Desplazamiento al rojo gravitacional

Cambio de longitud de onda de un fotón a una longitud de onda más larga

El corrimiento al rojo gravitacional de una onda de luz a medida que se mueve hacia arriba contra un campo gravitacional (producido por la estrella amarilla que se encuentra debajo). El efecto está muy exagerado en este diagrama.

En física y relatividad general , el desplazamiento al rojo gravitacional (conocido como desplazamiento de Einstein en la literatura antigua) ^{[1] [2]} es el fenómeno por el cual las ondas electromagnéticas o los fotones que viajan fuera de un pozo gravitacional pierden energía . Esta pérdida de energía corresponde a una disminución de la frecuencia de la onda y un aumento de la longitud de onda , lo que se conoce más generalmente como corrimiento al rojo . El efecto opuesto, en el que los fotones ganan energía cuando viajan hacia un pozo gravitacional, se conoce como desplazamiento gravitacional hacia el azul (un tipo de desplazamiento hacia el azul ). El efecto fue descrito por primera vez por Einstein en 1907, ^{[3] [4]} ocho años antes de su publicación de la teoría completa de la relatividad .

El corrimiento al rojo gravitacional puede interpretarse como una consecuencia del principio de equivalencia (que la gravedad y la aceleración son equivalentes y el corrimiento al rojo es causado por el efecto Doppler ) ^[5] o como una consecuencia de la equivalencia masa-energía y la conservación de la energía ('caída'). los fotones ganan energía), ^{[6] [7]} aunque existen numerosas sutilezas que complican una derivación rigurosa. ^{[5] [8]} Un corrimiento al rojo gravitacional también puede interpretarse de manera equivalente como una dilatación del tiempo gravitacional en la fuente de radiación: ^{[8] [2]} si dos osciladores (conectados a transmisores que producen radiación electromagnética) están operando a diferentes potenciales gravitacionales , el el oscilador en el potencial gravitacional más alto (más lejos del cuerpo que atrae) funcionará más rápido; es decir, cuando se observa desde el mismo lugar, tendrá una frecuencia medida más alta que el oscilador en el potencial gravitacional más bajo (más cerca del cuerpo que lo atrae).

En primera aproximación, el corrimiento al rojo gravitacional es proporcional a la diferencia en el potencial gravitacional dividido por la velocidad de la luz al cuadrado, lo que resulta en un efecto muy pequeño. Einstein predijo en 1911 que la luz que escapa de la superficie del Sol tendría un corrimiento al rojo de aproximadamente 2 ppm o 2 × 10 ⁻⁶ . ^[9] Las señales de navegación de los satélites GPS que orbitan a 20.000 km de altitud se perciben con un desplazamiento hacia el azul de aproximadamente 0,5 ppb o 5 × 10 ⁻¹⁰ , ^[10] correspondiente a un aumento (insignificante) de menos de 1 Hz en la frecuencia de un GPS de 1,5 GHz. señal de radio (sin embargo, la dilatación del tiempo gravitacional que la acompaña , que afecta al reloj atómico del satélite, es de vital importancia para una navegación precisa ^[11] ). En la superficie de la Tierra, el potencial gravitacional es proporcional a la altura, y el corrimiento al rojo correspondiente es aproximadamente 10 ⁻¹⁶ (0,1 partes por cuatrillón ) por metro de cambio en elevación y/o altitud . ${\displaystyle z=\Delta U/c^{2}}$ ${\displaystyle \Delta U=g\Delta h}$

En astronomía , la magnitud de un corrimiento al rojo gravitacional a menudo se expresa como la velocidad que crearía un desplazamiento equivalente a través del efecto Doppler relativista . En tales unidades, el desplazamiento al rojo de la luz solar de 2 ppm corresponde a una velocidad de retroceso de 633 m/s, aproximadamente de la misma magnitud que los movimientos convectivos del Sol, lo que complica la medición. ^[9] El equivalente de velocidad del desplazamiento gravitacional hacia el azul del satélite GPS es inferior a 0,2 m/s, lo cual es insignificante en comparación con el desplazamiento Doppler real resultante de su velocidad orbital. En objetos astronómicos con fuertes campos gravitacionales, el corrimiento al rojo puede ser mucho mayor; por ejemplo, la luz de la superficie de una enana blanca sufre un desplazamiento gravitacional al rojo de una media de unos 50 km/s/c (unas 170 ppm). ^[12]

