Derivado total

Tipo de derivada en matemáticas

En matemáticas , la derivada total de una función f en un punto es la mejor aproximación lineal cerca de este punto de la función con respecto a sus argumentos. A diferencia de las derivadas parciales , la derivada total aproxima la función con respecto a todos sus argumentos, no solo a uno. En muchas situaciones, esto equivale a considerar todas las derivadas parciales simultáneamente. El término "derivada total" se utiliza principalmente cuando f es una función de varias variables, porque cuando f es una función de una sola variable, la derivada total es la misma que la derivada ordinaria de la función. ^{[1] : 198–203}

La derivada total como un mapa lineal.

Sea un subconjunto abierto . Entonces se dice que una función es ( totalmente ) diferenciable en un punto si existe una transformación lineal tal que ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$

El mapa lineal se llama derivada ( total ) o diferencial ( total ) de at . Otras notaciones para la derivada total incluyen y . Una función es ( totalmente ) diferenciable si su derivada total existe en cada punto de su dominio. ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D_{a}f}$ ${\displaystyle Df(a)}$

Conceptualmente, la definición de derivada total expresa la idea de que es la mejor aproximación lineal al punto . Esto se puede precisar cuantificando el error en la aproximación lineal determinado por . Para ello escribe ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

donde es igual al error en la aproximación. Decir que la derivada de at es es equivalente al enunciado ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

donde está la notación little-o e indica que es mucho más pequeño que as . La derivada total es la única transformación lineal para la cual el término de error es tan pequeño, y este es el sentido en el que es la mejor aproximación lineal a . ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ ${\displaystyle \lVert h\rVert }$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$

La función es diferenciable si y sólo si cada uno de sus componentes es diferenciable, por lo que al estudiar derivadas totales, a menudo es posible trabajar una coordenada a la vez en el codominio. Sin embargo, no ocurre lo mismo con las coordenadas del dominio. Es cierto que si es diferenciable en , entonces cada derivada parcial existe en . Lo contrario no se cumple: puede suceder que todas las derivadas parciales de at existan, pero no sean diferenciables en . Esto significa que la función es muy "tosca" en , hasta tal punto que su comportamiento no puede describirse adecuadamente por su comportamiento en las direcciones de las coordenadas. Cuando no es tan duro, esto no puede suceder. Más precisamente, si todas las derivadas parciales de at existen y son continuas en una vecindad de , entonces es diferenciable en . Cuando esto sucede, entonces, además, la derivada total de es la transformación lineal correspondiente a la matriz jacobiana de derivadas parciales en ese punto. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

La derivada total como forma diferencial.

Cuando la función considerada tiene un valor real, la derivada total se puede refundir utilizando formas diferenciales . Por ejemplo, supongamos que es una función diferenciable de variables . La derivada total de at se puede escribir en términos de su matriz jacobiana, que en este caso es una matriz de filas: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$

La propiedad de aproximación lineal de la derivada total implica que si

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

es un vector pequeño (donde denota transposición, de modo que este vector es un vector de columna), entonces ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$

Heurísticamente, esto sugiere que si hay incrementos infinitesimales en las direcciones de las coordenadas, entonces ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.}$

De hecho, la noción de lo infinitesimal, que aquí es meramente simbólica, puede equiparse con una estructura matemática extensa. Técnicas, como la teoría de formas diferenciales , brindan efectivamente descripciones analíticas y algebraicas de objetos como incrementos infinitesimales . Por ejemplo, puede inscribirse como una funcional lineal en el espacio vectorial . La evaluación en un vector mide cuántos puntos hay en la dirección de coordenadas. La derivada total es una combinación lineal de funcionales lineales y, por tanto, es en sí misma un funcional lineal. La evaluación mide cuántos puntos apuntan en la dirección determinada por at , y esta dirección es el gradiente . Este punto de vista hace de la derivada total un caso de la derivada exterior . ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle df_{a}(h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Supongamos ahora que es una función con valores vectoriales, es decir, . En este caso, los componentes de son funciones de valor real, por lo que tienen formas diferenciales asociadas . La derivada total amalgama estas formas en un solo objeto y, por lo tanto, es un ejemplo de una forma diferencial con valores vectoriales . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df_{i}}$ ${\displaystyle df}$

La regla de la cadena para derivados totales

La regla de la cadena tiene una declaración particularmente elegante en términos de derivados totales. Dice que, para dos funciones y , la derivada total de la función compuesta en satisface ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.}$

Si las derivadas totales de y se identifican con sus matrices jacobianas, entonces la combinación del lado derecho es simplemente una multiplicación de matrices. Esto es enormemente útil en aplicaciones, ya que permite dar cuenta de dependencias esencialmente arbitrarias entre los argumentos de una función compuesta. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Ejemplo: diferenciación con dependencias directas

