El disco de Euler , inventado entre 1987 y 1990 por Joseph Bendik, [1] es un juguete educativo científico registrado . [2] Se utiliza para ilustrar y estudiar el sistema dinámico de un disco que gira y rueda sobre una superficie plana o curva. Ha sido objeto de varios artículos científicos. [3] Bendik nombró el juguete en honor al matemático Leonhard Euler . [4]
Joseph Bendik notó por primera vez el interesante movimiento del disco giratorio mientras trabajaba en Hughes Aircraft (Centro de Investigación de Carlsbad) después de hacer girar un pesado plato de pulido en su escritorio durante el almuerzo un día.
El aparato es una visualización espectacular de los intercambios de energía en tres procesos diferentes y estrechamente acoplados. A medida que el disco disminuye gradualmente su rotación azimutal, también se produce una disminución de la amplitud y un aumento de la frecuencia de la precesión axial del disco . [5]
La evolución de la precesión axial del disco se puede visualizar fácilmente en un vídeo a cámara lenta mirando el lateral del disco siguiendo un único punto marcado en el disco. La evolución de la rotación del disco se puede visualizar fácilmente en cámara lenta mirando la parte superior del disco siguiendo una flecha dibujada en el disco que representa su radio.
A medida que el disco libera la energía inicial proporcionada por el usuario y se acerca a la parada, su rotación sobre el eje vertical se hace más lenta, mientras que la oscilación de su punto de contacto aumenta. Iluminado desde arriba, con su punto de contacto y el borde inferior cercano en sombra, el disco parece levitar antes de detenerse.
El juguete comercial consta de un disco de acero cromado grueso y pesado y una base rígida, ligeramente cóncava y con espejo. Se pueden colocar en el disco pegatinas magnéticas holográficas para mejorar el efecto visual del movimiento. Sin embargo, estos accesorios pueden dificultar la visión y la comprensión de los procesos en funcionamiento.
Cuando se hace girar sobre una superficie plana, el disco exhibe un movimiento giratorio que progresa lentamente a través de diferentes velocidades y tipos de movimiento antes de detenerse. Lo más notable es que la velocidad de precesión del eje de simetría del disco aumenta a medida que el disco gira hacia abajo. La base del espejo proporciona una superficie de baja fricción; su ligera concavidad evita que el disco se "desplace" fuera de la superficie.
Cualquier disco, girado sobre una superficie razonablemente plana (como una moneda girada sobre una mesa), exhibirá esencialmente el mismo tipo de movimiento que un disco de Euler, pero durante un tiempo mucho más corto. Los discos comerciales proporcionan una demostración más efectiva del fenómeno, ya que tienen una relación de aspecto optimizada y un borde pulido con precisión, ligeramente redondeado para maximizar el tiempo de giro/rodamiento.
Un disco que gira/roda finalmente se detiene de manera bastante abrupta, y la etapa final del movimiento va acompañada de un zumbido cuya frecuencia aumenta rápidamente. A medida que el disco gira, el punto de contacto de rodadura describe un círculo que oscila con una velocidad angular constante . Si el movimiento no es disipativo (sin fricción), es constante y persiste para siempre; esto es contrario a la observación, ya que no es constante en situaciones de la vida real. De hecho, la tasa de precesión del eje de simetría se aproxima a una singularidad de tiempo finito modelada por una ley de potencia con exponente de aproximadamente -1/3 (dependiendo de las condiciones específicas).
Existen dos efectos disipativos notables: la fricción de rodadura cuando el disco se desliza a lo largo de la superficie y la resistencia del aire. Los experimentos muestran que la fricción de rodadura es la principal responsable de la disipación y el comportamiento [6] —los experimentos en el vacío muestran que la ausencia de aire afecta al comportamiento solo ligeramente, mientras que el comportamiento (tasa de precesión) depende sistemáticamente del coeficiente de fricción . En el límite de ángulo pequeño (es decir, inmediatamente antes de que el disco deje de girar), la resistencia del aire (específicamente, la disipación viscosa ) es el factor dominante, pero antes de esta etapa final, la fricción de rodadura es el efecto dominante.
El comportamiento de un disco giratorio cuyo centro está en reposo se puede describir de la siguiente manera. [7] Sea la línea desde el centro del disco hasta el punto de contacto con el plano la que se llamará eje . Dado que el centro del disco y el punto de contacto están instantáneamente en reposo (suponiendo que no hay deslizamiento) eje es el eje instantáneo de rotación. El momento angular es que se cumple para cualquier disco delgado y circularmente simétrico con masa ; para un disco con masa concentrada en el borde, para un disco uniforme (como el disco de Euler), es el radio del disco, y es la velocidad angular a lo largo de .
