Retención de orden cero

Modelo de reconstrucción de señal en convertidores digital a analógico (DAC)

La retención de orden cero ( ZOH ) es un modelo matemático de la reconstrucción práctica de señales realizada por un convertidor digital a analógico (DAC) convencional. Es decir, describe el efecto de convertir una señal de tiempo discreto en una señal de tiempo continuo manteniendo cada valor de muestra durante un intervalo de muestra. Tiene varias aplicaciones en comunicación eléctrica.

Modelo en el dominio del tiempo

Figura 1. Función recta en escala de tiempo y en diferido utilizada en el análisis en el dominio del tiempo de ZOH.

Figura 2. Señal constante por partes x _ZOH ( t ).

Figura 3. Un peine de Dirac modulado x _s ( t ).

Una retención de orden cero reconstruye la siguiente forma de onda de tiempo continuo a partir de una secuencia de muestras x [ n ], suponiendo una muestra por intervalo de tiempo T :

$${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {t-T/2-nT}{T}}\right)}$$

función rectangular ${\displaystyle \mathrm {rect} (\cdot )}$

La función se muestra en la Figura 1 y es la señal constante por partes que se muestra en la Figura 2. ${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {t-T/2}{T}}\right)}$ ${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)}$

Modelo en el dominio de la frecuencia

La ecuación anterior para la salida del ZOH también se puede modelar como la salida de un filtro lineal invariante en el tiempo con una respuesta de impulso igual a una función recta y con una entrada como una secuencia de impulsos dirac escalados a los valores de la muestra. Luego, el filtro se puede analizar en el dominio de la frecuencia, para compararlo con otros métodos de reconstrucción, como la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon sugerida por el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , o como la retención de primer orden o la interpolación lineal entre valores de muestra.

En este método, una secuencia de impulsos de Dirac , x _s ( t ), que representan las muestras discretas, x [ n ], se filtra en paso bajo para recuperar una señal de tiempo continuo , x ( t ).

Aunque esto no es lo que hace un DAC en realidad, la salida del DAC se puede modelar aplicando la secuencia hipotética de impulsos dirac, x _s ( t ), a un filtro lineal invariante en el tiempo con tales características (que, para un LTI sistema, se describen completamente mediante la respuesta al impulso ) de modo que cada impulso de entrada resulte en el pulso constante correcto en la salida.

Comience definiendo una señal de tiempo continuo a partir de los valores de muestra, como arriba pero usando funciones delta en lugar de funciones rectas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{s}(t)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\\&{}=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT).\end{aligned}}}$$

El escalado por , que surge naturalmente al escalar en el tiempo la función delta, tiene como resultado que el valor medio de x _s ( t ) es igual al valor medio de las muestras, de modo que el filtro de paso bajo necesario tendrá una ganancia de CC de 1. Algunos autores utilizan esta escala, ^[1] mientras que muchos otros omiten la escala de tiempo y la T , lo que da como resultado un modelo de filtro de paso bajo con una ganancia de CC de T y, por lo tanto, dependiente de las unidades de medida de tiempo. ${\displaystyle T}$

Figura 4. Respuesta al impulso de retención de orden cero h _ZOH ( t ). Es idéntica a la función recta de la Figura 1, excepto que ahora está escalada para tener un área de 1, de modo que el filtro tendrá una ganancia de CC de 1.

La retención de orden cero es el filtro hipotético o sistema LTI que convierte la secuencia de impulsos de Dirac modulados x _s ( t ) en la señal constante por partes (que se muestra en la Figura 2):

$${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)}$$

dando como resultado una respuesta de impulso

$${\displaystyle h_{\mathrm {ZOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}&{\text{if }}0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

La respuesta de frecuencia efectiva es la transformada continua de Fourier de la respuesta al impulso.

$${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(f)={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}={\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}=e^{-i\pi fT}\mathrm {sinc} (fT)}$$

función sinc ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}$ ${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

La función de transferencia de la transformada de Laplace del ZOH se encuentra sustituyendo s = i 2 π f :

$${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(s)={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}\,={\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\ }$$

El hecho de que los convertidores digitales a analógicos (DAC) prácticos no generen una secuencia de impulsos dirac , x _s ( t ) (que, idealmente, si se filtraran de paso bajo, darían como resultado la única señal subyacente de banda limitada antes del muestreo), pero en su lugar, genera una secuencia de pulsos rectangulares, x _ZOH ( t ) (una función constante por partes ), significa que hay un efecto inherente del ZOH en la respuesta de frecuencia efectiva del DAC, lo que resulta en una suave reducción de la ganancia en el frecuencias más altas (una pérdida de 3,9224 dB en la frecuencia de Nyquist , correspondiente a una ganancia de sinc(1/2) = 2/π). Esta caída es una consecuencia de la propiedad de retención de un DAC convencional y no se debe al muestreo y retención que podrían preceder a un convertidor analógico a digital (ADC) convencional.

Ver también

• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Retención de primer orden
• Discretización de modelos de espacio de estados lineales (suponiendo mantenimiento de orden cero)

Referencias

1. Ken C. Pohlmann (2000). Principios del audio digital (quinta ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-144156-5.