Retención de primer orden

La retención de primer orden ( FOH ) es un modelo matemático de la reconstrucción práctica de señales muestreadas que podría realizarse mediante un convertidor digital a analógico (DAC) convencional y un circuito analógico llamado integrador . Para FOH, la señal se reconstruye como una aproximación lineal por partes a la señal original que se muestreó. Un modelo matemático como FOH (o, más comúnmente, el de orden cero ) es necesario porque, en el teorema de muestreo y reconstrucción , una secuencia de impulsos de Dirac , xs ( _t ), que representan las muestras discretas, x ( nT ) , se filtra de paso bajo para recuperar la señal original que se muestreó, x ( t ). Sin embargo, generar una secuencia de impulsos de Dirac no es práctico. Se pueden implementar dispositivos, utilizando un DAC convencional y algunos circuitos analógicos lineales, para reconstruir la salida lineal por partes para FOH predictivo o retardado.

Aunque esto no es lo que se hace físicamente, se puede generar una salida idéntica aplicando la secuencia hipotética de impulsos de Dirac, x _s ( t ), a un sistema lineal invariante en el tiempo , también conocido como filtro lineal con tales características (que , para un sistema LTI, se describen completamente mediante la respuesta al impulso ) de modo que cada impulso de entrada da como resultado la función lineal por partes correcta en la salida.

Retención básica de primer orden

Idealmente señal muestreada x _s ( t ).

La retención de primer orden es el filtro hipotético o sistema LTI que convierte la señal idealmente muestreada

Señal lineal por partes x _FOH ( t ).

a la señal lineal por partes

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\ }$

Respuesta impulsiva (no causal) de retención de primer orden h _FOH ( t ).

dando como resultado una respuesta de impulso efectiva de

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

¿Dónde está la función triangular ? ${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$

La respuesta de frecuencia efectiva es la transformada continua de Fourier de la respuesta al impulso.

¿Dónde está la función sinc normalizada ? ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\ }$

La función de transferencia de transformada de Laplace de FOH se encuentra sustituyendo s = i 2 π f :

Este es un sistema acausal en el que la función de interpolación lineal se mueve hacia el valor de la siguiente muestra antes de que dicha muestra se aplique al filtro FOH hipotético.

Retención retrasada de primer orden

Señal lineal retardada por partes x _FOH ( t ).

La retención retardada de primer orden , a veces llamada retención causal de primer orden , es idéntica a la FOH anterior, excepto que su salida se retrasa en un período de muestra, lo que da como resultado una señal de salida lineal retrasada por partes.

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-T-nT}{T}}\right)\ }$

Respuesta impulsiva de retención causal de primer orden h _FOH ( t ).

dando como resultado una respuesta de impulso efectiva de

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t-T}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t-T|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t-T|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

¿Dónde está la función triangular ? ${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$

La respuesta de frecuencia efectiva es la transformada continua de Fourier de la respuesta al impulso.

¿Dónde está la función sinc ? ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$

La función de transferencia de la transformada de Laplace del FOH retardado se encuentra sustituyendo s = i 2 π f :

La producción retrasada hace de este un sistema causal . La respuesta al impulso del FOH retardado no responde antes del impulso de entrada.

Este tipo de reconstrucción lineal retardada por partes es físicamente realizable implementando un filtro digital de ganancia H ( z ) = 1 − z ⁻¹ , aplicando la salida de ese filtro digital (que es simplemente x [ n ] − x [ n −1 ] ) a un convertidor digital a analógico convencional ideal (que tiene como modelo una retención inherente de orden cero ) e integrando (en tiempo continuo, H ( s ) = 1/( sT )) la salida del DAC.

Retención predictiva de primer orden

Señal de salida FOH predictiva x _FOH ( t ).

Por último, el mantenimiento predictivo de primer orden es bastante diferente. Este es un sistema o filtro LTI hipotético causal que convierte la señal idealmente muestreada

en una salida lineal por partes de modo que la muestra actual y la muestra inmediatamente anterior se utilicen para extrapolar linealmente hasta la siguiente instancia de muestreo. La salida de dicho filtro sería

Respuesta al impulso de retención predictiva de primer orden h _FOH ( t ).

dando como resultado una respuesta de impulso efectiva de

donde es la función rectangular y es la función triangular . ${\displaystyle \mathrm {rect} (x)\ }$ ${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$

La respuesta de frecuencia efectiva es la transformada continua de Fourier de la respuesta al impulso.

¿Dónde está la función sinc ? ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$

La función de transferencia de la transformada de Laplace del FOH predictivo se encuentra sustituyendo s = i 2 π f :

Este es un sistema causal . La respuesta al impulso del FOH predictivo no responde antes del impulso de entrada.

Este tipo de reconstrucción lineal por partes es físicamente realizable implementando un filtro digital de ganancia H ( z ) = 1 − z ⁻¹ , aplicando la salida de ese filtro digital (que es simplemente x [ n ] − x [ n −1]) a un convertidor digital a analógico convencional ideal (que tiene una retención inherente de orden cero como modelo) y aplicar esa salida DAC a un filtro analógico con función de transferencia H ( s ) = (1+ sT )/( sT ).

Ver también

• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Retención de orden cero
• Interpolación bilineal

enlaces externos

• Sankar, Krishna (2007). "Interpolación basada en retención de orden cero y retención de primer orden". Procesamiento de señales dspLog para comunicación .