Observar el corrimiento al rojo gravitacional en el Sistema Solar es una de las pruebas clásicas de la relatividad general . ^[13] Medir el corrimiento al rojo gravitacional con alta precisión con relojes atómicos puede servir como prueba de simetría de Lorentz y guiar las búsquedas de materia oscura .

Predicción por el principio de equivalencia y la relatividad general.

Campo gravitacional uniforme o aceleración

La teoría de la relatividad general de Einstein incorpora el principio de equivalencia , que puede enunciarse de varias formas diferentes. Una de esas afirmaciones es que los efectos gravitacionales son localmente indetectables para un observador en caída libre. Por lo tanto, en un experimento de laboratorio en la superficie de la Tierra, todos los efectos gravitacionales deberían ser equivalentes a los efectos que se habrían observado si el laboratorio hubiera estado acelerando a través del espacio exterior en g . Una consecuencia es el efecto Doppler gravitacional . Si se emite un pulso de luz en el suelo del laboratorio, entonces un observador en caída libre dice que cuando llega al techo, el techo se ha alejado aceleradamente y, por lo tanto, cuando lo observa un detector fijado al techo, Se observará que el efecto Doppler se ha desplazado hacia el extremo rojo del espectro. Este desplazamiento, que el observador en caída libre considera un desplazamiento Doppler cinemático, el observador de laboratorio lo considera un desplazamiento al rojo gravitacional. Tal efecto se verificó en el experimento de Pound-Rebka de 1959 . En un caso como este, donde el campo gravitacional es uniforme, el cambio en la longitud de onda viene dado por

${\displaystyle z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\approx {\frac {g\Delta y}{c^{2}}},}$

¿Dónde está el cambio de altura? Dado que esta predicción surge directamente del principio de equivalencia, no requiere ningún aparato matemático de la relatividad general, y su verificación no apoya específicamente la relatividad general sobre cualquier otra teoría que incorpore el principio de equivalencia. ${\displaystyle \Delta y}$

En la superficie de la Tierra (o en una nave espacial que acelera a 1 g), el desplazamiento al rojo gravitacional es de aproximadamente 1,1 × 10 ⁻¹⁶ , el equivalente a un desplazamiento Doppler de 3,3 × 10 ⁻⁸ m/s, por cada metro de diferencia de altura.

Campo gravitacional esféricamente simétrico

Cuando el campo no es uniforme, el caso más simple y útil a considerar es el de un campo esféricamente simétrico. Según el teorema de Birkhoff , dicho campo se describe en la relatividad general mediante la métrica de Schwarzschild , donde es el tiempo del reloj de un observador a una distancia R del centro, es el tiempo medido por un observador en el infinito, es el radio de Schwarzschild , ". .." representa términos que desaparecen si el observador está en reposo, es la constante gravitacional de Newton , la masa del cuerpo gravitante y la velocidad de la luz . El resultado es que las frecuencias y longitudes de onda se desplazan según la relación ${\displaystyle d\tau ^{2}=\left(1-r_{\text{S}}/R\right)dt^{2}+\ldots }$ ${\displaystyle d\tau }$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle r_{\text{S}}}$ ${\displaystyle 2GM/c^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle 1+z={\frac {\lambda _{\infty }}{\lambda _{\text{e}}}}=\left(1-{\frac {r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

dónde

• ${\displaystyle \lambda _{\infty }\,}$es la longitud de onda de la luz medida por el observador en el infinito,
• ${\displaystyle \lambda _{\text{e}}\,}$es la longitud de onda medida en la fuente de emisión, y
• ${\displaystyle R_{\text{e}}}$es el radio en el que se emite el fotón.

