Erosión (morfología)

Operaciones básicas en morfología matemática

La erosión del cuadrado azul oscuro por un disco, dando como resultado el cuadrado azul claro.

La erosión (generalmente representada por ⊖ ) es una de las dos operaciones fundamentales (la otra es la dilatación ) en el procesamiento de imágenes morfológicas, de la que se basan todas las demás operaciones morfológicas. Se definió originalmente para imágenes binarias , y luego se extendió a imágenes en escala de grises y, posteriormente, a redes completas . La operación de erosión generalmente utiliza un elemento estructurante para sondear y reducir las formas contenidas en la imagen de entrada.

Erosión binaria

En la morfología binaria, una imagen se considera como un subconjunto de un espacio euclidiano o de la cuadrícula de números enteros , para alguna dimensión d . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

La idea básica de la morfología binaria es sondear una imagen con una forma simple y predefinida, extrayendo conclusiones sobre cómo esta forma se ajusta o no a las formas de la imagen. Esta simple "sonda" se denomina elemento estructurante y es en sí misma una imagen binaria (es decir, un subconjunto del espacio o la cuadrícula).

Sea E un espacio euclidiano o una cuadrícula de números enteros, y A una imagen binaria en E. La erosión de la imagen binaria A por el elemento estructurante B se define por:

${\displaystyle A\ominus B=\{z\in E\mid B_{z}\subseteq A\}}$,

donde B _z es la traslación de B por el vector z, es decir, , . ${\displaystyle B_{z}=\{b+z\mid b\in B\}}$ ${\displaystyle \forall z\in E}$

Cuando el elemento estructurante B tiene un centro (p. ej., un disco o un cuadrado), y este centro está situado en el origen de E , entonces la erosión de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos alcanzados por el centro de B cuando B se mueve dentro de A. Por ejemplo, la erosión de un cuadrado de lado 10, centrado en el origen, por un disco de radio 2, también centrado en el origen, es un cuadrado de lado 6 centrado en el origen.

La erosión de A por B también viene dada por la expresión: , donde A _−b denota la traslación de A por -b . ${\displaystyle A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$

Esto también se conoce más generalmente como diferencia de Minkowski .

Ejemplo

Supongamos que A es una matriz de 13 x 13 y B es una matriz de 3 x 3:

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Suponiendo que el origen B está en su centro, para cada píxel en A superponga el origen de B, si B está completamente contenido por A el píxel se conserva, de lo contrario se elimina.

Por lo tanto, la erosión de A por B viene dada por esta matriz de 13 x 13.

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Esto significa que solo cuando B está completamente contenido dentro de A se conservan los valores de los píxeles, de lo contrario se eliminan o se erosionan.

Propiedades

• La erosión es invariante a la traducción .
• Es creciente , es decir, si , entonces . ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$
• Si el origen de E pertenece al elemento estructurante B , entonces la erosión es antiextensiva , es decir, . ${\displaystyle A\ominus B\subseteq A}$
• La erosión satisface , donde denota la dilatación morfológica . ${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$ ${\displaystyle \oplus }$
• La erosión es distributiva sobre la intersección del conjunto.

Erosión en escala de grises

Ejemplo de erosión en una imagen en escala de grises utilizando un elemento estructurante plano de 5x5. La figura superior muestra la aplicación de la ventana del elemento estructurante a los píxeles individuales de la imagen original. La figura inferior muestra la imagen erosionada resultante.

En la morfología de escala de grises , las imágenes son funciones que asignan a un espacio o cuadrícula euclidiana E , donde es el conjunto de números reales , es un elemento mayor que cualquier número real y es un elemento menor que cualquier número real. ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Denotando una imagen por f(x) y el elemento estructurante en escala de grises por b(x) , donde B es el espacio en el que se define b(x), la erosión en escala de grises de f por b se da por

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f(x+y)-b(y)]}$,

donde "inf" denota el ínfimo .

En otras palabras, la erosión de un punto es el mínimo de los puntos en su entorno, siendo ese entorno definido por el elemento estructurante. De esta manera, es similar a muchos otros tipos de filtros de imagen, como el filtro de mediana y el filtro gaussiano .

Erosiones en redes completas

Los retículos completos son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un ínfimo y un supremo . En particular, contiene un elemento mínimo y un elemento máximo (también denominado "universo").

Sea una red completa, con ínfimo y supremo simbolizados por y , respectivamente. Su universo y elemento mínimo están simbolizados por U y , respectivamente. Además, sea una colección de elementos de L . ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$

Una erosión en es cualquier operador que se distribuye sobre el ínfimo y preserva el universo. Es decir: ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle \varepsilon :L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)}$,
• ${\displaystyle \varepsilon (U)=U}$.

Véase también

• Morfología matemática
• Dilatación
• Apertura
• Cierre

Referencias

• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Análisis de imágenes y morfología matemática, volumen 2: avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas, de Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Análisis de imágenes morfológicas: principios y aplicaciones de Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999) 
• RC Gonzalez y RE Woods, Procesamiento de imágenes digitales , 2.ª ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002.