Desplazamiento virtual

Fuerza de restricción C y desplazamiento virtual δ r para una partícula de masa m confinada a una curva. La fuerza resultante sin restricción es N. Los componentes del desplazamiento virtual están relacionados por una ecuación de restricción.

En mecánica analítica , una rama de las matemáticas y la física aplicadas , un desplazamiento virtual (o variación infinitesimal ) muestra cómo la trayectoria del sistema mecánico puede hipotéticamente (de ahí el término virtual ) desviarse muy ligeramente de la trayectoria real del sistema sin violar las restricciones del sistema. ^{[1] [2] [3] : 263} Para cada instante de tiempo es un vector tangencial al espacio de configuración en el punto Los vectores muestran las direcciones en las que se puede "ir" sin romper las restricciones. ${\displaystyle \delta \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \delta \gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma (t).}$ ${\displaystyle \delta \gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

Por ejemplo, los desplazamientos virtuales del sistema que consiste en una sola partícula sobre una superficie bidimensional llenan todo el plano tangente, suponiendo que no haya restricciones adicionales.

Sin embargo, si las restricciones requieren que todas las trayectorias pasen por el punto dado en el tiempo dado, es decir, entonces ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )=\mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$

Notaciones

Sea el espacio de configuración del sistema mecánico, sean instantes de tiempo, consta de funciones suaves en y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q_{0},q_{1}\in M,}$ ${\displaystyle C^{\infty }[t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle P(M)=\{\gamma \in C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M)\mid \gamma (t_{0})=q_{0},\ \gamma (t_{1})=q_{1}\}.}$

Las restricciones se presentan aquí sólo a modo de ilustración. En la práctica, para cada sistema individual se requiere un conjunto individual de restricciones. ${\displaystyle \gamma (t_{0})=q_{0},}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})=q_{1}}$

Definición

Para cada camino y una variación de es una función tal que, para cada y El desplazamiento virtual es el paquete tangente de correspondiente a la variación asigna ^[1] a cada el vector tangente ${\displaystyle \gamma \in P(M)}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}>0,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma :[t_{0},t_{1}]\times [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}]\to M}$ ${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\epsilon )\in P(M)}$ ${\displaystyle \Gamma (t,0)=\gamma (t).}$ ${\displaystyle \delta \gamma :[t_{0},t_{1}]\to TM}$ ${\displaystyle (TM}$ ${\displaystyle M)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)={\frac {d\Gamma (t,\epsilon )}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\in T_{\gamma (t)}M.}$

En términos del mapa tangente ,

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\Gamma _{*}^{t}\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\right).}$

Aquí está el mapa tangente de dónde y ${\displaystyle \Gamma _{*}^{t}:T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ]\to T_{\Gamma (t,0)}M=T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle \Gamma ^{t}:[-\epsilon ,\epsilon ]\to M,}$ ${\displaystyle \Gamma ^{t}(\epsilon )=\Gamma (t,\epsilon ),}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl |}_{\epsilon =0}\in T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ].}$

Propiedades

• Coordinar la representación. Si las coordenadas en un gráfico arbitrario son y luego ${\displaystyle \{q_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=\mathop {\rm {dim}} M,}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d[q_{i}(\Gamma (t,\epsilon ))]}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {d}{dq_{i}}}{\Biggl |}_{\gamma (t)}.}$

• Si durante algún instante y cada entonces, por cada ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )={\text{const}},}$ ${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$

• si entonces ${\displaystyle \textstyle \gamma ,{\frac {d\gamma }{dt}}\in P(M),}$ ${\displaystyle \delta {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta \gamma .}$

Ejemplos

Partícula libre en R 3

Una sola partícula que se mueve libremente tiene 3 grados de libertad. El espacio de configuración es y Para cada ruta y una variación de existe una única tal que , por definición, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$ ${\displaystyle \gamma \in P(M)}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \sigma \in T_{0}\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ),}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0.}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ){\Bigr )}\right){\Biggl |}_{\epsilon =0}}$

lo que lleva a

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathbb {R} ^{3}.}$

Partículas libres sobre una superficie.

${\displaystyle N}$Las partículas que se mueven libremente sobre una superficie bidimensional tienen grados de libertad. El espacio de configuración aquí es ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle M=\{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\in \mathbb {R} ^{3\,N}\mid \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3};\ \mathbf {r} _{i}\neq \mathbf {r} _{j}\ {\text{if}}\ i\neq j\},}$

¿ Dónde está el radio vector de la partícula? Resulta que ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$

${\displaystyle T_{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}M=T_{\mathbf {r} _{1}}S\oplus \ldots \oplus T_{\mathbf {r} _{N}}S,}$

y cada camino puede describirse utilizando los vectores de radio de cada partícula individual, es decir ${\displaystyle \gamma \in P(M)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle \gamma (t)=(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t)).}$

Esto implica que, por cada ${\displaystyle \delta \gamma (t)\in T_{(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t))}M,}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\delta \mathbf {r} _{1}(t)\oplus \ldots \oplus \delta \mathbf {r} _{N}(t),}$

donde algunos autores expresan esto como ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t)\in T_{\mathbf {r} _{i}(t)}S.}$

${\displaystyle \delta \gamma =(\delta \mathbf {r} _{1},\ldots ,\delta \mathbf {r} _{N}).}$

Cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo.

Un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo sin restricciones adicionales tiene 3 grados de libertad. El espacio de configuración aquí es el grupo ortogonal especial de dimensión 3 (también conocido como grupo de rotación 3D ), y utilizamos la notación estándar para referirnos al espacio lineal tridimensional de todas las matrices tridimensionales simétricas sesgadas . El mapa exponencial garantiza la existencia de tal que, para cada camino su variación y existe un camino único tal que y, para cada Por definición, ${\displaystyle M=SO(3),}$ ${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3)\to SO(3)}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}>0}$ ${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon ),}$ ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}],}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}\in C^{\infty }([-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],{\mathfrak {so}}(3))}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}(0)=0}$ ${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )).}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )){\Bigr )}\right){\Biggl |}_{\epsilon =0}=\gamma (t){\frac {d\Theta ^{t}(\epsilon )}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}.}$

Dado que, para alguna función , como , ${\displaystyle \sigma :[t_{0},t_{1}]\to {\mathfrak {so}}(3),}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}(\epsilon )=\epsilon \sigma (t)+o(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\gamma (t)\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}SO(3).}$

Ver también

• principio de d'alembert
• Trabajo virtual

Referencias

1. Takhtajan, León A. (2017). "Parte 1. Mecánica clásica". Teoría de campos clásica (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad de Stony Brook, Stony Brook, Nueva York.
2. Goldstein, H .; Poole, CP; Safko, JL (2001). Mecánica clásica (3ª ed.). Addison-Wesley. pag. 16.ISBN​ 978-0-201-65702-9.
3. Torby, Bruce (1984). "Métodos energéticos". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en Ingeniería Mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.