Esto puede estar relacionado con el parámetro de corrimiento al rojo definido convencionalmente como . ${\displaystyle z=\lambda _{\infty }/\lambda _{\text{e}}-1}$

En el caso de que ni el emisor ni el observador estén en el infinito, la transitividad de los desplazamientos Doppler nos permite generalizar el resultado a . La fórmula del corrimiento al rojo para la frecuencia es . Cuando es pequeño, estos resultados son consistentes con la ecuación dada anteriormente basada en el principio de equivalencia. ${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}=\left[\left(1-r_{\text{S}}/R_{1}\right)/\left(1-r_{\text{S}}/R_{2}\right)\right]^{1/2}}$ ${\displaystyle \nu =c/\lambda }$ ${\displaystyle \nu _{o}/\nu _{\text{e}}=\lambda _{\text{e}}/\lambda _{o}}$ ${\displaystyle R_{1}-R_{2}}$

La relación de corrimiento al rojo también se puede expresar en términos de una velocidad de escape (newtoniana) en , lo que da como resultado el factor de Lorentz correspondiente : ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ ${\displaystyle R_{\text{e}}=2GM/v_{\text{e}}^{2}}$

${\displaystyle 1+z=\gamma _{\text{e}}={\frac {1}{\sqrt {1-(v_{\text{e}}/c)^{2}}}}}$.

Para un objeto lo suficientemente compacto como para tener un horizonte de sucesos , el corrimiento al rojo no está definido para los fotones emitidos dentro del radio de Schwarzschild, tanto porque las señales no pueden escapar desde el interior del horizonte como porque un objeto como el emisor no puede estar estacionario dentro del horizonte, como estaba asumido anteriormente. Por lo tanto, esta fórmula sólo se aplica cuando es mayor que . Cuando el fotón se emite a una distancia igual al radio de Schwarzschild, el corrimiento al rojo será infinitamente grande y no escapará a ninguna distancia finita de la esfera de Schwarzschild. Cuando el fotón se emite a una distancia infinitamente grande, no hay corrimiento al rojo. ${\displaystyle R_{\text{e}}}$ ${\displaystyle r_{\text{S}}}$

límite newtoniano

En el límite newtoniano, es decir, cuando es suficientemente grande en comparación con el radio de Schwarzschild , el corrimiento al rojo se puede aproximar como ${\displaystyle R_{\text{e}}}$ ${\displaystyle r_{\text{S}}}$

${\displaystyle z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\approx {\frac {1}{2}}{\frac {r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}}}={\frac {GM}{R_{\text{e}}c^{2}}}={\frac {gR_{\text{e}}}{c^{2}}}}$

¿Dónde está la aceleración gravitacional en ? Para la superficie de la Tierra con respecto al infinito, z es aproximadamente 7 × 10 ⁻¹⁰ (el equivalente a un desplazamiento Doppler radial de 0,2 m/s); para la Luna es aproximadamente 3 × 10 ⁻¹¹ (aproximadamente 1 cm/s). El valor para la superficie del Sol es aproximadamente 2 × 10 ⁻⁶ , correspondiente a 0,64 km/s. (Para velocidades no relativistas, la velocidad equivalente Doppler radial se puede aproximar multiplicando z por la velocidad de la luz). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R_{\text{e}}}$

El valor z se puede expresar sucintamente en términos de la velocidad de escape en , ya que el potencial gravitacional es igual a la mitad del cuadrado de la velocidad de escape , así: ${\displaystyle R_{\text{e}}}$

${\displaystyle z\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\right)^{2}}$

¿Dónde está la velocidad de escape en ? ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ ${\displaystyle R_{\text{e}}}$

También se puede relacionar con la velocidad de la órbita circular en , que es igual a , por lo tanto ${\displaystyle v_{\text{o}}}$ ${\displaystyle R_{\text{e}}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle z\approx \left({\frac {v_{\text{o}}}{c}}\right)^{2}}$.

Por ejemplo, el desplazamiento gravitacional hacia el azul de la luz de las estrellas distantes debido a la gravedad del Sol, alrededor del cual la Tierra orbita a unos 30 km/s, sería aproximadamente 1 × 10 ⁻⁸ o el equivalente a un desplazamiento Doppler radial de 3 m/s.

