operatorname {III} }$

donde es el peine de Dirac , es la discretización, es la periodización , es una distribución templada que decrece rápidamente (por ejemplo, una función delta de Dirac o cualquier otra función con soporte compacto ), es una función ordinaria suave y de crecimiento lento (por ejemplo, la función que es constante o cualquier otra función de banda limitada ) y es la transformada de Fourier (frecuencia ordinaria, unitaria) . Las funciones que no son suaves se pueden suavizar usando un suavizador antes de la discretización. ${\displaystyle \operatorname {III} }$ ${\displaystyle \cdot \operatorname {III} }$ ${\displaystyle *\operatorname {III} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Como ejemplo, la discretización de la función que es constantemente produce la secuencia que, interpretada como los coeficientes de una combinación lineal de funciones delta de Dirac , forma un peine de Dirac . Si se aplica adicionalmente el truncamiento , se obtienen secuencias finitas, por ejemplo . Son discretos tanto en tiempo como en frecuencia. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [..,1,1,1,..]}$ ${\displaystyle [1,1,1,1]}$

Ver también

• Simulación de eventos discretos
• Espacio discreto
• Tiempo discreto y tiempo continuo.
• método de diferencias finitas
• Método de volumen finito para flujo inestable
• Suavizado
• Simulación estocástica
• Cálculo de escala de tiempo

Referencias

1. Corporación de Ciencias Analíticas. Personal técnico. (1974). Estimación óptima aplicada . Gelb, Arthur, 1937-. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. págs.121. ISBN 0-262-20027-9. OCLC  960061.
2. Raymond DeCarlo: Sistemas lineales: un enfoque de variable de estado con implementación numérica , Prentice Hall, Nueva Jersey, 1989
3. Charles Van Loan: Cálculo de integrales que involucran la matriz exponencial , IEEE Transactions on Automatic Control. 23 (3): 395–404, 1978

Otras lecturas

• Robert Grover Brown y Patrick YC Hwang (1997). Introducción a las señales aleatorias y filtrado de Kalman aplicado (3ª ed.). ISBN 978-0471128397.
• Chi-Tsong Chen (1984). Teoría y diseño de sistemas lineales . Filadelfia, PA, EE.UU.: Saunders College Publishing. ISBN 978-0030716911.
• C. Van Loan (junio de 1978). "Cálculo de integrales que involucran la matriz exponencial" (PDF) . Transacciones IEEE sobre control automático . 23 (3): 395–404. doi :10.1109/TAC.1978.1101743. hdl : 1813/7095 .
• RH Middleton y GC Goodwin (1990). Control y estimación digitales: un enfoque unificado . pag. 33f. ISBN 978-0132116657.

enlaces externos

• Discretización en Geometría y Dinámica: investigación sobre la discretización de la geometría diferencial y la dinámica