La fuerza de contacto es donde es la aceleración gravitacional y es el eje vertical que apunta hacia arriba. El torque sobre el centro de masa es que podemos reescribir como donde . Podemos concluir que tanto el momento angular como el disco están precesando sobre el eje vertical a una velocidad
Al mismo tiempo, es la velocidad angular del punto de contacto con el plano. Definamos que el eje se encuentra a lo largo del eje de simetría del disco y apunta hacia abajo. Entonces se cumple que , donde es el ángulo de inclinación del disco con respecto al plano horizontal. La velocidad angular se puede considerar como compuesta de dos partes , donde es la velocidad angular del disco a lo largo de su eje de simetría. A partir de la geometría, concluimos fácilmente que:
Conectando en la ecuación ( 1 ) finalmente obtenemos
A medida que se acerca adiabáticamente a cero, la velocidad angular del punto de contacto se vuelve muy grande y se escucha un sonido de alta frecuencia asociado con el disco giratorio. Sin embargo, la rotación de la figura en la cara de la moneda, cuya velocidad angular se acerca a cero. La velocidad angular total también se desvanece, así como la energía total.
a medida que se acerca a cero. Aquí hemos utilizado la ecuación ( 2 ).
A medida que se acerca a cero, el disco finalmente pierde contacto con la mesa y se asienta rápidamente sobre la superficie horizontal. Se oye un sonido a una frecuencia , que se vuelve drásticamente más alta, , a medida que la velocidad de rotación de la figura disminuye, , hasta que el sonido cesa abruptamente.
A medida que un disco simétrico circular se asienta, la separación entre un punto fijo en la superficie de apoyo y el disco móvil situado encima oscila a una frecuencia creciente, en sincronía con el ángulo del eje de rotación respecto de la vertical.
La ilusión de levitación se produce cuando el borde del disco refleja la luz cuando se inclina ligeramente hacia arriba sobre la superficie de apoyo, y en la sombra cuando se inclina ligeramente hacia abajo en contacto. La sombra no se percibe y los reflejos que parpadean rápidamente desde el borde sobre la superficie de apoyo se perciben como una elevación constante. Véase persistencia de la visión .
La ilusión de levitación se puede mejorar optimizando la curva del borde inferior para que la línea de sombra permanezca alta mientras el disco se asienta. Un espejo puede mejorar aún más el efecto ocultando la superficie de apoyo y mostrando la separación entre la superficie del disco en movimiento y la imagen reflejada.
Las imperfecciones del disco, vistas en la sombra, que podrían obstaculizar la ilusión, pueden quedar ocultas en un patrón de piel que se difumina con el movimiento.
Una moneda de veinticinco centavos estadounidense limpia (acuñada entre 1970 y 2022), que gira sobre un espejo de mano plano, vista desde el lado cercano a la superficie del espejo, demuestra el fenómeno durante unos segundos.
Las crestas laterales, iluminadas por una fuente puntual directamente sobre el centro del cuarto que pronto se asentará, se iluminan cuando el eje de rotación está alejado del observador y quedan en sombra cuando el eje de rotación está hacia el observador. La vibración difumina las crestas y las caras o las colas están demasiado escorzadas para mostrar la rotación.
A principios de la década de 2000, la investigación se vio impulsada por un artículo en la edición del 20 de abril de 2000 de Nature [4] , donde Keith Moffatt demostró que la disipación viscosa en la fina capa de aire entre el disco y la mesa sería suficiente para explicar la brusquedad observada del proceso de asentamiento. También demostró que el movimiento concluía en una singularidad de tiempo finito . Su primera hipótesis teórica fue contradicha por investigaciones posteriores, que demostraron que la fricción de rodadura es en realidad el factor dominante.
Moffatt demostró que, a medida que el tiempo se acerca a un tiempo particular (que matemáticamente es una constante de integración ), la disipación viscosa se acerca al infinito . La singularidad que esto implica no se realiza en la práctica, porque la magnitud de la aceleración vertical no puede superar la aceleración debida a la gravedad (el disco pierde contacto con su superficie de apoyo). Moffatt continúa demostrando que la teoría se desmorona en un momento anterior al tiempo de asentamiento final , dado por
donde es el radio del disco, es la aceleración debida a la gravedad de la Tierra, la viscosidad dinámica del aire y la masa del disco. En el caso del disco de Euler de juguete disponible comercialmente (ver el enlace en "Enlaces externos" a continuación), es de aproximadamente segundos, en cuyo momento el ángulo entre la moneda y la superficie, , es de aproximadamente 0,005 radianes y la velocidad angular de rodadura, , es de aproximadamente 500 Hz.