Para un objeto en una órbita (circular), el corrimiento al rojo gravitacional es de magnitud comparable al efecto Doppler transversal , donde β = v / c , mientras que ambos son mucho más pequeños que el efecto Doppler radial , para el cual . ${\displaystyle z\approx {\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}}$ ${\displaystyle z\approx \beta }$

Verificación experimental

Observaciones astronómicas

Inicialmente, varios experimentadores afirmaron haber identificado el efecto mediante mediciones astronómicas, y se consideró que finalmente había sido identificado en las líneas espectrales de la estrella Sirio B por WS Adams en 1925. ^[14] Sin embargo, las mediciones de Adams han sido criticado por ser demasiado bajo ^{[14] [15]} y estas observaciones ahora se consideran mediciones de espectros que no se pueden utilizar debido a la luz dispersada del primario, Sirio A. ^[15] La primera medición precisa del corrimiento al rojo gravitacional de un blanco enano fue realizado por Popper en 1954, midiendo un corrimiento al rojo gravitacional de 21 km/s de 40 Eridani B. ^[15] El corrimiento al rojo de Sirio B finalmente fue medido por Greenstein et al. en 1971, obteniendo el valor para el corrimiento al rojo gravitacional de 89±16 km/s, con mediciones más precisas del Telescopio Espacial Hubble, mostrando 80,4±4,8 km/s. ^{[16] [ cita necesaria ]}

James W. Brault , un estudiante de posgrado de Robert Dicke en la Universidad de Princeton , midió el corrimiento al rojo gravitacional del sol utilizando métodos ópticos en 1962. ^[17] En 2020, un equipo de científicos publicó la medición más precisa del corrimiento al rojo gravitacional solar hasta el momento. , elaborado analizando las líneas espectrales de Fe en la luz solar reflejada por la Luna; su medición de un desplazamiento de línea global medio de 638 ± 6 m/s está de acuerdo con el valor teórico de 633,1 m/s. ^{[18] [19]} Medir el corrimiento al rojo solar es complicado por el desplazamiento Doppler causado por el movimiento de la superficie del Sol, que es de magnitud similar al efecto gravitacional. ^[19]

En 2011, el grupo de Radek Wojtak del Instituto Niels Bohr de la Universidad de Copenhague recopiló datos de 8.000 cúmulos de galaxias y descubrió que la luz procedente de los centros de los cúmulos tendía a desplazarse hacia el rojo en comparación con los bordes de los cúmulos, lo que confirma la pérdida de energía. debido a la gravedad. ^[20]

En 2018, la estrella S2 hizo su máxima aproximación a Sgr A* , el agujero negro supermasivo de 4 millones de masa solar en el centro de la Vía Láctea , alcanzando 7650 km/s o alrededor del 2,5% de la velocidad de la luz al pasar por el agujero negro. agujero a una distancia de sólo 120 AU , o 1400 radios de Schwarzschild . Análisis independientes realizados por la colaboración GRAVITY ^{[21] [22] [23] [24]} (dirigida por Reinhard Genzel ) y el Grupo del Centro Galáctico KECK/UCLA ^{[25] [26]} (dirigido por Andrea Ghez ) revelaron un Doppler transversal combinado y desplazamiento al rojo gravitacional de hasta 200 km/s/c, de acuerdo con las predicciones de la relatividad general.

En 2021, Mediavilla ( IAC , España) y Jiménez-Vicente ( UGR , España) pudieron utilizar mediciones del corrimiento al rojo gravitacional en cuásares hasta el corrimiento al rojo cosmológico de z~3 para confirmar las predicciones del Principio de Equivalencia de Einstein y la falta de conocimiento cosmológico. evolución dentro del 13%. ^[27]

Pruebas terrestres

Ahora se considera que el efecto ha sido verificado definitivamente por los experimentos de Pound , Rebka y Snider entre 1959 y 1965. El experimento de Pound-Rebka de 1959 midió el corrimiento al rojo gravitacional en líneas espectrales utilizando una fuente gamma terrestre ^{de 57} Fe sobre una altura vertical de 22,5 metros. ^[28] Este artículo fue la primera determinación del corrimiento al rojo gravitacional que utilizó mediciones del cambio en la longitud de onda de los fotones de rayos gamma generados con el efecto Mössbauer , que genera radiación con un ancho de línea muy estrecho. La precisión de las mediciones de rayos gamma era típicamente del 1%.

