Dilatación (morfología)

Operación en morfología matemática

La dilatación (representada habitualmente por ⊕ ) es una de las operaciones básicas de la morfología matemática . Desarrollada originalmente para imágenes binarias , se ha ampliado primero a imágenes en escala de grises y, después, a redes completas . La operación de dilatación suele utilizar un elemento estructurante para explorar y expandir las formas contenidas en la imagen de entrada.

Dilatación binaria

La dilatación de un cuadrado azul oscuro mediante un disco, dando como resultado el cuadrado azul claro con esquinas redondeadas.

En morfología binaria, la dilatación es un operador invariante al desplazamiento ( invariante a la traducción ), equivalente a la adición de Minkowski .

En morfología matemática, una imagen binaria se considera un subconjunto de un espacio euclidiano R ^d o de la cuadrícula de números enteros Z ^d , para alguna dimensión d . Sea E un espacio euclidiano o una cuadrícula de números enteros, A una imagen binaria en E , y B un elemento estructurante considerado como un subconjunto de R ^d .

La dilatación de A por B se define por

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b},}$

donde A _b es la traslación de A por b .

La dilatación es conmutativa, también dada por . ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$

Si B tiene centro en el origen, entonces la dilatación de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos recorridos por B cuando el centro de B se desplaza dentro de A. La dilatación de un cuadrado de tamaño 10, centrado en el origen, por un disco de radio 2, también centrado en el origen, es un cuadrado de lado 14, con esquinas redondeadas, centrado en el origen. El radio de las esquinas redondeadas es 2.

La dilatación también se puede obtener mediante , donde B ^s denota la simetría de B , es decir, . ${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$ ${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$

Ejemplo

Supongamos que A es la siguiente matriz de 11 x 11 y B es la siguiente matriz de 3 x 3:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0  0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0  0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Para cada píxel en A que tenga un valor de 1, superponga B, con el centro de B alineado con el píxel correspondiente en A.

Cada píxel de cada B superpuesto está incluido en la dilatación de A por B.

La dilatación de A por B viene dada por esta matriz de 11 x 11.

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0  1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

Propiedades de la dilatación binaria

A continuación se muestran algunas propiedades del operador de dilatación binaria

• Es invariante en cuanto a traducción .
• Es creciente , es decir, si , entonces . ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$
• Es conmutativa .
• Si el origen de E pertenece al elemento estructurante B , entonces es extensivo , es decir, . ${\displaystyle A\subseteq A\oplus B}$
• Es asociativo , es decir, . ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$
• Es distributiva sobre la unión de conjuntos.

Dilatación en escala de grises

En la morfología de escala de grises , las imágenes son funciones que asignan a un espacio o cuadrícula euclidiana E , donde es el conjunto de números reales , es un elemento mayor que cualquier número real y es un elemento menor que cualquier número real. ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Los elementos estructurantes en escala de grises también son funciones del mismo formato, llamadas "funciones estructurantes".

Denotando una imagen por f ( x ) y la función estructurante por b ( x ), la dilatación en escala de grises de f por b está dada por

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)],}$

donde "sup" denota el supremo .

Funciones de estructuración plana

Ejemplo de dilatación de una imagen en escala de grises utilizando un elemento estructurante plano de 5x5. La figura superior muestra la aplicación de la ventana del elemento estructurante a los píxeles individuales de la imagen original. La figura inferior muestra la imagen dilatada resultante.

Es común utilizar elementos estructurantes planos en aplicaciones morfológicas. Las funciones estructurantes planas son funciones b ( x ) en la forma

${\displaystyle b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x\in B,\\-\infty ,&{\text{otherwise}},\end{array}}\right.}$

dónde . ${\displaystyle B\subseteq E}$

En este caso, la dilatación se simplifica enormemente y se da por

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)]=\sup _{z\in E}[f(x-z)+b(z)]=\sup _{z\in B}[f(x-z)].}$

(Supongamos que x  = ( px ,  qx ), z  = ( pz ,  qz ), entonces x  −  z  = ( px  −  pz ,  qx  −  qz ).)

En el caso discreto y acotado ( E es una cuadrícula y B está acotado), el operador supremo puede reemplazarse por el máximo . Por lo tanto, la dilatación es un caso particular de filtros estadísticos de orden , que devuelve el valor máximo dentro de una ventana móvil (la simetría de la función estructurante soporta B ).

Dilatación en redes completas

Los retículos completos son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un ínfimo y un supremo . En particular, contiene un elemento mínimo y un elemento máximo (también denominado "universo").

Sea una red completa, con ínfimo y supremo simbolizados por y , respectivamente. Su universo y elemento mínimo están simbolizados por U y , respectivamente. Además, sea una colección de elementos de L . ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$

Una dilatación es cualquier operador que distribuye sobre el supremo y conserva el elemento menor. Es decir, se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle \delta :L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right),}$
• ${\displaystyle \delta (\varnothing )=\varnothing .}$

Véase también

• Zona de amortiguamiento (SIG)
• Cierre (morfología)
• Erosión (morfología)
• Morfología matemática
• Apertura (morfología)
• Adición de Minkowski

Bibliografía

• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Análisis de imágenes y morfología matemática, volumen 2: avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas, de Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)