Usando la notación anterior, el tiempo total de hilado/rodamiento es:
donde es la inclinación inicial del disco, medida en radianes . Moffatt también demostró que, si , la singularidad de tiempo finito en está dada por
El trabajo teórico de Moffatt inspiró a otros investigadores a investigar experimentalmente el mecanismo disipativo de un disco giratorio, con resultados que contradecían parcialmente su explicación. Estos experimentos utilizaron objetos giratorios y superficies de diversas geometrías (discos y anillos), con coeficientes de fricción variables, tanto en el aire como en el vacío, y utilizaron instrumentación como la fotografía de alta velocidad para cuantificar el fenómeno.
En la edición del 30 de noviembre de 2000 de Nature , los físicos Van den Engh, Nelson y Roach analizan experimentos en los que se hicieron girar discos en el vacío. [8] Van den Engh utilizó un rijksdaalder , una moneda holandesa , cuyas propiedades magnéticas permitían que girara a una velocidad determinada con precisión. Descubrieron que el deslizamiento entre el disco y la superficie podía explicar las observaciones, y que la presencia o ausencia de aire solo afectaba ligeramente al comportamiento del disco. Señalaron que el análisis teórico de Moffatt predeciría un tiempo de giro muy largo para un disco en el vacío, lo que no se observó.
Moffatt respondió con una teoría generalizada que debería permitir la determinación experimental de qué mecanismo de disipación es dominante, y señaló que el mecanismo de disipación dominante siempre sería la disipación viscosa en el límite de lo pequeño (es decir, justo antes de que el disco se asiente). [9]
Trabajos posteriores en la Universidad de Guelph por Petrie, Hunt y Gray [10] mostraron que llevar a cabo los experimentos en vacío (presión 0,1 pascal ) no afectó significativamente la tasa de disipación de energía. Petrie et al. también demostraron que las tasas no se vieron afectadas en gran medida al reemplazar el disco con una forma de anillo , y que la condición de no deslizamiento se cumplió para ángulos mayores de 10°. Otro trabajo de Caps, Dorbolo, Ponte, Croisier y Vandewalle [11] ha concluido que el aire es una fuente menor de disipación de energía. El principal proceso de disipación de energía es el rodamiento y deslizamiento del disco sobre la superficie de apoyo. Se demostró experimentalmente que el ángulo de inclinación, la tasa de precesión y la velocidad angular siguen el comportamiento de la ley de potencia.
En varias ocasiones durante la huelga del Writers Guild of America de 2007-2008 , el presentador de un programa de entrevistas, Conan O'Brien, hacía girar su anillo de bodas sobre su escritorio, intentando hacerlo girar el mayor tiempo posible. La búsqueda por lograr tiempos de giro cada vez más largos lo llevó a invitar al profesor del MIT Peter Fisher al programa para experimentar con el problema. Hacer girar el anillo en el vacío no tuvo ningún efecto identificable, mientras que una superficie de soporte giratoria de teflón dio un tiempo récord de 51 segundos, lo que corrobora la afirmación de que la fricción rodante es el mecanismo principal de disipación de energía cinética. [ cita requerida ] Leine [12] ha estudiado varios tipos de fricción rodante como mecanismo principal de disipación de energía y confirmó experimentalmente que la resistencia friccional del movimiento del punto de contacto sobre el borde del disco es muy probablemente el mecanismo principal de disipación en una escala de tiempo de segundos.
Los discos de Euler aparecen en la película Snow Cake de 2006 y en el programa de televisión The Big Bang Theory , temporada 10, episodio 16, que se emitió el 16 de febrero de 2017.
El equipo de sonido de la película Pearl Harbor de 2001 utilizó un disco de Euler giratorio como efecto de sonido para los torpedos. Durante la presentación de los Premios de la Academia se reprodujo un breve clip del equipo de sonido jugando con el disco de Euler. [13]
Los principios del disco de Euler se utilizaron con anillos especialmente hechos sobre una mesa como medio de grabación futurista en la película La máquina del tiempo de 1960 .
Mientras Bendik jugaba con el disco, pensó: Tal vez sería un buen juguete.
Indicador de actividad/desactividad: VIVA
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