Pound y Snider realizaron un experimento mejorado en 1965, con una precisión superior al nivel del 1%. ^[29]

En 1976 se realizó un experimento de corrimiento al rojo gravitacional muy preciso, ^[30] en el que se lanzó un reloj máser de hidrógeno en un cohete a una altura de 10.000 km y se comparó su velocidad con la de un reloj idéntico en tierra. Probó el corrimiento al rojo gravitacional al 0,007%.

Se pueden realizar pruebas posteriores con el Sistema de Posicionamiento Global (GPS), que debe tener en cuenta el corrimiento al rojo gravitacional en su sistema de sincronización, y los físicos han analizado los datos de sincronización del GPS para confirmar otras pruebas. Cuando se lanzó el primer satélite, mostró el cambio previsto de 38 microsegundos por día. Esta tasa de discrepancia es suficiente para perjudicar sustancialmente la función del GPS en cuestión de horas si no se tiene en cuenta. En Ashby 2003 se puede encontrar una excelente descripción del papel desempeñado por la relatividad general en el diseño del GPS. ^[31]

En 2010, un experimento colocó dos relojes cuánticos de iones de aluminio uno cerca del otro, pero con el segundo elevado 33 cm en comparación con el primero, haciendo visible el efecto gravitacional del desplazamiento hacia el rojo en escalas de laboratorio cotidianas. ^{[32] [33]}

En 2020, un grupo de la Universidad de Tokio midió el corrimiento al rojo gravitacional de dos relojes de red óptica de estroncio-87 . ^[34] La medición tuvo lugar en Tokyo Skytree, donde los relojes estaban separados por aproximadamente 450 my conectados por fibras de telecomunicaciones. El corrimiento al rojo gravitacional se puede expresar como

${\displaystyle z={\frac {\Delta \nu }{\nu _{1}}}=(1+\alpha ){\frac {\Delta U}{c^{2}}}}$,

donde es el corrimiento al rojo gravitacional, es la frecuencia de transición del reloj óptico, es la diferencia en el potencial gravitacional y denota la violación de la relatividad general. Mediante espectroscopia de Ramsey de la transición del reloj óptico de estroncio-87 (429 THz, 698 nm), el grupo determinó que el corrimiento al rojo gravitacional entre los dos relojes ópticos era de 21,18 Hz, correspondiente a un valor z de aproximadamente 5 × 10 ⁻¹⁴ . Su valor medido de , , coincide con mediciones recientes realizadas con máseres de hidrógeno en órbitas elípticas. ^{[35] [36]} ${\displaystyle \Delta \nu =\nu _{2}-\nu _{1}}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \Delta U=U_{2}-U_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (1.4\pm 9.1)\times 10^{-5}}$

En octubre de 2021, un grupo de JILA dirigido por el físico Jun Ye informó de una medición del corrimiento al rojo gravitacional en la escala submilimétrica. La medición se realiza en la transición del reloj ⁸⁷ Sr entre la parte superior y la inferior de una nube ultrafría de un milímetro de altura formada por 100.000 átomos de estroncio en una red óptica . ^{[37] [38]}

Desarrollo histórico temprano de la teoría.

El debilitamiento gravitacional de la luz procedente de estrellas de alta gravedad fue predicho por John Michell en 1783 y Pierre-Simon Laplace en 1796, utilizando el concepto de corpúsculos ligeros de Isaac Newton (ver: teoría de la emisión ) y quienes predijeron que algunas estrellas tendrían una gravedad tan fuerte que la luz no podría escapar. El efecto de la gravedad sobre la luz fue luego explorado por Johann Georg von Soldner (1801), quien calculó la cantidad de desviación de un rayo de luz por el Sol, llegando a la respuesta newtoniana que es la mitad del valor predicho por la relatividad general . Todos estos primeros trabajos asumieron que la luz podría disminuir su velocidad y caer, lo cual es inconsistente con la comprensión moderna de las ondas de luz.