Supongamos que f es una función de dos variables, x e y . Si estas dos variables son independientes, de modo que el dominio de f es , entonces el comportamiento de f puede entenderse en términos de sus derivadas parciales en las direcciones x e y . Sin embargo, en algunas situaciones, xey pueden ser dependientes . Por ejemplo, podría suceder que f esté restringida a una curva . En este caso, lo que realmente nos interesa es el comportamiento de la función compuesta . La derivada parcial de f con respecto a x no da la verdadera tasa de cambio de f con respecto al cambio de x porque cambiar x necesariamente cambia y . Sin embargo, la regla de la cadena para la derivada total tiene en cuenta dichas dependencias. Escribir . Entonces, la regla de la cadena dice ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle f(x,y(x))}$ ${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.}$

Al expresar la derivada total usando matrices jacobianas, esto se convierte en:

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial x}{\partial x}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial y}{\partial x}}(x_{0}).}$

Suprimiendo la evaluación en por legibilidad, también podemos escribir esto como ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}.}$

Esto proporciona una fórmula sencilla para la derivada de en términos de las derivadas parciales de y la derivada de . ${\displaystyle f(x,y(x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y(x)}$

Por ejemplo, supongamos

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

La tasa de cambio de f con respecto a x suele ser la derivada parcial de f con respecto a x ; en este caso,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

Sin embargo, si y depende de x , la derivada parcial no da la verdadera tasa de cambio de f cuando x cambia porque la derivada parcial supone que y es fijo. Supongamos que estamos restringidos a la línea

${\displaystyle y=x.}$

Entonces

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

y la derivada total de f con respecto a x es

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

que vemos no es igual a la derivada parcial . Sin embargo, en lugar de sustituir inmediatamente y en términos de x , también podemos usar la regla de la cadena como se indicó anteriormente: ${\displaystyle \partial f/\partial x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

Ejemplo: diferenciación con dependencias indirectas

Si bien a menudo se pueden realizar sustituciones para eliminar dependencias indirectas, la regla de la cadena proporciona una técnica más eficiente y general. Supongamos que es una función del tiempo y variables que a su vez dependen del tiempo. Entonces, la derivada del tiempo de es ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$

La regla de la cadena expresa esta derivada en términos de las derivadas parciales y las derivadas temporales de las funciones : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

Esta expresión se utiliza a menudo en física para una transformación de calibre del lagrangiano , ya que dos lagrangianos que difieren sólo por la derivada del tiempo total de una función del tiempo y las coordenadas generalizadas conducen a las mismas ecuaciones de movimiento. Un ejemplo interesante se refiere a la resolución de la causalidad relativa a la teoría simétrica del tiempo de Wheeler-Feynman . El operador entre paréntesis (en la expresión final anterior) también se denomina operador de derivada total (con respecto a ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Por ejemplo, la derivada total de es ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

Aquí no existe ningún término ya que en sí mismo no depende directamente de la variable independiente. ${\displaystyle \partial f/\partial t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$

Ecuación diferencial total

Una ecuación diferencial total es una ecuación diferencial expresada en términos de derivadas totales. Dado que la derivada exterior no tiene coordenadas, en un sentido al que se le puede dar un significado técnico, tales ecuaciones son intrínsecas y geométricas .

Aplicación a sistemas de ecuaciones

En economía , es común que la derivada total surja en el contexto de un sistema de ecuaciones. ^{[1] : págs. 217–220} Por ejemplo, un sistema simple de oferta y demanda podría especificar la cantidad q de un producto demandado como función D de su precio p y del ingreso de los consumidores I , siendo este último una variable exógena , y podría Especifique la cantidad ofrecida por los productores como una función S de su precio y dos variables de costo de recursos exógenos r y w . El sistema de ecuaciones resultante.

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

determina los valores de equilibrio del mercado de las variables p y q . La derivada total de p con respecto a r , por ejemplo, da el signo y la magnitud de la reacción del precio de mercado ante la variable exógena r . En el sistema indicado, hay un total de seis posibles derivadas totales, también conocidas en este contexto como derivadas estáticas comparativas : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw y dq / dI . Las derivadas totales se encuentran diferenciando totalmente el sistema de ecuaciones, dividiéndolo por, digamos, dr , tratando dq / dr y dp / dr como las incógnitas, estableciendo dI = dw = 0 y resolviendo las dos ecuaciones totalmente diferenciadas simultáneamente, típicamente por usando la regla de Cramer . ${\displaystyle dp/dr}$

Ver también

• Derivada direccional  : tasa de cambio instantánea de la función
• Derivada de Fréchet  – Derivada definida en espacios normados - generalización de la derivada total
• Derivada Gateaux  - Generalización del concepto de derivada direccional
• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Gradiente#Derivada total  – Derivada multivariada (matemáticas)

Referencias

1. Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de la economía matemática (Tercera ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
2. Abraham, Ralph ; Marsden, JE ; Ratiu, Tudor (2012). Colectores, análisis tensorial y aplicaciones. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 78.ISBN​ 9781461210290.

• AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (segunda edición) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 
• De thesaurus.maths.org derivada total

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Derivado total". MundoMatemático .
• Ronald D. Kriz (2007) Visualización de derivadas totales de funciones escalares de dos dimensiones utilizando superficies elevadas y planos tangentes de Virginia Tech