Una vez que se aceptó que la luz era una onda electromagnética, quedó claro que la frecuencia de la luz no debería cambiar de un lugar a otro, ya que las ondas de una fuente con una frecuencia fija mantienen la misma frecuencia en todas partes. Una forma de evitar esta conclusión sería alterar el tiempo mismo: si los relojes en diferentes puntos tuvieran ritmos diferentes. Ésta fue precisamente la conclusión a la que llegó Einstein en 1911. ^[39] Consideró una caja en aceleración y observó que, según la teoría especial de la relatividad , la velocidad del reloj en la "parte inferior" de la caja (el lado opuesto a la dirección de la aceleración) era más lento que la velocidad del reloj en la "parte superior" (el lado hacia la dirección de aceleración). De hecho, en un cuadro que se mueve (en dirección) con velocidad relativa al cuadro en reposo, los relojes en una posición cercana están adelantados ( al primer orden); entonces, una aceleración (que cambia la velocidad por tiempo ) hace que los relojes en la posición estén adelantados por , es decir, marquen a un ritmo ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle (dx/c)(v/c)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g/dt}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle (dx/c)(g/c)dt}$

${\displaystyle R=1+(g/c^{2})dx}$

El principio de equivalencia implica que este cambio en la frecuencia del reloj es el mismo ya sea que la aceleración sea la de un marco acelerado sin efectos gravitacionales o causada por un campo gravitacional en un marco estacionario. Como la aceleración debida al potencial gravitacional es , obtenemos ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle -dV/dx}$

${\displaystyle {dR \over dx}=g/c^{2}=-{dV/c^{2} \over dx}\,}$

entonces, en campos débiles, el cambio en la frecuencia del reloj es igual a . ${\displaystyle \Delta R}$ ${\displaystyle -\Delta V/c^{2}}$

Dado que la luz se vería ralentizada por la dilatación del tiempo gravitacional (como la ve un observador externo), las regiones con menor potencial gravitacional actuarían como un medio con un índice de refracción más alto, lo que provocaría que la luz se desviara . Este razonamiento permitió a Einstein en 1911 reproducir el valor newtoniano incorrecto para la desviación de la luz. ^[39] En ese momento sólo consideró la manifestación de la gravedad que dilata el tiempo, que es la contribución dominante a velocidades no relativistas; sin embargo, los objetos relativistas viajan a través del espacio en una cantidad comparable a la que lo hacen a través del tiempo, por lo que la curvatura puramente espacial se vuelve igualmente importante. Después de construir la teoría completa de la relatividad general, Einstein resolvió en 1915 ^[40] la aproximación post-newtoniana completa de la gravedad del Sol y calculó la cantidad correcta de desviación de la luz: el doble del valor newtoniano. La predicción de Einstein fue confirmada por muchos experimentos, comenzando con la expedición del eclipse solar de 1919 de Arthur Eddington .

Los cambios en el ritmo de los relojes permitieron a Einstein concluir que las ondas de luz cambian de frecuencia a medida que se mueven, y la relación frecuencia/energía de los fotones le permitió ver que esto se interpretaba mejor como el efecto del campo gravitacional sobre la masa-energía del fotón. . Para calcular los cambios de frecuencia en un campo gravitacional casi estático, sólo es importante el componente temporal del tensor métrico, y la aproximación de orden más bajo es lo suficientemente precisa para estrellas y planetas ordinarios, que son mucho más grandes que su radio de Schwarzschild .

Ver también

• Portal de astronomía
• Portal de física

• Pruebas de relatividad general
• Principio de equivalencia
• Dilatación del tiempo gravitacional
• corrimiento al rojo
• Onda gravitacional # Desplazamiento al rojo (desplazamiento al rojo de las ondas gravitacionales debido a la velocidad o la expansión cósmica)

Citas

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Referencias

Fuentes primarias

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Otras fuentes

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